Referaat Kurt Gödel 18.05.2013 Sisukord: · Sissejuhatus · Loogika · Elulugu · Viini ring ja Kurt Gödel · Gödel Princetoni perspektiivsete uuringute instituudis. · Gödeli täielikkuse ja mittetäielikkuse teoreemid · Kokkuvõte · Kasutatud allikad Sissejuhatus. Selles referaadis annan teile ülevaate loogikast ja ühest Austria-Ameerika loogikust, matemaatikust ja filosoofist, Kurt Gödel'ist. Loogika Loogika on teadus, mis uurib mõtlemise reegleid. Loogikat peetakse ka veel mõtlemismudeliks.
tõestuseta). Teoreem 5. (korrektsuse teoreem) Kui sekvents 1 , 2 , ... , G on tuletatav, siis tema valemkuju on samaselt tõene. Tõestus lk. 99-100 Teoreem 6. (Mittevasturääkivuse teoreem) Sekventsiaalne predikaatarvutus on mittevasturääkiv. Tõestus. Tõestus on analoogiline lausearvutuse juhuga. Teoreem 7.(Täielikkuse teoreem) Kui sekventsi 1 , 2 , ... , G valemkuju on samaselt tõene, siis sekvents on tuletatav. Selle teoreemi tõestas austria loogik ja matemaatik Kurt Gödel aastal 1930. Omal ajal oli see matemaatilise loogika üks silmapaistvamaid tulemusi. Meie seda teoreemi käesolvas kursuses ei tõesta. Võrdusega predikaatarvutus. Sümmeetrilisuse ja transitiivsuse tuletamine võrdusega predikaatarvutuses. Korrektsus, mittevasturääkivus, täielikkus (neist viimane tõestuseta). Esimest järku aksiomaatilised teooriad. Teoreemid nende korrektsuse, mittevasturääkivuse ja täielikkuse kohta. Formaalne aritmeetika. Gödeli
Piirangute kaotamiseks piisab korrutamise lubamisest: nimelt saab liitmise ja korrutamise abil defineerida ka teised tuntud aritmeetikatehted. Olgu meil hulk aritmeetika aluseid kirjeldavaid baasväiteid G. Kas iga aritmeetikateoreemi, mis on tegelikult tõene, saab loogikareeglite abil tuletada G-st? Kui jah, siis on G aritmeetika jaoks täielik aksioomide kogu. Kui ei, siis ilmselt on G-st midagi vajalikku puudu. Kolmekümnendatel aastatel tõestas Kurt Gödel enamikule selleaja loogikutele ootamatult ühe praeguseks kuulsaima loogikateoreemi üldse: teoreemi mittetäielikkusest. Nimetatud teoreem näitab, et aritmeetikat ei saa taandada loogikale. Konkreetselt: ei ole olemas lõplikku baasväidete kogu G, millest saaks tuletada kõiki aritmeetikateoreeme. Ükskõik kui palju baasväiteid aritmeetika kohta me ka G-sse ei võtaks, alati leidub matemaatiliselt õigeid aritmeetikateoreeme, mida
võimeline lahendust automaatselt otsima ja tuletama. Sellegipoolest ei ole Prolog siiski automaatse teoreemitõestamise süsteem: viimast realiseeriv mehhanism on Prolog-is väga piiratud, spetsiifline ja loogiliselt mittetäielik. 12. GÖDEL lahenduvus: ei saa olla lõplikku aksioomide ja reeglite kogu, millest saab järeldada kõiki tegelikult õigeid matemaatikaväiteid. Gödeli mittetäielikkuse teoreemid (inglise Gödel's incompleteness theorems) ehk Gödeli teoreemid on Kurt Gödeli (19061978) kaks teoreemi matemaatilises loogikas, mis demonstreerivad iga loogilise süsteemi, mis sisaldab formaalse aritmeetika, piiratust või mittetäielikkust[1]. Gödel väitis, et igas formaalses aritmeetikas leidub tõene lause, mis ei ole antud formaalses aritmeetikas tõestatav 13. 19 Tugev ehk lai AI:
· Leida inimese koht tuleviku kooslustes 18. Milline võiks olla intelligentsete süsteemide tunnetuslik ja majanduslik väärtus? Näiteks hinnatakse, et arvutisüsteemid mõjutavad börsi rohkem kui inimesed. Harvardi Ülikooli professor Kenneth Rogoff pakub, et tehisintellekti rakenduste areng võib mõjutada maailma lähitulevikus rohkem kui Hiina ja India kasv, mida üldiselt peetakse kõige suuremaks maailma majandust muutvaks teguriks 19. Kas Gödel i ja Löbi teoreemid võivad midagi öelda intelligentsete süsteemide kohta? 20. Vajadused ja motiivid teadmussüsteemide (TS) tekkeks ja arenguks. 21. Andmed, info, teadmine, teadmus. · andmed iseloomustavad objekti mingeid atribuute üldiselt aktsepteeritud skaalal (pikkus, kaal, hulk jne), · info tekib omavahel seostatud andmete põhjal; seda saab mingil eesmärgil kasutada, · teadmine sisaldab ka seoseid andmete vahel, mis on vajalikud otsuse
Selle käigus lõi võimalikud maailmad ja modaalse loogika (erineva võimalikkuse loogika) Võimalikud maailmad olid vajalikud jumala olemasolu tõestamiseks "jumal on täiuslik, kõik mis ta tegi on täiuslik" aga kust teame? Peame võrdlema seda teiste maailmatega kalkuleeris kõik võimalikud maailmad läbi, realiseeris parima see on meie maailm kõikidest võimalikkudest maailmatest parim võimalik maailm on nt eilne maailm (see maailm, mis oli eile) Kurt Gödel (1906-1978) Mittetäielikkuse teoreem (1931) Kui väiteid saab tõestada süsteemi vahenditega, siis paratamatult tekivad vastuolud Kui süsteem/keel on konsistentne (mittevastuoluline), siis ei saa ta olla täielik (st sisaldab väiteid, mis võivad olla tõesed, kuid selles süsteemis mitte tõestatavad) Aksioomide konsistentsust ei ole võimalik tõestada vastava süsteemi vahenditega Metakeel Keel, mis kirjeldab seda teist keelt Metakeele tähendused on keeles
