Kt 4 Süllogismid liitväidetega Tingiv süllogism(hüpoteetiline süllogism) – suurem eeldus on kindlasti tingiv väide ning väiksem eeldus võib olla tingiv väide Tingiv-kategooriline – esimene eeldus tingiv väide, teine eeldus kategooriline väide. Kaks viisi: Jaatav moodus – modus ponens. Aluse jaatus viib tagajärje jaatusele P -> q kui vihma sajab, siis on tänav märg. P vihma sajab Q tänav on märg (p->q) & p |- q Eitav moodus – modus tollens. Tagajärje eitus viib aluse eitusele (P -> q) & -q |- -p Tagajärje jaatus AC – tagajärje jaatusest ei saa järeldada ei aluse jaatust ega eitust. Kui alus on tõene, siis on tõene ka tagajärg. Tõeste eelduste
viisid – reeglipärased tuletussammud – kuidas ühtedest valemitest lähtudes, liigutakse teisteni, lõpetades põhjendatava valemiga. Kui seejuures alustatakse põhjendamist aksioomidest ja ainult aksioomidest, siis kõneldakse tõestamisest ning tõestamist esitavatest tõestustest. Iga valemit, millel on tõestus nimetatakse teoreemiks. Märkus. Vahel lepitakse kokku kõnelda, et iga aksioom on ühtlasi iseenda tõestus. Mõned tuletusreeglid. Modus ponens. Reegel modus ponens paneb paika ühe lubatud viisi, kuidas lähtudes mingitest ühtedest valemitest on võimalik saada teisi (esimestest tuletatud) valemeid: • Kõigepealt peavad meil olema valemid, mille tähised olgu vastavalt X ning Y • Moodustame valemi XÉY, mis esitab niisugust järeldamist, mille eelduseks on X ning järelduseks on Y. • Kui lähtume nüüd valemitest X ning XÉY, siis on nendest valemitest tuletatud valemiks valem Y.
p→z Näiteks: Kui täna on kolmapäev, siis me viibime auditooriumis C214. Suurem eeldus on implikatiivne ja väiksem eeldus on kategooriline otsustus ehk [(p → q) ˄ p] → q . Kõigepealt on suurem eeldus (p → q) ja peale ja (˄) märki on väiksem eeldus (p) ja lõpus on tuletis (q). p – alus (esimeses eelduses alati esimesel kohal) q – tagajärg Üks nähtus põhjustab teist nähtust (kutsub esile). 1. Reegel Moodus ponens – kui väiksemas eelduses kinnitatakse alust, siis tuletiseks on tagajärje kinnitus. [(p → q) ˄ p] → q _ _ Kui väiksemas eelduses jaatatakse alust, siis tuletiseks on tagajärje jaatus. [(p → q) ˄ p] →q Ta kasutab jaatava asemel kinnitama (kinnitad jaatavat või eitavat). Õpetaja Ilmar Lilleorg Maria Sillandi
järeldus on hüpoteetilised(tingivad) väited (või materiaalne implikatsioon). TINGIV-KATEGOORILINE SÜLLOGISM ehk hüpoteetilis-kategooriline süllogism on kahe eeldusega tingiv süllogism, mille üks eeldus on tingiv väide ning teine eeldus ja järeldused on atributiivsed lihtväited. Sellel on vaid kaks korrektset moodust, mis tagavad tõese järelduse juhul , kui eeldused on tõesed. Need on jaatav moodus(modus ponens) ja eitav moodus(modus tollens) 1) MODUS PONENS 2) MODUS TOLLENS LIIGITAV SÜLLOGISM(välistav-disjunktiivne)nimetatakse süllogismi, kus üks või mõlemad eeldused on liigitatavad, alternatiivi väljendavad väited. Tavaliselt käsitletakse liigitava süllogismina liigitav-kategoorilist süllogismi, mille esimene eeldus on liigitav väide ning teine eeldus on kategooriline väide. 1) MODUS PONENDO TOLLENS 2) MODUS TOLLENDO PONENS DISJUNKTIIVNE SÜLLOGISM on süllogism, mille esimene eeldus on disjunktiivne
