analüüsimist. 2.Matemaatiline statistika on matemaatika haru, mis uurib statistiliste andmete põhjal järelduste tegemise meetodeid. 3.Statistikas on oluline uurimise objekt - üldkogum. 4.Üldkogum on kas looduse või ühiskonna nähtus või objektide hulk, mille kohta soovime teha teaduslikult põhjendatud järeldusi. Üldkogumi uurimisel on kaks võimalust: a) uuritakse üldkogumi kõiki elemente b) uuritakse selle üldkogumi mingit osahulka ja tehakse selle osahulga uurimise põhjal järeldusi terve üldkogumi kohta. 5.Mõõtmiseks võetud üldkogumi osa nimetatakse valimiks. 6.Valim peab olema küllalt arvukas ming igal üldkogumi objektil peab olema võimalus valimisse sattuda. 7.Statistiline rida- uuritava kogumi objektide mõõtmisel saadud vaadeldava tunnuse väärtuste rida 8.Variatsioonrida- väärtuse kasvamise või kahanemise järgi järjestatud valim 9
Tükeldused: Milliste omadustega relatsioon on ekvivalentsisuhe? Binaarushet ehk relatsiooni nimetatakse ekvivalentsisuhteks, kui ta on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Mis on ekvivalentsiklass? Ekvivalentsisuhte alushulga sellist osahulka, mille kõik elemendid on omavahel relatsioonis, nimetatakse ekvivalentsiklassiks. Mis on hulga tükeldus? Hulga tükeldus on selle hulga mittelõikuvate osahulkade hulk, millel on kindlat omadused. Millest tükeldus koosneb? Tükeldus kui hulkade hulga elementideks ehk mittelõikuvateks osahulkadeks on ekvivalentsisuhte kõik ekvivalentsiklassid. Mis on tükelduse plokk? Tükelduse koosseisu kuuluvaid ekvivalentsiklasse nimetatakse ka tükelduse plokkideks ehk tükelduse tükkideks.
Seosed Seoseks (ehk vastavuseks, sageli ka relatsiooniks või suhteks) hulkade ja vahel nimetatakse otsekorrutise × mistahes osahulka. Seega, seos hulkade ja vahel on järjestatud paaride (,) hulk, kus ja . Teisiti öeldes, seos on mingi osahulk ×. Paari (,)× korral öeldakse, et elemendid ja on seoses ning tähistatakse ka . Mõnikord öeldakse osahulga kohta, et see on seose graafik. Kui =, ehk kui ×, siis räägitakse seosest hulgal . Näide 1. Olgu ={2,3} ja ={1,2,3,4,5,6}. Siis 1={(2,2),(2,3),(3,1), (3,5)} on binaarne seos hulkade ja vahel. Samade hulkade ja korral
Põhivärvid on: kollane, punane ja sinine 1. Nendest tulenevad ja need moodustavad kromaatiliste värvide rühma. Kromaatilise värvi iseloomustavad omadused on toon, küllastus ja heledus. Toon saab iseloomustada sõnadega punane, kollne, sinine, nende segamisel saab üha uusi värvitoone. Toon aitab ärve omavahel eristada (oliivroheline, ooker, ultramariin sinine. Küllastus nägemistaju omadus, mis võimaldab hinnata akromaatilise värvi osahulka värvi üldises tunnetuses. Väljendub kromaatilise värvi puhtuses ja heledusastmes, milles avaldub akromaatilise värvi hulk, võrreldes kromaatilisega. Skaalal vastab null neutraalsetele värvidele. Küllastus näitab värviringi seotust halliskaalaga. tume Põhivärve omavahel segades saame sekundaarvärvid.
