Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised funktsioonid Sin(α+β)=sinα x cosβ+cosα x sinβ Sin(α-β)=sinα x cosβ-cosα x sinβ Cos(α+β)=cosα x cosβ-sinα x sinβ Cos(α-β)=cosα x cosβ+sinα x sinβ tanα+tanβ Tan(α+β)= 1−tanα x tanβ tanα−tanβ Tan(α-β)= 1+tanα x tanβ Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid Sin2α=2 x sinα x cosα 2 2 Cos2α= cos α−sin α 2 x tanα Tan2α= 1−tan2 α Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid α 1−cos ∝ ∝ sin 2 = /x 2⇛ 2sin 2 =1−cos ∝ 2 2 2 ∝ 1+cos ∝ ∝ cos 2 = /❑ x 2 ⇛ 2 cos 2 =1+ cosα 2 2 2 ∝ 1−cos ∝ tan 2 = 2 1+cos ∝ ∝ sin ∝ tan = 2 1+cos ∝ ∝ 1−cos ∝ tan = 2 sin ∝ ...
Nurga siinust tähistatakse sümboliga sin . a b sin = sin = c c Teravnurga koosiniseks nimetatakse selle nurga lähiskaatei ja hüpotenuusi suhet. Nurga koosinust tähistatakse sümboliga cos b a cos = cos = c c Teravnurga tangensiks nimetatakse selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhet. Nurga tangensit tähistatakse sümboliga tan a b tan = tan = b a
Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. y - y1 k = tan = 2 x 2 - x1 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: y - y1 = k ( x - x1 ) Algordinaat sirge ja y-telje lõikepunkti y-koordinaat. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: y = kx + b Kahe punktiga määratud sirge võrrand: y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 Sirge võrrand telglõikudes: x y + =1 a b y-teljega paralleelse sirge võrrand on x = a x-teljega paralleelse sirge võrrand on y = b
Tõusunurk on Tõusunurk on teravnurk – sirge nürinurk – sirge tõuseb langeb y y s s x x Tõusunurk on täisnurk – Tõusunurk on 0o– sirge sirge on paralleelne y- on paralleelne x-teljega teljega Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit y s B y 2 y1 y2 tan x2 x1 y2 - y1 A y1 x x2 - x1 x1 x2 Kui 90 , siis tan 0 tõusev sirge Kui 90 180 , siis tan 0
korrutise summaga. cos = ( u ) ( v ) Sirge Sirgjoon,mis lõikab x-telge, tema tõusunurgaks nimetatakse nurka x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Kui tõusunurk on terav, siis sirge tõuseb, kui tõusunurk on nüri, siis sirge langeb. Kui sirgjoon ei lõika x-telge, siis ta on x-teljega paralleelne ja tõusunurgaks loeme 0. Sirge y 2- y 1 tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. k = tan = x 2- x 1 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand on y y1 k( x- x1 ). Tõusu ja algoordinaadiga määratud sirge võrrand y kx + b. Kahe punktiga määratud sirge võrrand on y- y 1 x - x1 x - x 1 y- y 1 = y 2- y 1 x 2- x1 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand on sx
muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks
sirge sihivektorit. Sirge ja tasandi vastasikused asendid Olgu sirge s: A(xo;yo;zo); Tasand : Ax+By+Cz+D=0; Sirge asetseb tasandil s ;A Sirge on tasandiga paralleelne s|| ;A Sirge lõikab tasandit s={L} Kahe punktiga määratud sirge võrrand Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. Tähistatakse k. 6. Teist järku algebralised jooned Ringjoon Ringjooneks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus tasandi antud punktist on konstantne. Koostame ringjoone võrrandi, kui keskpunkt Q(a;b) ja raadius on r. Tähistame ringjoonel suvalise punkti M(x;y) ja arvutame selle kauguse keskpunktist, siis MQ=r. Kui keskpunkt Q(0;0), siis on ringjoone võrrand x2+y2=r Ellips Ellipsiks nim tasandi punktide hulka, mille kauguste summa tasandi kahest antud punktist on konstantne
