Mare Randveer. MIKROÖKONOOMIKA ÜLESANNETE JA HARJUTUSTE KOGU. Tallinn: Külim, 1999. KOMMENTEERITUD VASTUSED Avo Org PEATÜKK 7. TÄIELIK KONKURENTS ( LK. 4958) 1. ÕIGE; nn kasumi maksimeerimiseks või kahjumi minimeerimiseks vajalik optimaalne kogus leitakse nn kuldreegli piirtulu MR = piirkulu MC järgi, kuid kuna täielikult konkureeriva firma TKF korral on hind P võrdne piirtuluga (ja võrdne ka keskmise tuluga ATR või AR), siis on väide põhimõtteliselt õige; NB! TKF-i korral P=MR=A(T)R; 2. VALE; diferentseeritud toodangut toodetakse konkurentsiturgudel, TKT-l on toodang homogeenne (täiesti ühetaoline, puuduvad firmamärgid); 3. ÕIGE; piirkulu MC ja keskmise muutuvkulu AVC kõverate lõikepunkt on AVC miinimumpunktiks ja kuna nn sulgemishind, millisest hinnatasemest allpool peaks firma lühiperioodil oma tegevuse lõpetama on P=AVCmin, siis on väide õige; 4. a) VALE; firma maksimeerib kasumi (või minimeerib kahj...
murdumisnurgale vastavat langemisnurka nim. Täieliku peegelduse piirnurgaks. Kui valguskiir langeb suurema nurgaga kui piirnurk, siis ta enam ei murdu vaid peegeldub samas keskkonnas tagasi. Pilet 12.3 Laboratoorne töö: Läätse fookuskauguse määramine. f=ak/a+k Pilet 13.1 Elektriväli. Coulomb'i seadus. Elektri väli on elektri laengu poolt tekitatud ruumis leviv pidev väli ja mis mõjutab ruumis paiknevaid teisi elektri laenguid. On elektromagnet välja piirpunkt. Levimis kiirus on võrdne valguse kiirusega vaakumis. Colombi seadus Kaks punktlaengut mõjutavad teinetest jõuga, mille moodul on nende laengute absoluutväärtuste korrutisega ja pöördõvrdeline nende vahelise kaugusega ruudus. Fe=k q1q2/r² Pilet 13.2 Rutherforthi aatomimudel. Borhi postulaadid. Rutherfordi aatomimudel (Ringi sees + laenguga keha.. Ringjoone peal Negatiivse laenguga keha! )
4 Topoloogilise ruumi X alamhulka A nimetatakse kompaktseks, kui ta on kompaktne kui topoloo- giline ruum alamruumi topoloogia suhtes (samav¨a¨arne: hul- ga A igast lahtisest kattest ruumis X saab eraldada l˜opliku osakatte) . Kompaktsete hulkade n¨aiteid toome hiljem. Definitsioon 7.5 Olgu A ⊂ X. Punkti x ∈ X nimeta- takse hulga A piirpunktiks, kui tema iga u ¨mbrus sisaldab l˜opmata palju hulga A punkte. J¨arelikult hulga A iga piirpunkt on ka hulga A puutepunkt ja kuulub hulga A sulundisse cl(A). Kinnine hulk sisaldab k˜oiki oma piirpunkte. 7.1 Kompaktsuse definitsioon ja lihtsamaid j¨areldusi 69 Teoreem 7.27 Kui topoloogiline ruum X on kompaktne, siis a) tema iga l˜opmatu alamhulk omab piirpunkti; b) tema iga kinnine alamhulk on samuti kompaktne. T˜oestus. Olgu A ruumi X l˜opmatu alamhulk. Vastuv¨aite- liselt eeldame, et A ei oma piirpunkti. Siis iga punkti x ∈
märki ning püüab suurendada kreeni laeval on neg algpüstuvuse kreeninurk ehk nn rippenurk. Laev muutub ebapüstuvaks. See veel ei tähenda, et laev kaaduks , kui tegelikkuses ei ole see välistatud. PS ! 1 Rad = 57,3kraadi Kui punktid G ja M langevad kokku , siis loetakse laeva ka mitepüstuvuseks : ta liigub väikestel kreeninurkadel ükskõikse tasakaalu olekus: SEEGA FÜÜSIKALISES MÕTTES ON METATSENTER M PIIRPUNKT , MILLENI VÕIB TÕUSTA LAEVA RASKUSKESE , ET ALGPÜSTUVUS SÄILIKS vanakreeka keeles on eesliitel META ka tähendus ÜLEMPIIR Transportlaevadel on pikimetatsentri k6rgus GML umbes 2 suurusjärku suurem kui põikmetatsentri kõrgus GM. Vigastamata laeval on pikimetatsentri kõrgus alati positiivne ja pikipüsivus tagatud. Joonise 5.2 järgi saame analoogiliselt pikipüstuvuse valemid GZ = GML korda sinU(/) = GML korda U(l); W korda GZ = W korda GML korda sin U(l) = W korda GML korda U(l)