Armastus on olemas: ! ! ! ∃x ∃y Axy (Romeo ja Julia) Armastav egoistideta ühiskond: ! ∀x ∀y (x ≠ y → Axy) (kristlik ideaal) On õnnetuid armastajaid:! ! ! ∃x ∃y (Axy & ¬Ayx) Kõik on egoistid:! ! ! ! ∀x ∀y (x = y → Axy)! ehk ∀x Axx Leidub egoiste:!! ! ! ! ∃x Axx 22. LOOMULIKU TULETUSE PÕHIIDEED JA TÄHTSAIMAD REEGLID. MP – modus ponens. ! ! p –> q. on p. järelikult on q. MT – modus tollens.! ! p –> q. on mitte-q. järelikult on mitte-p. HS – hüpoteetiline süllogism! p –> q. q –> r. järelikult p –> r. DS – disjunktiivne! ! ! p v q. on mitte-p. järelikult on q. ja vastupidi. CD – konstruktiivne dilemma! (p –> q) & (r –> s). on p v r. järelikult on ka q v s. Abs – absorptsioon ! ! p –> q. järelikult p –> (p & q). Simp – lihtsustusreegel! ! p & q
Armastus on olemas: ! ! ! x y Axy (Romeo ja Julia) Armastav egoistideta ühiskond: ! x y (x y Axy) (kristlik ideaal) On õnnetuid armastajaid:! ! ! x y (Axy & ¬Ayx) Kõik on egoistid:! ! ! ! x y (x = y Axy)! ehk x Axx Leidub egoiste:!! ! ! ! x Axx 22. LOOMULIKU TULETUSE PÕHIIDEED JA TÄHTSAIMAD REEGLID. MP modus ponens. ! ! p > q. on p. järelikult on q. MT modus tollens.! ! p > q. on mitte-q. järelikult on mitte-p. HS hüpoteetiline süllogism! p > q. q > r. järelikult p > r. DS disjunktiivne! ! ! p v q. on mitte-p. järelikult on q. ja vastupidi. CD konstruktiivne dilemma! (p > q) & (r > s). on p v r. järelikult on ka q v s. Abs absorptsioon ! ! p > q. järelikult p > (p & q). Simp lihtsustusreegel! ! p & q. järelikult on p
keeles. Antiikaeg Parmenides (5 saj ema) Zenon - reductio ad absurdum Induktsioon Õppimine ehk üldistuste tegemine Reeglid Erandid Statistika Kiire reageerimine on oluline ellujäämise seisukohast Deduktsioon Reeglite rakendamine ehk järelduste tegemine Tuletamine Õigete reeglite rakendamine õigetele faktidele garanteerib alati edu Mõtlemise aspektid Kui väide A on õige, siis A on õige Kui A ja B, siis A Ei ole tõsi, et A ja mitte A Modus ponens: Kui Ast järeldub B ja A on tõsi, siis on ka B tõsi. Näide: Iga anarhist on vabaabielu pooldaja Mõned valitseva partei liikmed on anarhistid --------------------------------------------- Mõned valitseva partei liikmed on vabaabielu pooldajad Näite jätk Iga x on y Mõni z on x ------------------- Mõni z on y Loogika - keel formaliseeritudkujul, kasutades kunstlikke formaalseid keeli Lausearvutuse keel Predikaatarvutuse keel Reeglid
] 2. Mis on tegelikult olemas, on ka võimalik. Ruudukujuline ring pole võimalik. Järelikult pole ruudukujulist ringi tegelikult olemas. E1: Kui on olemas, siis on võimalik. E2: Ruudukujuline ring pole võimalik. J: Ruudukujulist ringi pole olemas. Tegemist on Modus tollensiga st argument on kehtiv. Kuna eeldused on tõesed, on argument korrektne. Eeldusi võiks siiski pisut ka sisuliselt kommenteerida (miks nad on tõesed). Ülesande eest 4,75 p. 2. Too näide modus ponens'ist, modus tollens'ist ja hüpoteetilisest süllogismist. (3 x 2 p.) Modus ponens: E: Kui A, siis B. E2: A J: B. E1: Kui talvel on lumi, siis kõik lapsed suusatavad. E2: Talvel on lumi. J: Kõik lapsed suusatavad. Modus tollens: E: Kui A, siis B. E2: Ei pea paika, et B. J: Ei pea paika, et A. E1: Kui kassil on hea olla, siis ta nurrub. E2: Kass ei nurru. J: Kassil ei ole hea olla. Hüpoteetiline süllogism: E1: Kui A, siis B. E2: Kui B, siis C. J: Kui A, siis C.