keskme 200 000 000 aastaga. 1930 Dirac ennustab positroni olemasolu. 1930 Subrahmanyan Chandrasekhar avastab valgete kääbuste massi ülempiiri. 1930 Clyde Tombaugh avastab Pluuto. 1931 Harold Clayton Urey avastab raske vesiniku. 1931 Pauli ennustab neutriino olemasolu. 1931 Van de Graff valmistab elektrostaatilise aatomilõhustaja (tänapäeva kiirendite eellane). 1931 Kurt Gödel näitab, et isegi matemaatika on ebatäpne. 1932 James Chadwick avastab neutroni. 1932 Carl David Anderson avastab positroni. 1932 Heisenberg esitleb aatomituuma prooton-neutron mudelit ja seletab sellega isotoopide olemasolu. 1933 Isidor Isaac Rabi alustab tööd molekulkimpudega ja saavutab suure täpsuse. 1933 Zwicky ja Baade pakuvad välja neutrontähe idee ning arvavad, et supernoovad on tekkinud tavaliste tähetede kokkutõmbumisel
kõverad aegruumid. võetakse kosmoselaevale pikaks Kosmoselaev rännakuks kaasa, teine ava aga naaseb Maale, Seepärast oli Einstein jääb Maale. ussiurke suue pardal vapustatud, kui Kurt Väljub kosmoselaeva kell Gödel avastas 1949. 10. 00 aastal ühe sellise aegruumi universumi Ussiurke ava Maal täis pöörlevat ainet, mille igat punkti Siseneb Maalt kell 12. 00 Kosmoselaeva ussiurge läbivad ajasilmused (joon. 5.4). Gödeli lahend nõudis kosmoloogilist
Seepärast oli Einstein ussiurke suue jääb Maale. pardal vapustatud, kui Kurt Väljub kosmoselaeva Gödel avastas 1949. kell 10. 00 aastal ühe sellise aegruumi universumi Ussiurke ava Maal täis pöörlevat ainet, mille igat punkti Siseneb Maalt kell 12. 00 Kosmoselaeva ussiurge läbivad ajasilmused (joon. 5.4).
hea ja osalt halb masin. Miks on vaja keeles sünonüüme(erinevad asjad, mis tähendavad sama asja) ja homonüüme (samad märgid, mis tähendavad erinevaid asju). Ratsionaalne keel peab olema selline keel, milles ei saa valetada grammatika välistab õigete lausete puhul, et nad vastavad valele. Seega kui keegi hakkab valetama, siis ta moodustab grammatiliselt vale struktuuri ja me saame teada, et ta valetab. · Gurt Gödel (1906-1979) tõestab, et sellise keele loomine, milles ei saa valetada on võimatu. Keelesemantika Tähendus lülitati keeleteadusest välja. Keeles on väga palju spetsiifilisi termineid (mutri kujud, loomade liigid jne), kuid see ei takista meil teada eesti või inglise keelt. Keeleteadus tegeleb ainult struktuuriga. Chomsky avaldas 1957 raamatu ,,Süntaktilised struktuurid", ütleb, et keel ei tegele tähendusega, võivad olla perfektsed laused ei tähenda midagi ,,Colorless
son won the election and whoever won it is such that s/he could have lost.5 In a similar but more sophisticated move, some philosophers have finessed objection 3 by "rigidifying" the descriptions in terms of which they explicate names: Understand "Richard Nixon," not as "the winner of the 1968 elec- tion," but as "the actual winner of the 1968 election." See the next chapter. Objection 4 Kripke (1972/1980: 837) offers an (utterly fictional!) example regard- ing Gödel's Incompleteness Theorem, a famous metamathematical result. In Kripke's fiction, the theorem was proved in the 1920s by a man named Schmidt, who died mysteriously without publishing it. Kurt Gödel came along, appropriated the manuscript, and scurrilously published it under his own name.6 Now, most people know Gödel, if at all, as the man who proved the Incompleteness Theorem. Yet it seems clear that, when even those who know nothing else about Gödel utter the name "Gödel," they do refer to
G. W. Leibnitz (1646-1716). Idee luua universaalne sümbolkeel, mida võib kontrolloda ka masinaga. Tegi palju matematilise loogika jaoks, kuid ei avaldanud. G. Boole (1815-64) Lausearvutus. Seda arendas A. de Morgan. (1806-1871). Gottlob Frege (1848-1925) Esimest järku predikaatarvutus. Georg Cantor (1845-1918). Hulgateooria ja paradoksid. Bertrand Russell (1872-1970). Paradoksid, tüüpide teooria Alfred Tarski (1902-1983). Objektkeel ja metakeel. Kurt Gödel (1906-1978). Mittetäielikkuse teoreem. Alan Turing (1912-1954). Universaalne programmeeritav arvuti. 4_fl_i-v L2. MÕISTEÕPETUSEST KONTEKST ja TEKST Lingvistiliselt nimetatakse kontekstiks seda lausungi osa, mis ümbritseb teatud üksust ja võib mõjutada nii selle tähendust kui grammatilist rolli.
Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A Intuitsionism: Brouwer & Heyting Ei aktsepteeri näiteks: A v -A - -A <=> A (((A => B) => A) => A) Formaalne süsteem Tarski ja Carnap Süntaks Tuletamisreeglite süsteem Semantika Kurt Gödel (1906-1978) 1930: loogika baaskeel predikaatarvutus on täielik 1931: formaalne aritmeetika ei ole täielik, seda ei saagi lõpliku formaalse süsteemiga kirjeldada Tõestuse idee: Tõestuse alusidee on tuntud valetaja paradoks: kas väide ``ma praegu valetan'' on tõene või mitte? Lihtne arutlus näitab, et ta ei saa olla kumbagi. Koostame nüüd sellise aritmeetilise väite A, mis ütleb, et seesama A ei ole
Esimene objekt on teisest parem siis ja ainult siis, kui teine on esimesest halvem. Võrdväärsust defineeritakse kui mitteparem ja mittehalvem. EPISTEEMILISED LAUSED (ik epistemic, ld. epistéme teadmine) väljendavad teadmiste astet. Teadmise astme väljendamist kindlustavad modaalsed kvantorid (operaatorid): on tõestatud, et ... on ümberlükatud, et ... on lahendamatu, et ... Episteemiliste mõistete süsteemi töötas esimesena välja Kurt Gödel (1906-1978). Selles süsteemis on määravaks modaalsus on tõestatav. Seaduspärasused on järgmised: Teadmine on alati tõene. Kui väide on tõestatav, siis on ta tõene. Loogilised järeldused tõestatud väitest on tõestatavad. Kui väide on tõestatav, siis on tõestatav, et väide on tõestatav. Loogiline vasturääkivus ei ole tõestatav. Episteemiliste lausete liigiks on intentsionaalsed laused. Intentsionaalne loogika (ik intensional, ld
Kontiinumi võimsusega hulki tähistatakse sümboliga c ehk ¿ R¿ c . Kokkuvõtvalt teame, et iga n N korral n<0 < c . Kontiinumi probleem Kas leidub hulk X nii, et ¿ N¿X ¿R¿ ? Kontiinumi hüpotees: sellist hulka X ei leidu. Georg Cantor (1878): Ei leidu hulka, mis oleks võimsam kui N , kuid vähem võimas kui R . Kurt Gödel (1940): Tavalisest aksiomaatikast lähtudes, ei saa tõestada, et vahepealseid võimsusi ei ole. Paul Cohen (1963): Vahepealsete võimsuste olemasolu, samuti mitteolemasolu ei ole vastuolus teiste aksioomidega. Lihtsustatult võib öelda, et saab vaadelda kahesugust hulgateooriat: üht, milles kontiinumi hüpotees kehtib, ja teist, milles kehtib kontiinumi hüpoteesi eitus.
matemaatikale kindlate aluste rajamiseks: Matemaatika alused tuleb esitada loogika keeles, range aksiomaatikana. Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A. Intuitsionism: Brouwer & Heyting Ei aktsepteeri näiteks: A v -A, - -A <=> A, (((A => B) => A) => A). Formaalne süsteem - Tarski ja Carnap: Süntaks, Tuletamisreeglite süsteem, Semantika. Täielikkus ja mittetäielikkus Kurt Gödel (1906-1978) 1930: loogika baaskeel predikaatarvutus on täielik 1931: formaalne aritmeetika ei ole täielik, seda ei saagi lõpliku formaalse süsteemiga kirjeldada Tõestuse idee: Tõestuse alusidee on tuntud valetaja paradoks: kas väide ``ma praegu valetan'' on tõene või mitte? Lihtne arutlus näitab, et ta ei saa olla kumbagi. Koostame nüüd sellise aritmeetilise väite A, mis ütleb, et seesama A ei ole tõestatav (see väide ei ütle, et A ei ole tõsi!). Siis ei saa väide A ise
annaabi.ee 