kõrgus negatiivne ja püstuvuse moment muudab oma märki ning püüab suurendada kreeni -- laev muutub ebapüstuvaks -- i.k. unstable equilibrum. See veel ei tähenda, et laev läheks ümber e. kaaduks, kuid tegelikkuses ei ole see välistatud. Kui punktid G ja M langevad kokku, siis loetakse laev ka ebapüstuvaks: ta liigub väikestel kreeninurkadel ükskõikses tasakaalu olekus i.k. neutral equilibrum. Seega füüsikalises mõttes metatsenter M on piirpunkt, milleni võib tõusta laeva raskuskese, et ei kaoks algpüstuvus. Vanakreeka keeles on eesliitel meta- ka tähendus ülempiir. Transportlaevadel on pikimetatsentri kõrgus GML umbes 2 suurusjärku suurem (s.t. umbes 100 korda) kui põikmetatsentri kõrgus GM. Vigastamata laeval pikimetatsentri kõrgus on alati positiivne ja pikipüstuvus tagatud. Joonise 7 järgi on pikipüstuvuse valemid analoogilised GZ = GML sin = GML ;
F(x, f(x))=0. sisu jooksev punkt P(x,f(x)) ühele ja samale punktile AP=(a,b). Kehtib b=f(a), y= , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab väärtust Ilmutatamta kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub funktsiooni graafikul, st graafik a>0. Lisaks 1, sest a=1 korral saame konstantse võrrand muutuja y suhtes. Kui võrrandil on mitu lahendit, siis piirprotsessis xa , mis rahuldab tingimust xa, on punktis A pidev joon. (JOONIS) defineerib ta mitu funktsiooni. funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b
pidev joon (joonis 2.8). Selgitame seda lähemalt. Vastavalt pidevuse definitsioonis toodud 1. Tingimusele on funktsioonil f(x) olemas väärtus punktis a, st f(a) eksisteerib. Peale selle, 2. tingimuse põhjal on olemas ka piirväärtus b = limxaf(x). Viimane tähendab seda, et suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb graafiku jooksev punkt P(x, f(x)) ühele ja samale punktile AP = (a, b). Lõpuks, 3. Tingimuse põhjal kehtib b = f(a), mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile: Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: lk 46 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste: Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks
iii. b. Pidevuse geomeetriline sisu Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevust joone pidevust. Argumendi väärtusel xa on pideva funktsiooni graafik punktis A=(a,f(a)) pidev joon. Funktsiooni f(x) on olemas väärtus punktis , f(x) eksisteerib. On olemas piirväärtus ehk suvalises protsessis xa, a0 läheneb graafiku jooksev punkt P(x,f(x)) ühele ja samale punktile AP=(a,b). Kehtib b=f(a), mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. (JOONIS) c. Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile x=x-a argumendi muut kohal a y=f(x)-f(a) funktsiooni muut kohal a Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile. d. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral d.i