eeldada, et Malle on inimene (kui suuremas eelduses räägitakse inimesest ja väiksemas Mallest) või et Mersu on auto (kui suuremas eelduses räägitakse autost ja väiksemas Mersust) või seda, et kinoskäimine on millegi tegemine (kui suuremas eelduses räägitakse millegi tegemisest ja väiksemas kinoskäimisest). · Tehke selgeks, millega neljast võimalikust variandist on tegemist. Kahel juhul süllogism töötab: siis kui esineb aluse jaatus (modus ponens) või tagajärje eitus (modus tollens). Kahel juhul süllogism ei tööta: siis kui esineb tagajärje jaatus või aluse eitus. NB! Eitava lause jaatus on seesama eitav lause ning eitava lause eitus on jaatav lause! · Kui süllogism ei tööta, siis midagi järeldada ei saa. Kui süllogism töötab, siis peab täiendava eelduse korral teostama arutelu üldiselt üksikule või osalisele.
määramatust! 4.2 Resolutsiooni meetod Resolutsioon - Horni lausete kujul oleva deduktiivse süsteemi tuletusreegel. ØValem Δ ⇒ D kehtib parajasti siis, kui tema eitus ¬ (Δ ⇒ D) ≡ Δ ∧¬ D on vasturääkiv. ØHorni lause tõestamiseks tõestatakse, et positiivse literaali eituse konjunktsioonist eeldusdisjunktidega saab tuletada vastuolu. Øst temast saab tuletada tühja disjunkti. Tühja disjunkti tuletamiseks kasutame klassikalise loogika reegli modus ponens üldistust - resolutsiooni reeglit (RR). Pärast RR iga rakendamist on saadud valemis 2 literaali vähem kui RR eeldusvalemites. Muutujat V sisaldav väide tähistab kõikide konkretiseeritud väidete hulka, kus konkretiseerimise all mõeldakse V asendamist kas konstantide või muutujaid sisaldavate termidega. q Kuidas unifitseerida, kui mõlemad literaalid sisaldavad muutujaid? Minimaalse substitutsiooni reegel:
tuletusreeglit kasutades. Esitatav tuletussüsteem põhineb lauseloogikal, milles sõnu ,,lause”, ,,väide” ja ,,propositsioon” kasutatakse sünonüümidena, kuigi silmas peetakse alati objekti, mis on tõene või väär, st propositsiooni. Kuna lauseloogikas on tavaks rääkida pigem lausetest kui väidetest, siis järgime seda tava ka lauseloogikal põhinevat tuletussüsteemi käsitledes. Tabel 9.1. Tuletusreeglid. Eeldused on eraldatud komadega, järeldus tuletusmärgiga. 1. Modus ponens (MP) p → q, p ⊢ q. 2. Modus tollens (MT) p → q, ¬q ⊢ ¬p. 3. Hüpoteetiline süllogism (HS) p → q, q → r ⊢ p → r. 4. Disjunktiivne süllogism (DS) p ∨ q, ¬p ⊢ q; p ∨ q, ¬q, ⊢ p. 5. Konstruktiivne dilemma (CD) (p → q) & (r → s), p ∨ r ⊢ q ∨ s. 6. Neeldumine (Abs) p → q ⊢ p → (p & q). 7. Lihtsustusreegel (Simp) p & q ⊢ p; p & q ⊢ q. 8. Konjunktsioonireegel (Conj) p, q ⊢ p & q. 9. Lisamisreegel (Add) p ⊢ p ∨ q.
