Permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse selliseid, antud n elemendist koosnevaid ühendeid, mis erinevad üksteisest elementide järjestuse poolest. Kõigi võimalike erinevate permutatsioonide arvu n elemendist tähistatakse sümboliga Pn. Selle arvu leidmiseks paneme tähele, et permutatsioonid n elemendist on samad, mis variatsioonid n elemendist n kaupa. Seega Pn = n Vn = n(n - 1) ... (n - n + 1) = n! Näiteks elementidest a, b, c ja d (n = 4) saab moodustada Pn = 4! = 24 permutatsiooni: abcd adbc bcad cabd cdab dbac abdc adcb bcda cadb cdba dbca acbd bacd bdac cbad dabc dcab acdb badc bdca cbda dacb dcba. Eelpool näites olnud elementidest a, b, c, d ja e (n = 5) saaks siis moodustada P5 = 5! = 120 sõna, mis erinevad üksteisest vaid elementide järjestuse poolest, kuid koosnevad ühtedest ja samadest elementidest. Kombinatsioonideks n elemendist m kaupa nimetatakse selliseid ühendeid, millest igaüks sisaldab m elementi, mis on
=1 mistõttu XE1 = X. Juhul kui E2 on m-järku ühikmaatriks, siis 2 = = = =1 Teoreem 2.2. Kui permutatsioonis omavahel ära vahetada kaks elementi, siis permutatsioon muudab paarsust. Tõestus. Tõestame esmalt teoreemi, kui permutatsioonis vahetatavad arvud on kõrvuti, s.o. permutatsioonist 1 ... +1 ... saame permutatsiooni 1 ... +1 ... Paneme tähele, et kummaski permutatsioonis arvudele i ja i+1 eelnevate ja järgnevate arvudega inversioonid säilusid. Ainus inversiooni muutus tekkis üleminekul paarilt (i, i+1) paarile (i+1, i). Seega inversioonide arv I (1 , ... , , +1 , ... , ) erineb ainult ühe võrra inversioonide arvust I (1 , ... , +1 , , ... , ): Järelikult jutuks olevad permutatsioonid on eri- neva paarsusega.
T¨ahistame edaspidi tema elemente kasvavas j¨arjekorras h1 , h2 , ..., hn abil. Seega Hn = {h1 , h2 , ..., hn }, kus h1 < h2 < ... < hn . Meie j¨argnevad arutlused on antud, kui hulga Hn osas on hulk Nn . Analoogiliselt saab need arutlused kirja panna hulga Hn korral. "Rivistame" hulga Nn arvud u ¨les, n~oudes, et selles rivistuses k~oik arvud esinevad ja seejuures ainult u ¨ks kord. Igat sellist u ¨lesrivistust nimetame permutatsiooniks hulga Nn elementidest . Permutatsiooni esitame me kujul 1 2 . . . n . (2.1) N¨aiteks hulga N1 abil saab moodustada ainult u ¨he permutatsiooni 1, hulga N2 abil aga kaks permutatsiooni 12 ja 21. Hulga N3 abil saab aga moodus- tada juba kuus permutatsiooni. Need on 123, 231, 312, 213, 321, 132. Teoreem 2.1. Hulga Nn elementidest saab moodustada n! permutat- siooni. T~
T¨ahistame edaspidi tema elemente kasvavas j¨arjekorras h1 , h2 , ..., hn abil. Seega Hn = {h1 , h2 , ..., hn }, kus h1 < h2 < ... < hn . Meie j¨argnevad arutlused on antud, kui hulga Hn osas on hulk Nn . Analoogiliselt saab need arutlused kirja panna hulga Hn korral. ”Rivistame” hulga Nn arvud u ¨les, n˜oudes, et selles rivistuses k˜oik arvud esinevad ja seejuures ainult u ¨ks kord. Igat sellist u ¨lesrivistust nimetame permutatsiooniks hulga Nn elementidest . Permutatsiooni esitame me kujul α1 α2 . . . αn . (2.1) N¨aiteks hulga N1 abil saab moodustada ainult u ¨he permutatsiooni 1, hulga N2 abil aga kaks permutatsiooni 12 ja 21. Hulga N3 abil saab aga moodus- tada juba kuus permutatsiooni. Need on 123, 231, 312, 213, 321, 132. Teoreem 2.1. Hulga Nn elementidest saab moodustada n! permutat- siooni.
