1. Kahe muutuja funktsioonid (definitsioon, määramis-ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näited). 2. Nivoojoone mõiste (definitsioon, näited ja omadused). 3. Kolme muutuja funktsioon (definitsioon, näited). 4. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Tõlgendus – mida näitab osatuletis? Kuidas leida osatuletisi? 5. Ekstreemumid (lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon). 6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? 10. Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi (nt veahinnang). 11
puutuja tõusunurga tangesinga. 8. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Definitsioon ja põhjalik selgitus, kuidas täismuudust saame võrduseni Sõltumatute muutujate diferentsiaalid. Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali definitsioon. Oletame, et kahe muutuja funktsioon f(x,y) on pidev ja omab pidevaid osatuletisi ning punktis M(x;y) ja selle mingis ümbruses. Esitame funktsiooni täismuudu järgmiselt: Võrduse esimeses kahes liikmes on y muutumatu suurus, võrde y+y. Kolmandas ja neljandas liikmes on x konstantne. Punktis M ja selle ümbruses on täidetud Lagrange'i teoreemi eeldused. Järelikult leidub selline x (x;x+x), et Samuti leidub selline y(y;y+y), et Osatuletise pidevuse tõttu (et x on x ja x+x vahel, siis läheneb xx,
f(A). Funktsioon on pidev piirkonnas D sel korral kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. Märkus: kui funktsioonid f ja g on pidevad, siis f ± g (aritm. Tehete abil saadavad funktsioonid) on ka selles piirkonnas pidev. (pidev f ± pidev f = pidev f) |PA|< f(P) f(A)0 Def: katkev on funktsioon punktis A: a) f(A) = (A ei kuulu MP-sse) b) lim P A f ( P) = c) lim P A f ( P ) f ( A) Osatuletised. Diferentseeruvus Funktsiooni osatuletisi arvutatakse teadaolevate reeglite kohaselt muutuja järgi mitme muutuja funktsioonist nii, et ülejäänud muutujad fikseeritakse käituvad konstantidena. I 2MF: w=f(x,y), P(x,y) D R 2 2MFil on 2 I j osatuletist 1 a) fix y-i f(x,y)F(x): kui on DV-uv, siis eksisteerib F f ( x + x, y ) - f ( x, y ) f ( x, y )
funktsioonidest) Mitme muutuja funktsioon on pidev punktis (a1,...an), kui lim f(x1;...xn)= f(a1,...an), kus (x1;...xn) → (a ,...a ) 1 n Näide: Pidevate funktsioonide summa, vahe, korrutis, jagatis, polünoomid ja liitfunktsioonid on ka pidevad. f(x,y)=arctan x/y- Pidev välja arvatud kui y=0 6. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Geomeetriline ja füüsikaline tõlgendus. Kuidas leida osatuletisi? DEF: Tuletist, mis arvutatakse mitme muutuja funktsioonist z=f(x1;....xn) fikseeritud muutuja xi järgi, käsitledes teisi muutujaid kui konstante, nimetatakse selle funktsiooni i-ndaks osatuletiseks ja tähistatakse zi= fi(x1;....xn), i=1,2,...n Füüsikaline tõlgendus: Geomeetriline tõlgendus: Kuidas leida vaata Mitme muutuja funktsioonid lk 4 7. Ekstreemumid(lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon)
u' z 1 2 kujutava funktsiooni koordinaatide ja aja järgi c uz a1 sin 1 a 2 sin 2 võetud teist järku osatuletisi, diferentseerides vu ' x tan 1 a1 cos 1 a 2 cos 2 kaks korda mõlema muutuja järgi, liites need ja c2
8') determinant on sama , saame 0 u 1 v = - 1 = y 1 v v 0 v 1 u 1 = = y 1 u u z millest järeldub lõplik avaldis. y 9. Kõrgemat järku osatuletised. Teoreem segatuletisest. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) Diferentseerides seda funktsiooni ning seejärel osatuletisi leiame algul esimest järku osatuletised, siis teist järku osatuletised jne. Teoreem 9.1. Olgu funktsioon f ( x, y ) ja selle osatuletised kuni teist järku osatuletisteni pidevad. Siis teist järku segatuletis ei sõltu diferentseerimise järjekorrast. 2z 2 z (9.1) = xy yx Tõestus. Vaatleme järgmist avaldist. A( x, y ) = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y + y ) - f ( x + x, y ) + f ( x, y ) Tähistame ( x ) = f ( x, y + y ) - f ( x, y ) Siis A = ( x + x ) - ( x )
20. Newton-Leibnizi valem 21. Määratud integrali omadused 22.Asendusvõte ja ositi integreerimine määratud integraali korral. 23. määratud integraali rakendusi: tasandilise kujundi pindala arvutamine, keha ruumala arvutamine. 24. differentsiaalvõrrandid. (DV). Lahendid, lahendite geomeetriline tõlgendus esimest järku DV korral. Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob otsitavaid (ühe või mitme muutuja) funktsioone, nende tuletisi (või osatuletisi) ja argumente[1]. Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse otsitavate funktsioonide tuletiste kõrgeimat järku. Näiteks n-järku harilikku diferentsiaalvõrrandit, milles otsitavaks funktsiooniks on y, võib formaalselt esitada järgmiselt: . Iga funktsiooni y=f(x), mis võrrandisse paigutatuna seda võrrandit x suhtes samaselt rahuldab, nimetatakse selle võrrandi lahendiks.