Matemaatiliselt õnnestub liikumist kirjeldada tänu selliste mõistete nagu kiirus ja kiirendus sissetoomisele. Lihtsaim liikumisvorm on ühtlane sirgjooneline liikumine: konstantsed on nii kiiruse absoluutväärtus kui ka suund. Liikumise erijuht on paigalseis: liikumine 0-se kiirusega. Kiirus (v) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse ajaühikus läbitud teepikkusega. Liikumise hetkekiirus iseloomustab trajektoori (läbitud teepikkuse) muutumise kiirust (tõusu või tõusunurga tangensit). Võib olla nii positiivne kui ka negatiivne. Konstantse kiiruse puhul läbitakse ajaühikus võrdseid vahemaid. Mittekonstantse kiirusega liikumine (ajaühikus läbitakse erinevaid vahemikke) on kiirendusega liikumine. Kiirus nagu ka teepikkus on vektor, millel on x, y, ja z - suunalised komponendid. Liikumise kiirendus (a) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse kiiruse muutusega ajaühikus. Kiirenduse ühik on ms-2 (loe: meeter sekundis sekundis). Kiirendusega liikumise kiirus on
Olgu meil punkt A(x1;y1) ja B(x2;y2). Sirge võrrand avaldub sel juhul kujul Sirge tõus Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka sirge ning x-telje vahel. Tõusunurk on alati 0 ja 180 kraadi vahel. Kui tõusunurk on teravnurk, siis sirge tõuseb, kui nürinurk, siis langeb. Kui tõusunurk on 90 kraadi, siis sirge kulgeb mööda y-telge. Sirge tõusuks nimetatakse tõusunurga tangensit. Kui kaks sirget on omavahel risti, siis nende tõusude korrutis on -1. k1k2=-1 Sirgete lõikepunkt Kahe sirge lõikepunkt on leitav kas jooniselt (ebatäpne) või analüütiliselt. Sirge võrrandid tuleb panna võrrandisüsteemi ja leida punkti x ja y-koordinaadid. Kui võrrandi lahendamisel tuleb samasus (0=0), siis sirged ühtivad.
trassi 25-50m ulatuses (ristjoonte meetodil või tahhümeetriliselt), koostatakse ka tee maa- ala skeem, mida nimetatakse piketaaziks. 3. Ringi kõvera elemendid Kõveral eristatakse rida elemente, esmajärjekorras märgitakse maastikule KA (kõvera algus), KK (kõvera keskpunkt) ja KL (kõvera lõpp). Edasised tähised ja valemid töölehel. 4. Kõvera peapunktide märkimine Kõvera peapunktide märkimist alustatakse pöördenurga tipust, mõõtes nurga tipust piki tangensit tagasi tangensi pikkuse saame kõvera alguse, edasi mõõtes kõvera lõpu. Kõvera keskpunkti märkimiseks tuleb välja märkida nurgapoolitaja suund ja sellele bisektori pikkus. Vajalikud elemendid saab arvutada. Pikki tangenseid ei ole mõtet lindiga üle mõõta, vaid arvutatakse kõvera alguse ja kõvera lõpu algused lähimast piketist. Vastavad arvutused tehakse piketaazi raamatus. Kõvera peapunktid märgitakse maastikule maavaia ja tunnusvaiaga
Seda teeb kas töödejuhataja või geodeet. Detailse märkimise põhimõtteks on: Vaiad peavad olema asetatud kaarele nii tihedalt, et praktiliselt võib kahe naabervaia vahelist kaart võtta sirgelt. Olenevalt kõvera raadiusest on märgistamise tihedus kas: 5, 10 või 20m. Kõverate detailseks märkimiseks on olemas väga mitmeid mooduseid. Ristjoonte viis (ristkoordinaatide viis) Ristjoonte puhul x telg läheb mööda tangensit KA-st või KL-st NP poole ja y puhul on temaga risti. Märkimiseks valitakse sobiv kaare pikkus. Igale valitud kaare pikkusele vastab kesknurk . Vastavad ristjoonte pikkused arvutatakse valemitega X1=Rsin ja y1=R(1-cos). Järgmistes valemites iga kord suureneb. Koordinaadid arvutatakse välja kuni kõvera keskpunktini(KK) või veidi üle. Märkimine tehakse KL ja KA keskkoha poole. Siin
