∆y f ( x+ ∆ x )−f (x) f’(x) = lim = lim Geomeetriline tõlgenus: tuletise f(x) väärtus argumendi x antud ∆ x→ 0 ∆x ∆ x→ 0 ∆x väärtusel = x-telje positiivse suuna ja funktsiooni f(x) graafikule punktis M 0(x,y) joonestatud puutuja vahelise nurga tangensiga. f’ on mingis punktis graafikule tõmmatud puutuja tõusunurga tangens. f’(x) = tan α. f ' ( x )−f ' (a) f ( n−1 ) ( x )−f ( n−1 ) (a) f’’(a) := [f’(a)]’x=α = lim f(n)(a) := [f(n-1)(a)]’x=a = lim x→ a x−a x→ a x−a
Õpetus: sin, cos ja tan tan = VK:LK Sin = vk: hüp Cos = lk : hüp Kuna sooviti teada saada mõningaid põhitõdesi seoses sin, cos ja tan-iga siis tegin ülevaatliku, kuid siiski suhteliselt detailse teema seoses nendega. See õpetus peax andma selguse antud seostest ja kuidas seda kõike rakendada Game Maker -is. Selle teadmine võib tulla kasuks, kui on vaja leida erinevaid nurki. Räägin siis mõningad põhitõed seoses siinus, koosinus ja tangensiga. Kõik suhted on seotud täisnurkse kolmnurgaga. Ilma täisnurgata vastavad seosed ei kehti. Pildil: a = alus / kaatet 1 b = kõrgus / kaatet 2 c = hüpotenuus A' = alfa kraad B' = beeta kraad GM funktsioonid: radtodeg(x) = teeb radiaanid kraadideks arcsin(x) = sin-1 e. siinuse pöördväärtus arccos(x) = cos-1 e. koosinuse pöördväärtus arctan(x) = tan-1 e. tangese pöördväärtus Nurkade leidmine Siinus: sin = vastaskülg / hüpotenuus
tema tuletist y järgi, mis arvutatakse eeldusel, et x on konstantne. 7. Kahe muutuja funktsiooni osatuletiste geomeetriline interpretatsioon (korralik selgitus joonise 2 põhjal). Olgu joonisel kujutatud pinna võrrand z=f(x,y). Suhe xz/y võrdub lõikaja PT ja y-telje positiivse suuna vahelise nurga tangensiga: Piirväärtus võrdub järelikult joonele PT punktis P ehitatud puutuja PB ja y-telje positiivse suuna vahelise nurga tangensiga: Niisiis võrdub osatuletis arvuliselt pinna z=f(x,y) ja tasapinna x=const lõikejoone puutuja tõusunurga tangensiga. Analoogiliselt võrdub arvuliselt pinna z=f(x,y) ja tasapinna y=const lõikejoone puutuja tõusunurga tangesinga. 8
Sirge y = 0 on x-telg. Joone y =1 - x 2 graafik on parabool, mis avaneb alla, nullkohad on -1 ja 1. ABC = 900 . Kuna VABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, siis alusnurgad on võrdsed ja CBA = CAB = 450 . Koonusekujulise katuse moodustajat läbiv sirge on puutujaks paraboolile y = 1 x2. Märkus: puutuja võrrand y y0 = k(x x0). Puutuja tõus on k ja puutepunkt (x0; y0). Kuna sirge tõus võrdub tõusunurga tangensiga, siis otsitava puutuja tõus k = tan 450 = 1. k = y ( x0 ) ; y = 1 - x 2 ; y = -2 x; 1 = -2 x0 x0 = -0,5 ja y0 = 1 - ( -0,5 ) = 0, 75 2 Puutepunkt on ( 0,5; 0,75). Koostame puutuja võrrandi. Saame y 0,75 = 1 . (x + 0,5); y = x + 0,5 + 0,75; y = x + 1,25. Saime sirge, mis lõikab y-telge punktis C(0; 1,25). Parabooli haripunkt on punktis H(0; 1).
