Ruumala: V = a · b · c Täispindala: St = 2(ab + ac + bc) AB - diagonaal Püströöptahukas Põhja pindala: Sp = a · ha Külgpindala: Sk = P · h Ruumala: V = Sp · h Põhja ümbermõõt: P = 2(a + b) Täispindala: St = Sk + 2Sp Korrapärane püstprisma Põhjapindala - kus n on tahkude arv Külgpindala - Sk = a · h · n Silinder Põhja pindala: Sp = Külgpindala: Sk = 2 · · r · h Ruumala: V = Sp · h = · ·r 2 Täispindala: St = Sk + 2Sp = 2 · · r · h + 2 · r2 · h
R - välisringjoone raadius 3 s sisenurkade summa n - nurkade, külgede arv Võrdhaarne kolmnurk a Korrapärane Korrapärane Silinder Koonus h2 + x2 =b2 x = püstprisma S = Pr püramiid VV= =
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x
VII kursus STEREOMEETRIA Keha Põhja pindala Külgpindala Täispindala Ruumala -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- TAHKKEHAD .................................................................................................................................................................................................................. Prisma Sk=ür l St =Sk +2Sp V=Sp h Püstprisma Sk
h Vsilinder = r 2 h 1 1 Vkoonus = r h = Vsilinder 2 3 3 Koonuse telg- ja ristlõige Telglõikeks - Ristlõige - võrdhaarne kolmnurk ring rl lõike raadius h 2r Prisma ja silinder P = na nar Sp = 2 Sk = P h S t = S k + 2S p V = Sp h Sp = r2 P = 2 r Püramiid ja koonus P = na nar Sp = 2 Pm Sk = 2 St = S k + S p 1 V = Sp h 3 Sp = r 2 P = 2 r Kera
Silindrikujulise õõnsuse pindala S 2 2r (a d ) . Saame õõnsuste pindalaks kokku S õõnsused 4db 2r 2 2r (a d ). Vastus. Välispinna pindala S 2ab ac bc d 2 r 2 , detaili ruumala V abc d 2 b r 2 (a d ) ja õõnsuste pindala S õõnsused 4db 2r 2 2r (a d ). 10) Antud on koonus, mille kõrgus on 15 cm ja ruumala 180 cm³. Koonuse sisse on kujundatud silinder. 1. Leidke koonuse põhja raadius R. 2. Avaldage silindri kõrgus h tema põhja raadiuse r kaudu. 3. Avaldage silindri ruumala tema põhja raadiuse r kaudu. 4. Kui suur peab olema silindri põhja raadius, et selle ruumala oleks maksimaalne? C Lahendus. 1. Teame, et koonuse ruumala on 3 180 1 2 D
Ring S=r2 ; P=2r Rööpkülik S=ah ; P=2(a+b) Ruut S=a ; P=4a 2 Romb S=d1*d2/2 = a*h Ristkülik S=a*b ; P=2(a+b) Trapets S=a+b/2*h = k*h ; P=a+b+c+d Kolmnurk S=a*h:2 ; P=a+b+c Täisnurkne kolmnurk S=1/2*ah ; Risttahukas S=2(ab+ac+bc) ; V=abc Viete teoreem: X1+X2 = -p Püstprisma Sk=P*h ; St=Sk+2Sp; V=Sp*h X1*X2 = q Kuup Sp=a ; Sk=4*a 2 2 Silinder Sp=r2 ; St=2r ; Sk=2rh ; V=r2h Kera S=4r2 ; V= 4/3 r3 Koonus Sp=r2 ; Sk=rm ; St=r ; V= 1/3 r2h Korrapärane püramiid Sk=P*h ; St=Sk+2Sp ; V=Sp*h Püramiid Sk=Pm/2 ; St =Sk+Sp ; V=1/3Sp*h · (a+b)(a-b)= a²- b² · (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ · (a+b)²= a²+2ab+b² · (a+b)(a²-ab+b²)= a³+b³ · (a-b)²= a²-2ab+b² · (a-b)(a²+ab+b²)= a³-b³ · (a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³ Sin = a/c a = c*sin c = a/sin Sin = b/c Cos = b/c b = c*cos ax2 + bx + c = 0 -b
R - välisringjoone raadius 3 s – sisenurkade summa n - nurkade, külgede arv Võrdhaarne kolmnurk a Korrapärane Korrapärane Silinder Koonus h2 + x2 =b2 x = püstprisma S = Pr püramiid VV= =