2. Kui Gregor enam tööle ei suuda minna on perel suur mure.Gregor pidas oma pere ülal,tänu temale elati suures avaras korteris,peeti teenijaid,omati kauneid ehteid(ema,õde),ema ja isa ja õde said elada rahulikku elu,ei pidanud tööl käima,emal olid astmahood tugevad,tänu millele töö tegemine väga raskendatud,isa oli lihtsalt suur ja kohmakas ja vana,ja õde oli ju kõigest 17 aastane laps,kes pidi Gregori arvates vaid magama,ilus olema ja viiulit mängima. 3. Pärast permutatsiooni,suhtusid temasse ärijuht väga suure põlguse ja hirmuga,jookstes tema eest nagu mingi kummituse eest.Isa põlastas Gregorit,ema pelgas,kartis aga tunnistas esialgu vähemalt,et tema poeg on see jõletis seal teises toas.Õde hoolitses,hoidis,koristas,aitas venda ,kuni hetkeni,kus perekond sai aru et peavad ise hakkama saama oma eluga,ilma Gregori abita,st et mindi tööle,tänu millele jäeti ka Gregor tähelepanuta,tema eest ei hoolitsetud ja lõpuks juba ei varjatud ka seda et
elementidest moodustatud ning konkreetne järjestus. Pn = n! Öeldakse, et kui väiksem indeks asetseb suurema ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse, vastasel juhul kui suurem väiksema ees, siis räägitakse, et nad moodustavad inversiooni. Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda elementide korrutistest moodustatud summa põhjal kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõisteid. |a11 a12 a13 | |a21 a22 a23 | = (-1) a11 a22 a33 = - a11 a22 a33 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 + |a31 a32 a33 | + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 1 2 3 123 132 213 231 312 321 0 1 1 2 2 3
Liitmisprintsiip- ,,kas üks või teine" . kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate võimalike valikute arv on n + m. Korrutamisprintsiip- ,, nii üks kui ka teine" kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m. 2. Permutatsiooni permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest. Variatsioone on 2x rohkem kui kombinatsioone. 4. Kombinatsioonid.
kompleksarvu reaalosaks, arvu bi kommutatiivsus skalaariga korrutamise olla rohkem kui 1 lahend, k. A. Lõpmatus. Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale imaginaarosaks, b on imaginaarosa kordaja. suhtes ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda (a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i elementide korrutistest moodustatud summe põhjal, kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõistet. (a+bi)-(c+di)=a+bi-c-di=(a-c)+(b-d)i Kompleksarvu kujud: 3. Lineaarkujutus seab ühe vektorruumi
. . , n). Permutatsioon Hulga H = {x1, x2, x3...xn}(Näiteks H = n) elementide ümberjärjestust, milles hulga H iga element esineb täpselt 1 kord, nim hulga H permutatsiooniks Loomulik permutatsioon permutatsioon 1,2,3,...,n hulgas Nn Inversioon Öeldakse, et elemendipaar (ai, aj) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv ai on suurem kui aj. Inversioonide arvu tähiseks permutatsioonis _1, _2, . . . , _n on I (_1, _2, . . . , _n). Paaritu permutatsioon permutatsiooni nimetatakse paarituks permutatsiooniks, kui tema inversioonide arv on paaritu Paaris permutatsioon - permutatsiooni nimetatakse paaris permutatsiooniks, kui tema inversioonide arv on paaris OMADUSED: 1) Hulga n elementidest saab moodustada n! permutatsiooni 2) Kui permutatsioonis omavahel ära vahetada 2 elementi, siis permutatsioon muudab paarsust 3) kui n>=2, siis permutatsioonide hulgas Pn on paaris ja paarituid permutatsioone samapalju, st kumbagi ½n! DETERMINANT:
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv,
· On reegel,kuidas arvutatakse avateksti märgist ja Krüpteerimismasin ENGIMA Läbi ajaloo on sifeerimisel püütud kasutada abivahendeid Sakslased konstrueerisid 1930tel aastatel elektromehaanilise krüpteerimismasina ENGIMA, mille sifrid pidid olema murdmatud · ENGIMA oli keerukas substitutsioonipermutatsioonsiffer, kus võtmena anti ette rootorite (3-8tk) (substitutsiooni) nihked · Rootor oli mõlemalt külejlt 26 kontaktiga ketas, mis realiseeris tähestiku permutatsiooni · Rootoreid oli kolm ja iga tähe sifreemisel liigutati viimast rootorit ühe sammu võrra · Kui viiimane rootor oli teinu 26 sammu (täisringi), liigutati eelviimast rootorit nagu auto kilomeetrilugejas · Niivisi savtuati 26x26x25 = 17 576 rootorite asendit ehk erinevat substitutsiooni, See võte arvati 1930-40tel olevat murdumatu. Teisi mehaanilisi masinaid Sigaba: USA, 1930, erinevalt ENGIMAst ei olnud selle krütogramme lihtne lahti
· Oli 18.-20. sajandil laialt kasutusel 73. Krüpteerimismasin ENIGMA Sakslased konstrueerisid 1930tel aastatel elektromehaanilise krüpteerimismasina ENIGMA, mille sifrid pidid olema murdmatud · ENIGMA oli keerukas substitutsioon-permutatsioonsiffer, kus võtmena anti ette rootorite (3-8 tk) (substitutsiooni) nihked · Rootor oli mõlemalt küljelt 26 kontaktiga ketas, mis realiseeris tähestiku permutatsiooni Rootoreid oli kolm ja iga tähe sifreerimisel liigutati viimast rootorit ühe sammu võrra · Kui viimane rootor oli teinud 26 sammu (täisringi), liigutati eelviimast rootorit nagu auto kilomeetrilugejas · Niiviisi saavutati 26´26´26 = 17 576 rootorite asendit ehk erinevat substitutsiooni 75. Colossus 1943 konstrueeris Inglise matemaatik Alan Turing spetsiaalse elektronarvuti (maailma esimese!) COLOSSUS, mille eesmärgiks oli ENIGMA sifrite murdmine
hiljem rakendasid seda nt. K. A. Hermann, J. Mägiste, P. Ariste, P. Alvre jt. Sünkrooniline leksikoloogia • tegeleb uurimise ajal keeles olevate sõnade analüüsimisega • on piiratud lühema ajaetapiga • analüüsitakse sõnavara koosseisu, uusi laensõnu, sõnade nüüdistähendusi Leksikoloogia põhimõisted: sõna Sõna on üks mitmetähenduslikumaid keeletermineid, sellega tegeldakse erinevates -loogiates. Sõna tunnuseid: 1) permutatsiooni vabadus (sõna asukohta lauses võib muuta); 2) sõnasse ei saa vabalt paigutada teisi elemente, ilma et üksus sellest muutuks; 3) omaette hääldatav üksus. Sõnas on ühendatud tänapäevale ja kaugele minevikule omane. Mineviku jäljed nt. • possessiivsufiksi rudimendid, genitiivi -n • mõni varasem laia tähendusega sõna nüüdseks kitsenenud jne. • Sõnades kajastub kogu meid ümbritsev reaalne maailm, sõnad on mõtlemise vahendid.
3. Alamvõti ja 48 bitine info liidetakse kokku XOR tehtega, väljundiks on 48 biti pikkune tulemus. 4. See tulemus jagatakse 8-ks 6 biti pikkuseks osaks. 5. Iga kuuebitine osa läbib joonisel S-ploki (substitution box) , kus toimub tema teisendamine 4 bitiseks. Seda saab teostada näiteks maatriksite vms. sarnase tabeli alusel. 6. Saame nüüd uueks tulemuseks jällegi 32 bitise jada. 7. Selle tulemusega teostame fikseeritud permutatsiooni, et asja veelgi rohkem turvaliseks teha. Nagu näha, seisnebki algoritmi turvalisus kõigepealt plokis E teatud bittide duplikatsioonide võrra 32 bitisest jadast 48 bitise kasvatatamises, S-plokkides toimuvast teisendusest maatriksite alusel ja lõpus toimuvast fikseeritud permutatsioonist. Sellega saab asja ajada päris sogaseks. . Alamvõtmete koostamine toimub järgmist algoritmi kasutades.