Selgitame seda lähemalt: · Vastavalt pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimusele on funktsioonil f(x) olemas väärtus punktis a, st (a) eksisteerib. · 2. tingimuse põhjal on olemas ka piirväärtus b=lim(x->a) (x). Viimane tähendab seda, et suvalises piirprotsessis x->a, kus x ei võrdu a-ga, läheneb graafiku jooksev punkt P(x; (x)) ühele ja samale punktile AP=(a;b). · 3. tingimuse põhjal kehtib b= (a), mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile. Pideva funktsiooni defnitsioonis esineva 3. tingimuse võib kirja panna ka pisut teistsugusel kujul. Selleks kasutame alljärgnevalt defineeritud argumendi muudu ja funktsiooni muudu mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a , .y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Kehtib järgmine samaväärsete valemite ahel:
Vastavalt pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimusele on funktsioonil f(x) olemas väärtus punktis a, st ƒ (a) eksisteerib. 2. tingimuse põhjal on olemas ka piirväärtus b=lim(x->a) ƒ (x). Viimane tähendab seda, et suvalises piirprotsessis x->a, kus x ei võrdu a-ga, läheneb graafiku jooksev punkt P(x; ƒ (x)) ühele ja samale punktile AP=(a;b). 3. tingimuse põhjal kehtib b=ƒ (a), mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile. Pideva funktsiooni defnitsioonis esineva 3. tingimuse võib kirja panna ka pisut teistsugusel kujul. Selleks kasutame alljärgnevalt defineeritud argumendi muudu ja funktsiooni muudu mõisteid: ∆x = x - a - argumendi muut kohal a , ∆.y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Kehtib järgmine samaväärsete valemite ahel:
Hulka X meetrilises ruumis nimetatakse kompaktseks kui selle hulga igast jadast saab eraldada koonduva osajada. Definitsioon 2 Meetrilise ruumi hulka X nimetatakse tõkestatuks, kui leidub mingi seda hulka sisaldav kera S ( x0 , r ) , s.t. leidub selline arv R > 0 , et iga x X jaoks kehtib võrratus x R . Definitsioon 3 Hulka X nimetatakse kinniseks, kui ta sisaldub kõik oma piirpunktid, s.t. kui kõik jada {xn } punktid kuuluvad hulka X ( x1 ,K, xn ,K X ) ja x0 on selle jada piirpunkt ( lim xn = x0 ), siis n siit järeldub, et x0 ka kuulub hulka X ( x0 X ). Hulk X on kompaktne siis ja ainult siis, kui X on kinnine ja tõkestatud. Seda väidet nimetatakse Lebesque teoreemiks. Olgu K kõikide närvivõrgu sisendite hulk. Ta on tõkestatud ja kinnine. Seega hulk K on kompaktne. Matemaatiliselt, närvivõrk realiseerib kujutuse f : K Rm
Ettevõtte kasumiläve analüüsi eesmärgiks on: Leida toodangu maht( nauraalses väljenduses), mille puhul ei saada kasumit, kuid hoidutakse ka kahjumist Määrata toodangu kriitilisele punktile vastav, kahjumit vältiv läbimüük( rahalises väljenduses) Müüdud kulude jaotamine muutuvateks ja püsivkuludeks võimaldab leida kasumi ja kahjumi piirpunkti. Kasumi kahjumi piiri mudel on kasumiaruande lihtsustatud vorm: Netokäive-(muutuvkulud+püsivkulud)= kasum Kasumi-kahjumi piirpunkt näitab, kui palju peab ettevõtte kaupa/teenust müüma, et katta neto netokäibe laekumistega müüdud toodangu muutuvad kulud ja kõik püsivad kulud. Selles punktis on kasum null. (3 lk 45) Netokäive-(muutuvkulud+püsivkulud)=0 Muutuvate kulude hulka kuuluvad : Tootmises : - tooraine ja materjal - tehnoloogiline kütus, elekter, vesi, aur - põhitööliste palgakulud - sisetranspordikulud - pakkekulud jm Kaubanduses