Ruutvõrrandi lahend: Vete'i teoreem: ax² + bx + c = 0 x2+px+q=0 x = -b±b²-4ac 2a x1+x2=-p x1*x2=q Pythagorase teoreem: Protsendid: %arvust x*%/100 a2+b2=c2 a=c2-b2 moodustaja x=25/10%*100=250 c=a2+b2 b=c2-a2 arv-arvust x-y-st x/y*100=% Korrutamise valemid (a+b)² = a² +2ab +b² (a-b)² = a² -2ab +b² (a+b)(a-b) = a² -b² (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b² (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Pythagorase joonis: c a b sin=a/c sin=b/c cos=b/c cos=a/c tan=a/b tan=b/a Rööptahukas: Sp=ab, Sk=2(a+b)h, V=Sp*h Koonus: Sp=r , Sk=rm, V=Sph/3=r2h/3 2 Püramiid: V=1/3Sph Ring: C=2r S=r2 Silinder: c=2r, Sk=2rh, St=Sk+2Sp, Sp=r2, V=r 2h=Sp*h Kera: S=4r2, V=4/3r3 Kuup: S=6*a2, V=a3 Kolmnurk: S = a x h : 2, P=a+b+c Trapets: S = (a + a2) : 2 x h, P = a + a2 + c + d Rööpkülik: S=a*h, P=2(a+b) Romb: S=a*h, P=2(a+b) Risttahukas: S=2(ab+ac+bc), V=abc R�
Pindala on 166 cm . 29.Kolmnurkne püstprisma - põhjadeks ehk Ül.1188 põhitahkudeks on kaks võrdset komnurka; Selgitada püstprisma elemente. kolmnurkade külgi nimetatakse püstprisma n=3 põhiservadeks; külgtahkudeks kolm tippe 6, külgservi 3, põhiservi 6, külgtahke 3 ristkülikut; ristkülikute ühiseid servi n=4 nimetatakse püstprisma külgservadeks; tippe 8, külgservi 4, põhiservi 8, külgtahke 4 valemid: põhjapindala Sp=ah:2, külgpindala n=5 Sk=PH, täispindala St=Sk+2Sp, ruumala tippe 10, külgservi 5, põhiservi 10, külgtahke V=SpH 5 vaata n=6 tippe 12, külgservi 6, põhiservi 12, külgtahke 6 NB näiteks võib olla sellise kujuga sammas, n=7
S=abc/4R, kus R on välisringjoone raadius Trapets S=a2*sin S=(a+b/2)*h S=0,5* d1*d2 Rööpkülik Sarnased kolmnurgad d12+d22=2(a2+b2) / S=ah / S= a*b*sin S1/S2=k2 (k=sarnasustegur) Silinder Sk = 2rh; St = Sk+2Sp=2rh+2r2 =2r(h+r); Sp = r2; V = r2h Koonus Sk = rm; St = Sp+Sk=r2+rm=r(r+m);V = 1/3r2h Kera S = 4r2; V = 4/3r3 Rööpkülik S=a*h Romb S=d1*d2 2 Trapets S=a+b*h 2 Püströöp Sk=P*H; P=2(a+b); Sp=a*h; St=Sk+2Sp;V=Sp*H tahukas
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2r ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = r² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 r² V = 4 : 3 r³ Silinder: Sp = r² Sk = rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 r²h Koonus: Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioonide korrutistega)
Silinder-keha,mille moodustab ümber oma ühe külje pöörlev ristkülik.Külge,mille ümber pöörleb ristkülik, nim silindri teljeks.Külge/pikkust nim silindri moodustajaks ja selle poolt pöörlemisel tekitatud pinda silindri külgpinnaks.Ristküliku küljed tekitavad pöörlemisel kaks võrdset ringi,mida nim silindri põhjadeks.Silindri lõikamisel tasandiga,mis läbib silindri telge,saame lõikeks ristküliku, mida nim silindri telglõikeks.Silindri lõikamisel tasandiga,mis on risti silindri teljega,saame lõikeks põhjadega võrdse ringi,mida nim silindri ristlõikeks.Silindri põhjade vahelist kaugust ja ka vastava pikkusega lõiku nim silindri kõrguseks.Silindri külgpindala on võrdne põhja ümbermõõdu ja kõrguse korrutisega.Sk=P*h;Sk=2*3,14rh;St=2Sp+Sk;V=Sp*h Koonus-keha,mille moodustab ühe oma kaateti ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk.Kaatetit,mille ümber täisnurkne kolmnurk pöörleb nim koonuse teljeks,hüpotenuusi aga koonuse moodustajaks.Pöörleva kolmn
