1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest
Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest
Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest
y × ( x , y ) dxdy o Kujundi D inertsimomendid Ix ja Iy vastavalt x- ja y-telje suhtes on leitavad 1 1 valemitega: Ix = y 2 × ( x , y ) dxdy ja Iy = x2 × ( x , y ) dxdy mD mD 4. Read Arvrea osasumma mõiste Jada (Sn); kus Sn = u0 + u1 + un nimetatakse rea osasummade jadaks. Kui leidub piirväärtus S = n lim S n siis seda nimetatakse rea summaks ja kirjutatakse u n=S n n=0 Arvrea koonduvus (d'Alemberti ja Cauchy tunnused) o Kui rea summa S on lõplik, siis öeldakse, et rida koondub summaks S: Kui osasummade jada piirväärtus ei eksisteeri või on lõpmatu, siis öeldakse, et rida
Xq={X : |X|≤q<|x0|} Fourier' teisendust kasutatakse diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Kui f(x) on diferentseeritav funktsioon, Fourier' Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada {𝑆𝑛 } on koonduv, st ∃ lim 𝑆𝑛 = 𝑆, kusjuures suurust Kui astmerida hajub punktis x0, siis see astmerida hajub iga x korral, kui |x|>|x0| teisendusega 𝑓̂(𝜉), siis selle funktsiooni tuletise Fourier' teisendus on2𝑖𝜋𝜉𝑓̂(𝜉)
kus u 0 , u1 , ... on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks. Suvalise indeksiga rea liiget u n nimetatakse rea üldliikmeks. Definitsioon: Jada (U n ) , kus n U n = uk , (2) k =0 nimetatakse rea osasummade jadaks. Igale reale (1) võib koostada tema osasumma jada (2) ja vastupidi, kui on antud rea osasummade jada (2), siis võrduste u0 = U 0 , un = U n - U n-1 (n = 1, 2, ...) abil võime saada rea (1). Seega võime realt alati üle minna tema osasummade jadale ja vastupidi. Definitsioon: Kui eksisteerib (lõplik või lõpmatu) piirväärtus U = lim U n , (3)
Antud rea uk puhul moodustame tema osasummad (partial sum, частичная сумма) P k=1 n X s1 := u1 , s2 := u1 + u2 , . . . , sn := uk , . . . k=1 ja osasummade jada (sn ). ∞ Definitsioon. Rea uk summaks (sum, сумма) nimetatakse tema osasummade jada P k=1 ∞ (sn ) piirväärtust lim sn =: s, kui see eksisteerib. Sel juhul kirjutame uk = s. Kui s ∈ R,
g(x;y) = 0 2. Selgitada Lagrange'i kordaja majanduslikku tähendust. on koguse x (seisundimuutuja) varihind. Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. Teooriaküsimused nr. 13 1. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib), st: U= limn->Un 2. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdisväärtuse leidmist lõppsumma järgi.
2. Selgitada Lagrange'i kordaja majanduslikku tähendust. on koguse x (seisundimuutuja) varihind. Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. TEOORIAKÜSIMUSED nr 14 1. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib), st: U= 2. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimeetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi.
f(x,y) ; g(x,y) = 0 lahendamine. 56. Selgitada Lagrange'i kordaja majanduslikku tähendust. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. on koguse x (seisundimuutuja) varihind. Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel 57. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib). 58. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 59. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. 60. Rea koonduvuse tarvilik tunnus
hajub. 36. Harmoonilised read (*) Teada, et harmooniline rida koondub parajasti siis, kui α> 0 (lause 9.7). Tõestada, et rida hajub (lause 9.5): 37. Tehted koonduvate ridadega (*) Tõestada, et kui read koonduvad vastavalt summaks s ja t, siis read koonduvad vastavalt summaks s+t; λs ja s-t (lause 9.8). 38. Ridade esimene ja teine võrdluslause (*) Selgitada, et mittenegatiivsete liikmetega rea osasummade jada on kasvav. Tõestada tarvilik ja piisav tingimus sellise rea koonduvuseks (lause 9.9): Mittenegatiivsete liikmetega rida koondub parajasti siis, kui ta osasummade jada (sn) on tõkestatud. Eelneva märkuse põhjal on rea osasummade jada (sn) kasvav, vastavalt monotoonsuseprintsiibile koondub ta parajasti siis, kui ta on tõkestatud. Tõestada mittenegatiivsete liikmetega ridade esimene võrdluslause (lause 9.10) ja sõnastada teine võrdluslause (lause 9.12).