, y , nimetatakse piirväärtust z xz f x,y y f x,y y lim y 0 y lim y 0 y . Joonisel on geomeetriliselt kujutataud funktsiooni z f x, y osatuletisi punktis A a, b : need on vastavalt pinna z f x, y ja tasandite x a ja y b lõikumisel tekkinud joonte l x ja l y puutujate tõusud z x tan , z y tan . Funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaaliks dz või df nimetatakse avaldist dz f x x, y dx f y x, y dy Funktsiooni, millel on täisdiferentsiaal, nimetatakse diferentseeruvaks. Nagu jooniselt näha, kujutab funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaal geomeetriliselt
4. Muutuja vahetus kahekordses integraalis: muutuja vahetuse jakobiaan ning valem (21.4) (valemi tuletamist pole vaja); kahekordne integraal polaarkoordinaatides (muutujavahetus, jakobiaan ning valem(22.1)). Kahekordses integraalis minnakse muutujatelt x ja y muutujatele u ja v seoste (22.1.) abil. Eeldame, et kahe muutuja funktsioonid x=(u,v) ja y=(u,v) on vaadeldavas uv-tasandi piirkonnas ühesed, pidevad ning omavad pidevaid osatuletisi mõlema muutuja järgi. Lisaks eeldame, et võrrandispsteem (22.1.) on üheselt lahenduv muutujate u ja v suhtes. Sellisel juhul vastab igale xy-tasandi punktile piirkonnas D parajasti üks uv-tasandi punkt piirkonnas D' ja vastupidi. Jacobi determinandiks ehk jakobiaaniks nim. funktsionaaldeterminanti . Piirkondade D ja D' osapiirkondade vaheline ligikaudne võrdus sJs'.
Analoogselt y järgi lim y 0 y . Geomeetriliselt näitab osatuletis x järgi pinna (funktsiooni z=f(x;y) graafiku) puutujatasandi tõus x-telje sihis. Osatuletis z x' võrdub arvuliselt pinna z = f (x, y) ja tasapinna y = const lõikejoone puutuja tõusunurga tangensiga. Kõrgemat järku osatuletis- Olles arvutanud osatuletise , saame leida ka kõrgemat järku osatuletisi , 2z Teist järku osatuletist x järgi tähistame kas z xx'' , z x'' 2 , z x 2 , , tavaliselt eelistame teisena esitatud x 2 kirjapilti. Segaosatuletiseks nimetame teist (või kõrgemat) järku osatuletist, kus tuletis on võetud '' vähemalt kahe muutuja järgi, näiteks: z xy
7) lahendiks ja suurus C on konstant, siis on ∆x∆y+fyy(Q)( ∆y)2 märgi sõltuvust muudust(∆x, ∆y).Piisavalt väikese muudu(∆x. ∆y) korral võime eeldada, et 𝑘 avaldis ∝ on sama märgiga argumentide P(x,y) ja Q(x+𝜃∆x,y+ 𝜃∆y) korral. Järgnevas vaatamegi osatuletisi − ∬𝐷 𝑋𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. Kasutades piirkonda 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) ∧ (𝜑(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜓(𝑥))}, saab analoogiliselt kohal P(x,y). Kui fxx(P)=0, siis saab avaldis omandada nii positiivse kui ka negatiivse märgi. Seega võime fxy fyy fxy fyy
Anname sellele valemile pisut teistsuguse kuju, mida on lihtsam meelde j¨atta, sest selles esineb v¨ahem erinevaid t¨ahiseid. Kuna funktsiooni j s~ oltuv argu- u ment on uj , siis v~oib osatuletise xij kirjutada kujul xji . Peale selle, kuna F f funktsioonide F ja f s~oltuv muutuja on z, v~oib osatuletisi u j ja x i t¨ahistada z z vastavalt s¨ umbolitega uj ja xi . J¨arelikult saab valemi (6.11) kirja panna ka j¨argmiselt: n