Tähised ja valemid Tähised P= ümbermõõt H= ruumilise kujundi kõrgus (suur kõrgus) S= pindala Sp = põhjapindala Sk = külgpindala St = täispindala V= ruumala C= ringjoone pikkus a, b, c, jne = kujundi küljed h = tasapinnalise kujundi kõrgus (väike kõrgus) valemid Rööpkülik S= ah P=2a + 2b Romb S= d1d2 2 P= 4a Kolmnurk S = ah 2 P=a+b+c Ruumilised kujundid (püströöptahukas, risttahukas, kuup, kolmnurkne püstprisma) Sk = PH St = Sk + 2Sp V= SpH Ring C= 2r S=r² π = 3,14
Koonus Koonus on keha, mille moodustab ühe oma kaateti ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk. Kaatet BC, mille ümber pööreb koonust moodustav täisnurkne kolmnurk, on koonuse teljeks. Kolmnurga hüpotenuus AB on koonuse moodustajaks. Koonuse moodustajat tähistatakse tavaliselt tähega m. Pöörleva kolmnurga teine kaatet CA moodustab ringi, mida nimetatakse koonuse põhjaks. Lõiku CA, mis on koonuse põhja raadius, tähistatakse ka tähega r. Kolmnurga hüpotenuus moodustab pöörlemisel koonuse külgpinna. Punkti B nimetatakse koonuse tipuks ning tipu kaugust koonuse põhjast (lõiku BC) koonuse kõrguseks ning tähistatakse tavaliselt tähega H. Koonuse pinnalaotus Valemeid Koonuse täispindala Koonuse täispindala St on külgpindala Sk ja põhitahu pindala Sp summa St = Sk + Sp Koonuse külgpindala võrdub põhja ümbermõõdu ja
PÖÖRDKEHAD Silinder Koonus V = Sp*h = r2*h Sk = rm St = 2Sp+Sk = 2r(r+h) Sp = r2 Sp = r2 St = Sk+Sp = rm + r2 Sk = c*h = 2r*h Kera S = 4r2
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2πr ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = πr² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 π r² V = 4 : 3 π r³ Silinder: Sp = π r² Sk = π rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 π r²h Koonus: Sp = π r² Sk = π rm St = Sp + Sk V = 1/3 π r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=√c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioonide k
Ruumilised kujundid Hulktahukad e. Polüeeder on hulknurkade piiratud geomeetriline keha. Hulktahukas koosneb: · Tahkudest (külgtahud, 2põhitahku) · Servadest · Tipudest Hulktahukas jaguneb: · Kumerad: prisma, püramiid, korrapärased hulktahukad · Mittekumerad Prisma: Kaldprisma ja püstprisma 2 tahku on paralleelse ja võrdsed põhitahud, ülejäänud tahud on ristkülikud. Kas prisma on korrapärane või mitte sõltub tema põhjast. Kõik kaldprismad on mittekorrapärased prismad. Sk= PH V= SpH Sp sõltub põhja kujundist St= Sk+2Sp Püramii
Koonus Koonuseks nimetatakse pöördkeha, mis tekib täisnurkse kolmnurga pöörlemisel ümber oma kaateti koonuse Külgpindala Täispindala moodustaja Sk = r m d S = Sk + S p = pin ülg gl et m = r (r + m ) ek h us on Ruumala ko 1 es unook V = r 2h r 3 koonuse põhi Ruumalade suhe Võrdse kõrguse ja põhja raadiuse p
Pindala on 166 cm . 29.Kolmnurkne püstprisma - põhjadeks ehk Ül.1188 põhitahkudeks on kaks võrdset komnurka; Selgitada püstprisma elemente. kolmnurkade külgi nimetatakse püstprisma n=3 põhiservadeks; külgtahkudeks kolm tippe 6, külgservi 3, põhiservi 6, külgtahke 3 ristkülikut; ristkülikute ühiseid servi n=4 nimetatakse püstprisma külgservadeks; tippe 8, külgservi 4, põhiservi 8, külgtahke 4 valemid: põhjapindala Sp=ah:2, külgpindala n=5 Sk=PH, täispindala St=Sk+2Sp, ruumala tippe 10, külgservi 5, põhiservi 10, külgtahke V=SpH 5 vaata n=6 tippe 12, külgservi 6, põhiservi 12, külgtahke 6 NB näiteks võib olla sellise kujuga sammas, n=7