Seda teeb kas töödejuhataja või geodeet. Detailse märkimise põhimõtteks on: Vaiad peavad olema asetatud kaarele nii tihedalt, et praktiliselt võib kahe naabervaia vahelist kaart võtta sirgelt. Olenevalt kõvera raadiusest on märgistamise tihedus kas: 5, 10 või 20m. Kõverate detailseks märkimiseks on olemas väga mitmeid mooduseid. Ristjoonte viis (ristkoordinaatide viis) Ristjoonte puhul x telg läheb mööda tangensit KA-st või KL-st NP poole ja y puhul on temaga risti. Märkimiseks valitakse sobiv kaare pikkus. Igale valitud kaare pikkusele vastab kesknurk . Vastavad ristjoonte pikkused arvutatakse valemitega X1=R×sin ja y1=R(1-cos). Järgmistes valemites iga kord suureneb. Koordinaadid arvutatakse välja kuni kõvera keskpunktini(KK) või veidi üle. Märkimine tehakse KL ja KA keskkoha poole. Siin
Kõverad märgitakse detailselt välja vahetult enne tööde algust. Seda teeb kas töödejuhataja või geodeet. Detailse märkimise põhimõtteks on: Vaiad peavad olema asetatud kaarele nii tihedalt, et praktiliselt võib kahe naabervaia vahelist kaart võtta sirgelt. Olenevalt kõvera raadiusest on märgistamise tihedus kas: 5, 10 või 20m. Kõverate detailseks märkimiseks on olemas väga mitmeid mooduseid. Ristjoonte viis (ristkoordinaatide viis) Ristjoonte puhul x telg läheb mööda tangensit KA-st või KL-st NP poole ja y puhul on temaga risti. Märkimiseks valitakse sobiv kaare pikkus. Igale valitud kaare pikkusele vastab kesknurk j. Vastavad ristjoonte pikkused arvutatakse valemitega X 1=R´sinj ja y1=R(1-cosj). Järgmistes valemites iga kord j suureneb. Koordinaadid arvutatakse välja kuni kõvera keskpunktini(KK) või veidi üle. Märkimine tehakse KL ja KA keskkoha poole. Siin kasutatakse ruletti ja linti ning ristjoone
y2 2 K X2=R×sin2 y2=R(1-cos2) X3=R×sin3 y3=R(1-cos3) x3 K x2 y1 1 =K/R×180°/ 14 K x1 0 R Y Ristjoonte puhul x telg läheb mööda tangensit KA-st või KL-st NP poole ja y puhul on temaga risti. Märkimiseks valitakse sobiv kaare pikkus. Igale valitud kaare pikkusele vastab kesknurk . Vastavad ristjoonte pikkused arvutatakse valemitega X1=R×sin ja y1=R(1-cos). Järgmistes valemites iga kord suureneb. Koordinaadid arvutatakse välja kuni kõvera keskpunktini(KK) või veidi üle.Märkimine tehakse KL ja KA keskkoha poole. Siin kasutatakse ruletti ja linti ning ristjoone
võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nim selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Sirge võrrand tasandil: Kanooniline võrrand - ehk - sirge s kanooniline võrrand tasandil või ka sirge võrrand sihivektrori ja punkti järgi. Üldvõrrand - Sirge tõusuks nim selle sirge tõusunurga tangensit. Sirge tõusunurk on alati 0* ja 180* vahel. Kui sirge tõusunurk on alfa, siis selle sirge tõus k=tan alfa. Seega sirge tõusu saab leida vaid x- teljega mitteristuvate sirgete korral. Võrrand tõusu ja algordinaadi abil: y = kx + b Kui sirge üldvõrrandist avaldada muutuja y, siis saame võrrandi seega 22. Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid.