Hulka X meetrilises ruumis nimetatakse kompaktseks kui selle hulga igast jadast saab eraldada koonduva osajada. Definitsioon 2 Meetrilise ruumi hulka X nimetatakse tõkestatuks, kui leidub mingi seda hulka sisaldav kera S ( x0 , r ) , s.t. leidub selline arv R > 0 , et iga x X jaoks kehtib võrratus x R . Definitsioon 3 Hulka X nimetatakse kinniseks, kui ta sisaldub kõik oma piirpunktid, s.t. kui kõik jada {xn } punktid kuuluvad hulka X ( x1 ,K, xn ,K X ) ja x0 on selle jada piirpunkt ( lim xn = x0 ), siis n siit järeldub, et x0 ka kuulub hulka X ( x0 X ). Hulk X on kompaktne siis ja ainult siis, kui X on kinnine ja tõkestatud. Seda väidet nimetatakse Lebesque teoreemiks. Olgu K kõikide närvivõrgu sisendite hulk. Ta on tõkestatud ja kinnine. Seega hulk K on kompaktne. Matemaatiliselt, närvivõrk realiseerib kujutuse f : K Rm
Vastavalt pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimusele on funktsioonil f(x) olemas väärtus punktis a, st f(a) eksisteerib. Peale selle, 2. tingimuse põhjal on olemas ka piirväärtus b = limf(x). Viimane tähendab xa seda, et suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb graafiku jooksev punkt P(x, f(x)) ühele ja samale punktile AP = (a, b). Lõpuks, 3. tingimuse põhjal kehtib b = f(a), mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. Pideva funktsiooni definitsioonis esineva 3. tingimuse võib kirja panna ka pisut teistsugusel kujul. Selleks kasutame alljärgnevalt defineeritud argumendi muudu ja funktsiooni muudu mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a , y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Pideva funktsiooni muudu kaitumine argumendi muudu lähenemisel nullile. Kehtib järgmine samaväärsete valemite ahel:
0,76 0,109 0,83 0,122 0,90 0,138 Valemist on näha, et neutraalse punkti kaugus miidlist X on seda väiksem, mida kaugemal miidlist paikneb lisatava lasti raskuskese. Kui neutraalne punkt langeb kokku pinnase ja laevakere kontakti punktiga, siis antud kohta lasti lisamine ei muuda laeva olukorda madalikul (ei vähenda ega suurenda rõhku pinnasele). Seega peab olema mingi piirpunkt, millest miidli poole lasti lisada on mõttetu või isegi kahjulik. Sellise punkti kauguse miidlist saame eelmisest valemist: nL2 l0 (17.37) 2X 0 Igasugune lasti paigutamine punkti, mille korral l>l0, väheneb süvis madaliku ja laevakere kontaktpunktis ja seega paraneb ka laeva seisund.
tingimusele on funktsioonil f (x) olemas v¨a¨artus punktis a, st f (a) eksisteerib. Peale selle, 2. tingimuse p~ohjal on olemas ka piirv¨a¨artus b = lim f (x). Viimane t¨ahendab xa seda, et suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, l¨aheneb graafiku jooksev punkt P (x, f (x)) u ¨hele ja samale punktile AP = (a, b). L~opuks, 3. tingimuse p~ohjal kehtib b = f (a), mis t¨ahendab, et graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. 45 yy y = f (x) P· P· C A x f (a) · G x a x x
tingimusele on funktsioonil f (x) olemas v¨a¨artus punktis a, st f (a) eksisteerib. Peale selle, 2. tingimuse p~ohjal on olemas ka piirv¨a¨artus b = lim f (x). Viimane t¨ahendab xa seda, et suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, l¨aheneb graafiku jooksev punkt P (x, f (x)) u ¨hele ja samale punktile AP = (a, b). L~opuks, 3. tingimuse p~ohjal kehtib b = f (a), mis t¨ahendab, et graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. 45 yy y = f (x) P· P· C A x f (a) · G x a x x
annaabi.ee 