Ruumilised kehad: RISTTAHUKAS 1. Ristkülikukujulise ristlõikega kanalisatsioonikraavi põhja laius on 50 cm, sügavus 180 cm. Kraavi pikkus on 42 m. Mitu kuupmeetrit pinnast tuli selle kraavi kaevamisel välja võtta? Lahendus: Peame arvutama kraavi ruumala V = S p H . Kõigepealt teisendame: 180 cm = 1,8 m; 50 cm = 0,5 m. V = 42 0,5 1,8 = 37,8 m3 Vastus: Kraavi kaevamiseks tuli kaevata 37,8 m3 pinnast. 2. Mitu töölist kaevab 6 tunniga ristkülikukujulise lõikega kraavi, mille laius on 50 cm, sügavus 1 m 20 cm ja pikkus 30 m, kui üks tööline kaevab tunnis välja 0,75 m3? Lahendus: Teisendame: 50 cm = 0,5 m; 1 m 20 cm = 1,2 m. Leiame kraavi ruumala V = S p H . Saame V = 30 0,5 1,2 = 18 m 3 . Ühes tunnis kaevavad kõik töölised kokku 18 : 6 = 3 m3 pinnast. Teame, et üks tööline kaevab aga tunnis 0,75 m3 pinnast. Seega 3 m3 kaevamiseks ühe tunni jooksul on vaja 3 : 0,75 = 4 töölist. Vastus: Antu
Valemid: Pindala ja ruumala 1. Pindala Ümbermõõt on kujundit ümbritsevate külgede pikkuste summa. Ristküliku pindala on korrutis: alus korrutatud sellega ristuva kõrgusega. Kolmnurga pindala on pool sama aluse ja kõrgusega ristkülikust, sellepärast valemis on esitatud lisategur ½, seega ½ alus kord kõrgus. Ringi puhul tuleb kasutada konstaanti , mis on 3,14. Ristkülik Ümbermõõt: P = 2(a + b) Pindala: S = ab Erijuhtum: Ruut Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a2 Rööpkülik Ümbermõõt: P = 2(a + b) Pindala: Sa = a h Romb Ümbermõõt: P = 4a ef Pindala: S = 2 Trapets Ümbermõõt: P =a+b +c + d a +c Pindala: S= ha 2 Kolmnurk Ümbermõõt: P = a+b+ c a hc Pindala: S= 2 Erijuhtum: Täisnurkne kolmnurk Ümbermõõt: P = a+b+ c a b Pindala: S=
apoteem nar m Sp = 2 Külgpindala nam Sk = 2 Täispindala St=Sp+Sk Püramiidi ruumala E 1 V = Sp H 3 H D C A B Leia korrapärase kuusnurkse püramiidi täispindala ja ruumala, kui põhiserv on 3 cm, põhja apoteem 2,6 cm, püramiidi kõrgus 5 cm ja külgtahu apoteem 5,5 cm. Lahendus Kirjutan välja andmed. Leian põhjapindala Sp Leian külgpindala Sk Leian täispindala St Leian ruumala V Kirjutan vastuse
Silinder Silinder on keha, mille moodustab ümber oma ühe külje pöörlev ristkülik. Ristküliku külge AB, mille ümber pöörleb silindrit moodustav ristkülik, nimetatakse silindri teljeks. Silindri telje vastas asetsev ristküliku külg CD on silindri moodustaja, silindri moodustaja on ka silindrile kõrguseks, kõrgust tähistame tähega H ja ristküliku kaks ülejäänud külge on silindri raadiusteks, raadiuseid tähistame tavaliselt tähega r. Valemeid Silindri täispindala Silindri täispindala St on külgpindala Sk ja põhitahkude pindalage Sp summa St = Sk +2 Sp Silindri külgpindala võrdub põhja ümbermõõdu ja silindri kõrguse korrutisega. Sk = PH Silindri ruumala Silindri ruumala on võrdne selle põhja pindala Sp ja silindri kõrg
Täisnurkne kolmnurk: kolmnurk: a2+b2=c2 koosinusteoreem: a2=b2+c2-2bc x cosa sina=vastaskaatet/hüpotenuus S=ah/2 cosa=lähiskaatet/hüpotenuus S=absin/2 tana=vastaskaatet/lähiskaatet S=ruutjuur p(p-a)(p-b)(p-c) Ümberringjooneraadius R=c/2 P=a+b+c/2 S=ab/2 S=pr-> siseringjoone raadius 1/3 v.k.k. S=abc/4R->ümberringjoone raadius 2/3 Rööpkülik: Romb: P=2(a+b) P=4a S=ah1=bh2 S=ah S=absina S=d1xd2/2 ; S=a2sina d12+d22=2(a2+b2) d12+d22=2(a2+a2) ; d12+d22=4a2 Ristkülik: trapets: P=2(a+b) k=a+b/2 S=ab S=a+b/2xh S=kh Ruut: S = a² P=4xa Ristkülik: S=axb P = 2(a + b) Kolmnurk: S=axh:2 P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2