Nurga sin võrdub täiendusnurga koosinusega, nurga koosinus võrdub täiendusnurga sin, nurga tan võrdub täiendusnurga tan pöördväärtusega. Nurga a kasvades sin a väärtused kasvavad, cos a kahanevad ja tan a kasvavad. 4.12 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmine 4.13 Teravnurkse kolmnurga lahendamine Iseloomustades treppi, mäenõlva jne tõusu seisukohalt kasutatakse tõusunurka e nurka objekti ja horisondi vahel või siis tõusunurga tangensit, mida nimetatakse tõusuks. Tõusu tähistatakse tavaliselt tähega k (k=tan a). Kolmnurga lahendamine tähendab kolmnurga puuduvate nurkade ja külgede leidmist. 4.14 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi vahelised seosed Trigonomeetria põhivalemid on: Trigonomeetria II 5.1 Positiivsed ja negatiivsed nurgad Vastupäeva pöörlemine on positiivne, päripäeva negatiine. Kiire asend, millest pöörlemine algab, on alghaar e liikumatu haar, kiire lõppasend on lõpphaar e liikuv haar
x0 x Kasutatakse ka t¨ ahistusi df (x) d dy = f (x) = =y. dx dx dx Geomeetriliselt v~ oib funktsiooni f (x) tuletist punktis x interpreteerida kui selle funkt- siooni graafikule punktis (x, f (x)) konstrueeritud puutuja (l~oikaja piirseisu) t~ousunurga tangensit. Kui funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirv¨a¨artus on l~opmatu, siis k~oneldakse l~ opmatust tuletisest. Kui funktsioonil f (x) on l~opmatu tuletis punktis x, siis funktsiooni graafikule punktis (x, f (x)) t~ommatav puutuja on paralleelne y-teljega. Definitsioon 2. Kui funktsioonil f (x) on tuletis punktis x, siis ¨oeldakse, et funkt- sioon on diferentseeruv punktis x.
st funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe t¨ahendab l~oikaja P Q t~ousu. Kui n¨ uu ¨d x 0, siis x + x x, seega graafikul Q P ja l~oikaja P Q hakkab l¨ahenema funktsiooni graafikule punktis P t~ommatud puutujale. Puutuja t~ousunurk ja funktsiooni tuletis y f (x) = lim = lim tan = tan x0 x t¨ahendab geomeetriliselt funktsiooni graafikule punktis abstsissiga x t~omma- tud puutuja t~ousunurga tangensit ehk puutuja t~ousu. Kui vaatleme muutujat x ajana, siis kirjeldab funktsioon y = f (x) min- gisugust ajas kulgevat protsessi, n¨aiteks sirgjoonelist liikumist. Ajahetkel x on liikuv objekt punktis f (x) ja ajahetkel x + x punktis f (x + x). Seega y ajavahemiku x jooksul on objekt liikunud y v~orra. Suhe t¨ahendab x
3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeru- vuse geomeetriline sisu. Sirge t~ousunurk ja t~ ous. Tasandil xy - teljestikus antud sirge s t~ousunurgaks nimetatakse selle sirge ja x - telje positiivse suuna vahelist nurka, mille v¨a¨artus ab pooll~oigule [0, ). T~ousva sirge korral (0, 2 ) ja langeva radiaanides j¨a¨ sirge korral ( 2 , ) (vt joonis 3.1). Sirge s t~ ousuks p nimetatakse tema t~ousunurga tangensit, st p = tan . yy yy 0<< 2 2 << cc cc cc cc
Diferentseeru- vuse geomeetriline sisu. Sirge t~ousunurk ja t~ ous. Tasandil xy - teljestikus antud sirge s t~ ousunurgaks nimetatakse selle sirge ja x - telje positiivse suuna vahelist nurka, mille v¨a¨artus radiaanides j¨a¨ab pooll~oigule [0, ). T~ousva sirge korral (0, 2 ) ja langeva sirge korral ( 2 , ) (vt joonis 3.1). Sirge s t~ ousuks p nimetatakse tema t~ousunurga tangensit, st p = tan . yy yy 0<< 2 2 << cc cc cc cc
annaabi.ee 