f ( x; y + y ) - f ( x; y ) Analoogselt y järgi lim y 0 y . Geomeetriliselt näitab osatuletis x järgi pinna (funktsiooni z=f(x;y) graafiku) puutujatasandi tõus x-telje sihis. Osatuletis z x' võrdub arvuliselt pinna z = f (x, y) ja tasapinna y = const lõikejoone puutuja tõusunurga tangensiga. Kõrgemat järku osatuletis- Olles arvutanud osatuletise , saame leida ka kõrgemat järku osatuletisi , 2z Teist järku osatuletist x järgi tähistame kas z xx'' , z x'' 2 , z x 2 , , tavaliselt eelistame teisena esitatud x 2 kirjapilti. Segaosatuletiseks nimetame teist (või kõrgemat) järku osatuletist, kus tuletis on võetud
'=d/d Suhteline pikideformatsioon ja suhteline ristlõike mõõtme deformatsioon on omavahel seotud Poissoni teguriga: = '/ Poissoni tegur on võrdetegur,mis iseloomustab ainult materjali omadusi. 1.4.2.Tangensiaalpinge ja nihkemoodul Eraldame deformeeritavast materjalis mõttelise kuubi ning käsitleme nihkedeformatsiooni, kui vastastahkude suhtelist nihet y , mis võrdub nihkenurga tangensiga... Nihkedeformatsiooni puhul on tegemist tangensiaalpingega t, mis on võrdne tahu puutuja sihilise jõuga f, pindalaühiku kohta, deformeerunud kehas. Isotroopse materjali, see tähendab sellise materjali, mille omadused on kõikides sihtides õhesugused, puhul jaotub pinge kogu kehas ühtlaselt. Tangensiaalpinge Nihkemoodul G =f( all)/S G= /y= /tan 1.4.3.Vääne ja väändemoodul(f)
0,2%. 0,2 = lisaindeks, mis näitab baaspikkuse muutu. Kasutatakse nende sulamite tõmberdiagrammide puhul, millel voolavusplatvorm puudub. Plastsusnäitajad: Katkevenivus A - suhteline pikenemine protsentides purunemiseni. Katkeahenemine Z - teimiku tööosa ristlõike pindala suhteline muutumine katkenemiseni, avaldatud protsentides. Jäikusnäitaja E - elastsusmoodul ehk materjali vastupanu elastsele deformatsioonile. Elastusmoodul määratakse tõmbediagrammi lineaarse osa tõusunurga tangensiga. Materjalide sitkusnäitajad, nende ühikud ja kasutamine. KV - sellega tähistatakse V-soonega teimiku purustamiseks kulutatud tööd - purustustööd. Ühikuks on J (džaul). KU - sellega tähistatakse U-soonega teimiku purustamiseks kuluatatud tööd - purustustööd. Ühikuks on J (džaul). Külmhapruslävi TKHL - üks tähtsamaid metallide töökindluse kriteeriume. Külmhaprusläve kasutatakse, kui materjalil on piiratud sitkus ehk purunemispildis esineb nii teralise kui ka
Voolu kulgedes läbi sellise materjali kuumenevad osakesed erinevalt, osakestevahelised kontaktpinnad muutuvad, osakesed hakkavad liikuma, samuti tekivad materjalis mitmesugused elektrokeemilised protsessid. 42. Selgitada, kuhu on kontsentreeritud kaod kondensaatoreis, millise parameetriga on nad määratud. On kontsentreeritud mitte plaatide vaid dielektrikusse ning on määratud dielektrilise materjali kaonurga tangensiga. 43. Millest on tingitud kaod kõrgsageduspoolides? Kadu = vaseskaod + pinnaefekti kadu + lähedusefekti kadu (keerdude magnetväljad indutseerivad üksteist pöörisvoolusid, mis ühes osas liituvad voolule ja teises osas vähendavad seda mida suurem on pooli diameeter, seda väiksem on) + pooli varjestuses indutseeritud pöörisvoolude takistus + raudsüdamiku takistus + pooli karkassi ja pooli traadi isolatsiooni kaod.