*Elimineerimismeetodi valem avaldub üldkujul järgmiselt: *Elimineerimismeetodil on rakendusi ka arvuteoorias: näiteks võimaldab ta meil lahendada ülesannet kujul: Kui palju on arve 1-2500, mis ei oma 2500'ga ühiseid tegureid? (e. on relatiivselt algarvulised 2500 suhtes). *Vahetevahel on elimineerimismeetodit kirjanduses nimetatud ka Grassmanni valemiks (ka DM I kursuse raames). [8]. Korratused ja subfaktoriaalid. *Korratus on püsipunktideta permutatsioon. Püsipunktideta permutatsiooni puhul ei jää pärast elementide ümberjärjestamist ükski element oma endisele kohale. (Nt. hulk[3] korratused on {312,231}). *Muuseas nimetatakse n-korratuste arvu dn ka arvu n subfaktoriaaliks, ning seda tähistatakse sümboliga !n. *Mingi arvu korratuste arvu dn on võimalik leida mitme keeruka valemi abil, ent neist kõige optimaalsem on tegelikult järgmine: dn = n! = *Valemis leitakse esmalt avaldisest korratuste ligikaudne arv. Et aga tulemus pole
26! eri võtmevarianti (10 astmes 26 võimalikku tähepaari). 3) polyaphabetic cipher (mitmetäheline siffer) - kasutatakse mitut ühetähelist sifrit. Kindlas kohas tekstis kasutatakse ühte neist sifritest, teises kohas teist. Sifrid erinevad üksteisest võtme väärtuse poolest. DES kodeerib andmed 64 bitisteks blokkideks kasutades selleks 64-bitist võtit. 8 biti 64'st tegelikult ei kasutata nii, et võti on 56 biti pikk. DES koosneb kahest permutatsiooni (järjestuse muutmise sammust) ja need on esimeseks ja viimaseks sammuks algormitmis. Vahepeal teeb algoritm 16 identset operatsiooniringi. Iga operatsioon võtab eelmise operatsiooni väljundi sisendiks. 50. Avaliku võtme krüptograafia, RSA Edaspidi: eb(m) - krüptimise võti; db(m) - dekrüptimise võti. Saatja saab vastuvõtja public encryption key (PEK). Saatja krüpteerib sõnumi m PEK-iga ja teadaoleva krüpteerimisalgoritmiga (nt Caesari krüpteering) (saadakse eb(m) )
kindla süsteemi järgi. Iga täht võib krüptimisel asendada ainult ühte tähte. 26! eri võtmevarianti (10 astmes 26 võimalikku tähepaari). N: 2=3, 1=6, 3=4 jne. 3) mitmetäheline šiffer - kasutatakse mitut ühetähelist šifrit. Kindlas kohas tekstis kasutatakse ühte neist šifritest, teises kohas teist. Šifrid erinevad üksteisest võtme väärtuse poolest. DES – 56bitise võtmega krüpteeritakse 64bitiseid blokke. DES koosneb kahest permutatsiooni (järjestuse muutmise sammust) ja need on esimeseks ja viimaseks sammuks algormitmis. Vahepeal teeb algoritm 16 identset operatsiooniringi. Iga operatsioon võtab eelmise operatsiooni väljundi sisendiks. Murekoht on võtme ohutu edastamine. DES Algoritm koosneb erinevatest loogikatehetest ja nihutamisest. Võimalik realiseerida DES ka riistvarast, siis on ta 1000-10000 korda kiirem kui RSA. Muidu 100 korda kiirem
kodeerib plaintext-i 64-bitistes tekstijuppides, kasutades 64bitist võtit. 64-st bitist 8 on odd parity bit-id (igal kaheksal baidil on oma odd parity bit), seega efektiivselt on võti 56 märki pikk. Eesmärk - täielikult ajada segamini andmed ja võti selliselt, et iga bit krüpteeritud tekstist oleneb igast bitist algtestis ja igast võtme bitist. DES koosneb kahest järjestuse muutmise (permutatsiooni) sammust - esimesest ja viimasest sammust algoritmis, kus kõigi 64 biti järjekorda muudetakse, tehes vahepeal 16 identset operatsiooniringi. Igal ringil võetakse 32 parempoolset bitti sisendist ja viiakse need üle 32-ks vasakpoolseks bitiks väljundis. The entire 64-bit input to the i-th round and the 48-bit key for the i-th round are taken as input to a function that involves expansion of four-bit input chunks into six-bit
1. Kõigepealt seame ritta mingid esimest elementi ehk valime elemendist elementi, arvestades ka järjekorda, milleks ongi variatsioon: . 2. Seejärel reastame sinna järele kõik ülejäänud elementi ehk valime permutatsiooni: . Kuna need sammud on sõltumatud, on -permutatsioonide arv kokku ehk . See annabki aga täpselt eelmise valemi, seekord koos intuitiivse selgitusega. Kombinatsioonide arv
annaabi.ee 