Valemid: Ruumilised kujundid Kuup Kuubi serv on a. Näide Kuubi serva pikkus Kuubi ruumala V = a3 Kuubi täispindala on a = 2 cm. Et kuubi üks tahk on ruut ja kuubil on Näide St = 6 · a2 6 tahku, siis täispindala Olgu kuubi serva pikkus 2 cm, St = 6 · 22 =6 · 2 · 2 = siis kuubi ruumala on: =24 cm2 V = 23 = 2 · 2 · 2 = 8 cm3 Risttahukas Risttahuka servad on a, b, c. Risttahuka ruumala on Risttahuka täispindala on St = 2 · a · b + 2·a·c + 2·b·c V=a·b·c St = 2 ·
5. KOLMNURK 18. RÖÖPKÜLIK 6. KOONUS 19. RÖÖPTAHUKAS 7. KORRAPÄRANE HULKNURK 20. SEKTOR 8. KORRAPÄRASE HULKNURKSE PÕHJAGA PÜRAMIID 21. SILINDER 9. KUMERTIPNE RUUT 10. KUMERÄÄRNE KUUP 22. ,,STAADION" 23. TOROID 11. KUUP 24. TORU 12. RING / RINGJOON 25. TRAPETS 13. RISTKÜLIK Jrk
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Detail Üliõpilane Õppemärkmik Õppejõud Õpperühm Rakendus Exceli valemitega. b Mõõtmed: f Ristküliku kõrgus a 120 Ristküliku laius b 80 Kolmnurga alus e 40 e Kolmnurga kõrgus f 25 Ringi raadius r 20 Detaili kõrgus h 40 Põhja pindala Err:509 r Külgpindala Err:509 Täispindala Err:509 Ruumala Err:509 ÕM_nr Variant 12 Materjal: liimpuit Värv: pulbervärv Materjal Värvi liik 2 8
Kolmnurkne püstprisma Kolmnurkne püstprisma on piiratud kolme ristküliku ja kahe võrdse kolmnurgaga. Kolmnurgad on püstprisma põhitahud. Kolmnurkade külgi nimetatakse püstprisma põhiservadeks. Ristkülikud on püstprisma külgtahud. Ristkülikute ühiseid servi nimetatakse püstprisma külgservadeks. Joonisel kujutatud püstprismat tähistatakse püstprisma ABCDEF. Põhitahud on kolmnurgad ABC ja DEF. Külgtahud on ristkülikud ABED, BCFE ja ACFD. Põhiservad on lõigud AB, BC, AC, DE, EF ja DF. Külgservad on lõigud AD, BE ja CF. Kolmnurkne püstprisma on ruumiline kujund ehk keha, sest tema kõik punktid ei asu samal tasandil. Kolmnurkse püstprisma pindala Kolmnurkse püstprisma pindala leidmist on hea vaadata püstprisma pinnalaotuse p�
Põhikooli matemaatikakursuse põhivalemid Tehe Valem 1. Harilike murdude liitmine a c ad + bc + = b d bd 2. Harilike murdude lahutamine a c ad - bc - = b d bd 3. Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd 4. Harilike murdude jagamine a c ad : = b d bc 5. Astmete korrutamine am an = am+n 6
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks
Kuup Ristthaukas V=a3 V=a*b*c St=6*a2 St= 2(ab+ac+bc) Püstprisma Kor.Püramiid V=Sp*h V=1/3Sp*h St=Sk+2Sp St=Sk+Sp Sk=Üh Sk=1/2Ümn Silinder V=Pii*r2*h St=Pii*r*m+pii*r2 Sk=Pii*r*m Kera V=4/3*Pii*r3 S=4*Pii*r2
Püramiidi põhjaga paralleelne lõige on põhjaga sarnane hulknurk. Püramiidi põhja pindala ja põhjaga paralleelse lõike pindala suhtuvad nagu vastavate püramiidi kõrguste ruudud. ABCD ~ KLMN AB BC CD DA = = = =K KL LM MN NK 2 S h = S1 h1 1 Sk = nam 2 1 S t = na ( m + k ) 2 1 V = S ph 3 ABCD püramiidi põhi KLMN püramiidi põhjaga paralleelne ristlõige S püramiidi põhjapindala S1 püramiidi põhjaga paralleelse ristlõike pindala h püramiidi kõrgus h1 püramiidi põhjaga paralleese ristlõike kõrgus Sk korrapärase püramiidi külgpindala St korrapärase püramiidi täispindala Sp põhja pindala V ruumala n põhja nurkade arv a püramiidi põhiserv m püramiidi apoteem k põhja apoteem
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