Kui kehade massikeskmed asuvad põrke ajal põrkejoonel, siis nimetatakse põrget tsentraalseks. Kerakujuliste kehade põrge on alati tsentraalne. Absoluutselt elastse põrke puhul kehtivad impulsi jäävuse ja mehaanilise energia jäävuse seadused: Wk1 + Wk 2 = Wk1 + Wk2 p1 + p 2 = p1 + p 2 2m2 v 2 + (m1 - m2 )v1 v1 = m1 + m2 2m1v1 + (m2 - m1 )v 2 v 2 = m1 + m2 29. Absoluutselt elastne kaldpõrge Läbi vaja korrutada pörkejoone ja pinna vahelise nurga tangensiga. 30. Absoluutselt mitteelastne põrge m v + m2 v 2 v= 1 1 m1 + m2 Erijuhul, kui massid on võrdsed, saab kiiruse arvutada: v1 + v 2 v= 2 Pöördliikumine 31. Inertsimoment: punktmassi, punktmasside süsteemi ja keha inertsimoment telje suhtes; Steineri lause; homogeense varda inertsimomendi valemi tuletamine. Keha e punktmasside süsteemi inertsimoment: n I = mi ri 2 i =1 Ühe punktmassi inertsimoment seega ilma summamärgita.
1.5.Võnkumised 1.4.2.Tangensiaalpinge ja nihkemoodul 1.5.1.Harmoonilised võnkumised Eraldame deformeeritavast materjalis mõttelise kuubi ning käsitleme Harmooniliseks nimetatakse võnkumist, mis on nihkedeformatsiooni, kui vastastahkude sumbumatu ja milles võnkuv suurus muutub suhtelist nihet y , mis võrdub nihkenurga ajas sinusoidaalse (harmoonilise) tangensiga... seaduspärasuse järgi. harmooniline võnkumine on võnkumine Nihkedeformatsiooni puhul on tegemist hälbega võrdelise ja tasakaaluasendi poole tangensiaalpingega t, mis on võrdne tahu suunatud jõu mõjul. puutuja sihilise jõuga f, pindalaühiku kohta, Suurust x, mis mõõdab kõrvalekaldumist
Funktsioon võib olla pidev, kuid mitte- diferentseeruv. Definitsioon 2 Funktsioon on diferentseeruv punktis x, kui tal on tuletis selles punktis. Funktsioon on diferentseeruv mingis vahemikus, kui ta on diferentseeruv selle vahemiku igas punktis. Kui x 0 , siis lõikaja PQ muutub puutujaks PT ja nurk y y ' = lim = lim tan = tan x 0 x x 0 Tuletis y' on geomeetriliselt võrdne kõverjoone y =f(x) tõmmatud puutuja tõusuga (tõusunurga tangensiga) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 10 k = tan = y ' Sirge võrrand, mis läbib punkti A (x0,y0) tõusuga k on y - y 0 = k ( x - x 0 ) Kõverjoone y =f(x) puutuja punktis x=x0 y - y 0 = y ' ( x 0 )( x - x 0 ) , kus y 0 = f ( x 0 ) 1 Kaks sirget tõusudega k1 ja k2 on risti siis ja ainult siis, kui k1 × k 2 = -1 ehk k 2 = -
lõikajate piirseis. Kohal a ∈ D diferentseeruva funktsiooni f : D → R graafiku puutujaks punktis (a, f (a)) nimetatakse sirget, mis on määratud võrrandiga y = f′ (a) (x − a) + f (a) Niisiis, punktis a diferentseeruva funktsiooni f korral • punktis (a, f (a)) on funktsiooni graafiku puutujaks punkte (a, f (a)) ja (x, f (x)) läbiva lõikaja piirseis protsessis x → a, • tuletis f′ (a) on võrdne puutuja tõusuga, s.t. tõusunurga tangensiga. 23. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid (*) Teada funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletiste valemeid. (f ± g)′ (a) = f′ (a) ± g′ (a) (fg)′ (a) = f (a) g′ (a) + f′ (a) g (a) Tõestada summa ja korrutise valemid (laused 5.2 ja 5.4). Summa tõestus: Kui funktsioonid f : D → R ja g : D → R on punktis a ∈ D diferentseeruvad, siis ka funktsioonid f + g ja f − g on selles punktis diferentseeruvad ning (f ± g)′ (a) = f′ (a) ± g′ (a)