tuletusreeglit kasutades. Esitatav tuletussüsteem põhineb lauseloogikal, milles sõnu ,,lause", ,,väide" ja ,,propositsioon" kasutatakse sünonüümidena, kuigi silmas peetakse alati objekti, mis on tõene või väär, st propositsiooni. Kuna lauseloogikas on tavaks rääkida pigem lausetest kui väidetest, siis järgime seda tava ka lauseloogikal põhinevat tuletussüsteemi käsitledes. Tabel 9.1. Tuletusreeglid. Eeldused on eraldatud komadega, järeldus tuletusmärgiga. 1. Modus ponens (MP) p q, p q. 2. Modus tollens (MT) p q, ¬q ¬p. 3. Hüpoteetiline süllogism (HS) p q, q r p r. 4. Disjunktiivne süllogism (DS) p q, ¬p q; p q, ¬q, p. 5. Konstruktiivne dilemma (CD) (p q) & (r s), p r q s. 6. Neeldumine (Abs) p q p (p & q). 7. Lihtsustusreegel (Simp) p & q p; p & q q. 8. Konjunktsioonireegel (Conj) p, q p & q. 9
· ``kui väide A on õige, siis on väide A õige'' ehk lühemalt ja peaaegu ekvivalentselt · ``A-st järeldub A'' Nagu öeldud, tähistab lausemuutuja A siin suvalist väidet: A sisust või õigsusest meie suurema väite õigsus ei sõltu. Viimane on õige oma ehituse ehk vormi ehk struktuuri tõttu. Samamoodi on oma ehituse tõttu õiged · ``kui A ja B, siis A'' · ``ei ole tõsi, et A ja mitte A'' · juba vanas Kreekas tuntud järeldusreegel modus ponens: ``kui A-st järeldub B, ning A on tõsi, siis ka B on tõsi'' Muutjad A ja B tähistavad siin jällegi suvalisi väiteid. Toodud näidetes moodustasime väiteid sidesõnade ``ja'', ``ei'', ning ``järeldub'' ehk ``kui ... siis'' abil. Sellised sidesõnad vastavad ilmsesti mõtlemise tõeliselt fundamentaalsetele kategooriatele, ilma milleta me mõtlemist ette kujutada ei oska. Lisaks taolistele sidesõnadega märgitud kategooriatele sisaldab mõtlemine ilmselt veel hulga teisigi keeles
- Järeldamisel kasutavad inimesed abstraktseid, sisust sõltumatuid reegleid - Inimesed ei tee loogilisi vigu – vead tekivad ülesannete vääritimõistmisest - Eelduste sisu ei mõjuta järeldamise tulemusi Teooriad on loond Braine ja Rips. - Inimesed talletavad mälus infot propositsioonide kujul - Et tuletada sellest mida nad teavad, järeldusi, kasutavad nad mentaalset loogikat ehk loogika reegleid nt modus ponens - Propositsioonid millest järeldatakse, peavad olema esitatud eelduste vormis, reegli abil tuletatakse järelds - Modus tollens tüüpi järeldusi on raske teha, kuna järeldamisel on vaja kasutada erinevaid reegleid Järeldamise vead on 3 tüüpi: (Braine) - Arusaamise vead – ülesande eeldusi mõistetakse valesti või lisatakse sinna infot juurde. Eeldatakse et antud on kogu vajalik info. (Väide: kui ilm on soe, siis kalad ujuvad. Kalad ujuvad
annaabi.ee 