endast hulgal 0 määratud funktsiooni. diferentseeruvad punktis P. Seega n-muutuja funktsiooni osatuletised on n-muutuja funktsioonid millest võime võtta osatuletisi muutuja xk(k1,...,n) järgi: Kui funktsioon f(x,y) on (n+1) korda diferentseeruv punktis P(x,y) siis kehtib n-järku Taylori valem f(x + x,y + y) = (j=0, n) fxj xk (P) 2f(P) / xj xk := ( / xk ) ( f(P) / xj) 1/j!( (/x) x + (/y) y)j f(x,y) + Rn(x,y), mille jääkliige Rn(x,y) avaldub (Lagrange') kujul (0<<1) : Rn(x,y) = (1/(n+1)!) Saadud tulemust nimetame teist järku osatuletiseks
x 0 x x1 0 x1 Analoogselt iga 1 i m korral f xi ( A) = 0 . Lokaalne ekstreemum punktis, kus funktsioon pole diferentseeruv Funktsioonil f võib olla lokaalne ekstreemum ka punktis, kus f pole diferentseeruv, kui ei leidu lõplikku osatuletist f xi mingi i korral. Näide: z = x 2 + y 2 (koonus). Selge, et locmin z = z (0,0 ) = 0 . Samas ei leidu osatuletisi z x (0,0 ) ega z y (0,0) : z (0 + x ) - z (0) (x )2 x 1 x > 0 z x (0,0) = lim = lim = lim = = sgn x x 0 x x 0 x x 0 x - 1 x < 0 Kuna ühepoolsed piirväärtused on erinevad, siis kahepoolne piirväärtus puudub. Järelikult ei leidu z x (0,0) . Analoogselt z y (0,0) korral. 9
allika mõõtmeid tunduvalt ületaval kaugusel. Juhul kui laine levimise kiirus on kõikides suundades ühesugune, on punktallika tekitatud laine sfääriline ja keralaine võrrand on selline: =a/r *cos(t- r/v). §48. Lainevõrrand. Iga laine võrrand on teatud diferentsiaalvõrrandi lahend. Seda diferentsiaalvõrr. nimet. lainevõrrandiks. Viimase kuju kindlakstegemiseks kõrvutame tasalainet kirjeldava fun.-ni (x,y,z;t)=a cos(t-kxx-kyy-kzz) koordinaatide ja aja järgi võetud teist järku osatuletisi. Diferentseerinud (x,y,z;t)=a cos(t-kxx-kyy-kzz) kaks korda mõlema muutuja järgi saan: 2/t2=-2acos(t-kr)=-2, 2/x2= -k2xacos(t-kr)= -k2x 2/y2= -k2yacos(t-kr)= -k2y 2/z2= -k2zacos(t-kr)= -k2z. Liidame võrrandid ja kõrvutades need ning siis, võttes arvesse, et (x,y,z;t)=a cos(t-kxx- kyy-kzz) kohaselt k2/2=1/v2, saame lõplikult: 2/x2+2/y2+2/z2=1/v2* *2/t2. §49. Lainete interferents ja difraktsioon. Koherentsete lainete liitumisel tekib interferentsi nähtus: osas punktides
muudu m~oisted kokku ning t¨aisdiferentsiaal z z dz = dx + dy. (6.9) x y x N¨ aide 1. Leiame funktsiooni z = arctan t¨aisdiferentsiaali avaldise. y Kasutades punkti 6.5 n¨aites 2 leitud osatuletisi, saame y x ydx - xdy dz = dx - 2 dy = . x2 +y 2 x +y 2 x2 + y 2 N¨aide 2. Arvutame funktsiooni z = x2 + y 2 t¨aismuudu ja t¨aisdiferentsiaali v¨a¨artuse, kui x = 3, y = 4, x = 0, 2 ja y = 0, 1. T¨aismuudu valemi (6.3) abil z = 3, 22 + 4, 12 - 32 + 44 = 27, 05 - 25 = 0, 20096.
See on väga oluline asjaolu. 84 1.3.3.1 Lainevõrrand Teatud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on igasugune laine võrrand, mida nimetatakse laine- võrrandiks. See lainevõrrand võib kirjeldada matemaatiliselt näiteks ka elektromagnetlainet. Kuid selle saamiseks aga kõrvutame füüsikas tuntud tasalainet kirjeldava funktsiooni koordinaatide x, y, z ja aja t järgi võetud teist järku osatuletisi. Leiame tuletised koordinaatide ja aja järgi lausa kaks korda ja saamegi siis järgmised avaldised: Saadud võrrandid liidame omavahel ja siis saame järgmise ühe avaldise: Kõrvutades omavahel järgmised võrrandid saame leida seda, et kuid sellise seose järgi saame avaldise viia järgmisele kujule mis ongi otsitav lainevõrrand. Igasugune funktsioon rahuldab lainevõrrandit Näiteks saame me järgmised avaldised
annaabi.ee 