Funktsioon võib olla pidev, kuid mitte- diferentseeruv. Definitsioon 2 Funktsioon on diferentseeruv punktis x, kui tal on tuletis selles punktis. Funktsioon on diferentseeruv mingis vahemikus, kui ta on diferentseeruv selle vahemiku igas punktis. Kui x 0 , siis lõikaja PQ muutub puutujaks PT ja nurk y y ' = lim = lim tan = tan x 0 x x 0 Tuletis y' on geomeetriliselt võrdne kõverjoone y =f(x) tõmmatud puutuja tõusuga (tõusunurga tangensiga) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 10 k = tan = y ' Sirge võrrand, mis läbib punkti A (x0,y0) tõusuga k on y - y 0 = k ( x - x 0 ) Kõverjoone y =f(x) puutuja punktis x=x0 y - y 0 = y ' ( x 0 )( x - x 0 ) , kus y 0 = f ( x 0 ) 1 Kaks sirget tõusudega k1 ja k2 on risti siis ja ainult siis, kui k1 × k 2 = -1 ehk k 2 = -
Dielektrikuskaod kutes koroona ning tehnilistes tahketes dielektrikute gaastühemikes tekkivad lahendused. Dielektrikuskadudeks nimetatakse dielektrikus Kõige sagedamini iseloomustatakse dielektri- elektrivälja toimel ajaühikus hajuvat ja dielektriku kuskadusid kaonurgaga või kaonurga tangensiga soojenemist põhjustavat energiat. tan. Kaonurgaks nimetatakse nurka, mis täiendab Alalispingel on kaod põhjustatud ainult juhti- faasinihet voolu ja pinge vahel mahtuvuslikus vusest. Seega kõlbab alalispingel ka kadude iseloo- ahelas kuni 90°. Ideaalsel, kadudeta dielektrikul on mustamiseks meile juba tuttav eritakistus ja
88 4 Diferentseeruvad funktsioonid Sellega määratud sirget nimetatakse funktsiooni f graafiku puutujaks punktis P. Niisiis, kohal a diferentseeruva funktsiooni f korral defineeritakse tema graafiku punktis (a, f (a)) puutuja kui punkte (a, f (a)) ja (x, f (x)) läbiva lõikaja piirseis protsessis x → a, tuletis f ′ (a) on võrdne puutuja tõusuga, s.t. tõusunurga tangensiga (vt. joonis 4.1). Seega iseloo- mustab diferentseeruvat funktsiooni tema graafiku teatav siledus, asjaolu, et graafik on "ilma nurkadeta". y y = f (x) Q f (z) − f (a) y = f ′ (a)(x − a) + f (a)
Veelgi enam, vahepeal tahaksime kõiki vastuseid korraga esitada. Siis kirju- tame umbes nii: 218 proportsioonid ja kolmnurgad Sel juhul ei ole meil küll rangelt enam funktsioon, vaid loetleme lihtsalt kõik sirge ning siinusfunktsiooni lõikepunktid ja neid on palju! Arkustangens Tangensiga on selles suhtes lihtsam lugu, et ta võib võtta kõiki reaalarvulisi väär- tusi. Seega on tangensi pöördfunktsiooni ehk arkustangensi määramispiirkonnaks kogu reaaltelg. Probleem, et tangensfunktsioon on mitmes kohas sama väärtusega, muidugi säi- lib. Seega tuleb ka arkustangensi kui funktsiooni määramiseks välja valida üks kin- del piirkond. Mõistlik valik on näiteks , aga sobiks ka mõni teine. Arkustangensit tähistatakse arctan(�). Tähistustest
annaabi.ee 