n Sn = uk k=1 Osasummadest S 1 = u1 S 2 = u1 + u2 ..................... Sn = u1 + u2 + . . . + un .................................... tekib rea osasummade jada S1 , S 2 , . . . , Sn , . . . (8.4) Definitsioon. Rida (8.1) nimetatakse koonduvaks, kui osasummade jadal (8.4) on olemas l~oplik piirv¨a¨artus lim Sn = S n 1 Seda piirv¨aa¨rtust S nimetatakse rea summaks ja kirjutatakse
.. +un+... = u n nim lõpmatuks n =1 reaalarvuks, liidetavaid aga nim rea liikmeteks, liidetavat un nim rea üldliikmeks. Rea esimese n n liikme summat nim selle rea n-ndaks osasummaks: S n = u1 + u 2 + ... + u n = u k . Kui k =1 osasummade jadal S1, S2,..., Sn, ...eksisteerib protsessis n lõplik piirväärtus, siis nim rida koonduvaks ja vastavat piirväärtust selle rea summaks: lim S n = S . Kui S = või lim S n ei n n eksisteeri, siis nim rida hajuvaks. 1 1 1 1 Nt Harmooniline rida: u n = = 1 + + + ... - see rida on hajuv
nimetatakse arvreaks (ka lihtsalt reaks). Arve un nimetatakse rea (1) liikmeteks. Järgnevas täpsustame,mida mõista sellise summa all. Definitsioon 14. Arvrea (1) osasummaks nimetatakse summat n S n = u1 + u 2 + ... + u n = u k . k =1 Definitsioon 15. Arvrida (1) nimetatakse koonduvaks, kui tema osasummade jada koondub, st kui eksisteerib lõplik piirväärtus nlim S n = S . Arvu S nimetatakse rea (1) summaks. Arvrida, mis ei koondu, nimetatakse hajuvaks. Näide. Rida n = 1 + 2 + ... + n + ... hajub, sest n =1 n(n + 1) lim S n = lim (1 + 2 + ...n) = lim = . Antud juhul kirjutame S=. n n n 2
Käesolevas raamatus käsitletakse samuti ainult binaarloogikat. Loogikasignaalidega saab sooritada kõiki loogikatehteid ning moodustada suvalisi loogikafunktsioone. Loogikatehete kohta kehtivad järgmised binaarloogika aksioomid: 1. Argumentide järjekorda võib tehtes muuta 2. Sulgusid võib avada ehk funktsiooni võib teisendada loogiliste osakorrutiste summaks 3. Funktsiooni võib teisendada loogiliste osasummade korrutiseks 4. Argumendi ja tema eituse loogiline korrutis võrdub nulliga ega muuda loogilise summa väärtust 5. Suvalise argumendi ja tema eituse loogiline summa võrdub alati ühega 6. Suvalise argumendi ja tema eituse loogiline korrutis võrdub alati nulliga Loogikatehete ja aksioomide põhjal leitakse kahendarvude kohta kehtivad loogikareeglid ja alljärgnevad kahendarvude loogikatehted: Võrdluseks võib esitada kahendarvude aritmeetikatehted:
suvalisi loogikafunktsioone. Loogikatehete kohta kehtivad järgmised binaarloogika aksioomid: 1. Argumentide järjekorda võib tehtes muuta a + b = b + a. (1.3) 2. Sulgusid võib avada ehk funktsiooni võib teisendada loogiliste osakorrutiste summaks a(b + c) = ab + ac. (1.4) 3. Funktsiooni võib teisendada loogiliste osasummade korrutiseks a + bc = (a + b)(a + c). (1.5) 4. Argumendi ja tema eituse loogiline korrutis võrdub nulliga ega muuda loogilise summa väärtust a+ a ⋅ a = a . (1.6) 5. Suvalise argumendi ja tema eituse loogiline summa võrdub alati ühega a + a = b + b = 1. (1.7) 6
annaabi.ee 