kolm kooki, kõik erinevast sordist? 23. Mitu erinevat kolmekohalist arvu saame moodustada numbritest 0, 2, 7, 9, 5 juhul, kui numbrid arvus ei kordu? 24. Mitu erinevate numbrimärkidega neljakohalist fonoluku koodi on võimalik koostada numbritest 0, 2, 7, 9, 5? 25. Mitu neljakohalist fonoluku koodi on võimalik koostada numbritest 0, 2, 7, 9, 5? 26. Kui palju saab koostada murde, mille lugeja ja nimetaja kuuluvad hulka ? 27. Hulgas on 4 elementi. Mitu osahulka on võimalik koostada selle hulga elementidest? 28. Mitmel erineval viisil võib kahte taskusse paigutada 7 erineva väärtusega münti? 29. Mitmel erineval viisil võib 80 sõdurist ja 5 ohvitserist moodustada patrulli, mis koosneb neljast sõdurist ja kahest ohvitserist? 30. Mitmel erineval viisil võib 6 erinevat eset jagada kolme isiku vahel nii, et igaüks saaks 2 eset? 31. Puhvetis on kuue erineva täidisega pirukaid. Mitmel erineval viisil võiks Jüri neist teha
kolm kooki, kõik erinevast sordist? 23. Mitu erinevat kolmekohalist arvu saame moodustada numbritest 0, 2, 7, 9, 5 juhul, kui numbrid arvus ei kordu? 24. Mitu erinevate numbrimärkidega neljakohalist fonoluku koodi on võimalik koostada numbritest 0, 2, 7, 9, 5? 25. Mitu neljakohalist fonoluku koodi on võimalik koostada numbritest 0, 2, 7, 9, 5? 26. Kui palju saab koostada murde, mille lugeja ja nimetaja kuuluvad hulka 2;3;4;5;6; 7 ? 27. Hulgas on 4 elementi. Mitu osahulka on võimalik koostada selle hulga elementidest? 28. Mitmel erineval viisil võib kahte taskusse paigutada 7 erineva väärtusega münti? 29. Mitmel erineval viisil võib 80 sõdurist ja 5 ohvitserist moodustada patrulli, mis koosneb neljast sõdurist ja kahest ohvitserist? 30. Mitmel erineval viisil võib 6 erinevat eset jagada kolme isiku vahel nii, et igaüks saaks 2 eset? 31. Puhvetis on kuue erineva täidisega pirukaid. Mitmel erineval viisil võiks Jüri neist teha
kolm kooki, kõik erinevast sordist? 23. Mitu erinevat kolmekohalist arvu saame moodustada numbritest 0, 2, 7, 9, 5 juhul, kui numbrid arvus ei kordu? 24. Mitu erinevate numbrimärkidega neljakohalist fonoluku koodi on võimalik koostada numbritest 0, 2, 7, 9, 5? 25. Mitu neljakohalist fonoluku koodi on võimalik koostada numbritest 0, 2, 7, 9, 5? 26. Kui palju saab koostada murde, mille lugeja ja nimetaja kuuluvad hulka {2;3; 4;5;6; 7} ? 27. Hulgas on 4 elementi. Mitu osahulka on võimalik koostada selle hulga elementidest? 28. Mitmel erineval viisil võib kahte taskusse paigutada 7 erineva väärtusega münti? 29. Mitmel erineval viisil võib 80 sõdurist ja 5 ohvitserist moodustada patrulli, mis koosneb neljast sõdurist ja kahest ohvitserist? 30. Mitmel erineval viisil võib 6 erinevat eset jagada kolme isiku vahel nii, et igaüks saaks 2 eset? 31. Puhvetis on kuue erineva täidisega pirukaid. Mitmel erineval viisil võiks Jüri neist teha
Statistika on teadus, mis käsitleb andmete kogumist, töötlemist ja analüüsimist. 1 Üldkogum on objektide hulk, mille kohta soovime teha põhjendatud järeldusi. Uurimise võimalused: a) uuritakse kõiki elemente b) uuritakse mingit osahulka - valim 2 Tunnused jagunevad: arvtunnused (kvantitatiivsed tunnused) pidevad tunnused diskreetsed tunnused mittearvulised tunnused (kvalitatiivsed ) nominaalsed tunnused järjestustunnused binaarsed tunnused 3 Andmete töötlemine Vigaseid väärtusi ei tohi asendada õige väärtusega Andmeid võib kodeerida 4
OMADUSED: 1. Kordajad on Pascali kolmnurgas. 2. Esimene ja viimane kordaja on alati 1. 3. Järgmise rea saame eelmise rea liitmisel. 4. Algusest ja lõpust võrdsel kaugusel olevad liikmed on võrdsed. 5. Liikmsed igas reas on n+1 6. Esimese ja viimase aste on n. 7. teine ja eelviimane kordaja on alati n. 8. Astmete liikmete suuma on alati n. 9.Kordajate summa on 2 n 10. a- kasvavad astmed. b- vähenevad astmed 6. Sündmusemõiste. Sündmuseks nim elementaarsündmuste ruumi U iga osahulka. Juhuslikud sündmused- sündmused võivad esile tulla, kuid need võivad ka mitte tulla. Võimatu sündmus- Sõndmus mis ei ole võimalik . NÄIDE : Loeme täringu viskamisel sündmuseks A kolmega jaguva silmade arvu (3 või 6 silma) tuleku. Sündmuse A vastandsündmuseks A on kolmega mitte jaguva silmade arvu tulek, st. 1, 2, 4 või 5 silma tulek. Kindla sündmuse vastandsündmuseks loetakse võimatut sündmust, st. U =V ja võimatu sündmuse vastandsündmuseks kindlat sündmust, st. V =U
peegeldada. Valguse suurema peegelduse korral tajume pinda heledamana, vähem peegelduse korral tumedamana. See omadus on kõigil ühine, nii kromaatilistele kui akromaatilistele värvidele, setõttu saab mistahes pinduheleduselt omavahel võrrelda. Värv muutub tumedaks musta lisamisel. Kui värvitoonile on musta lisatud liiga palju, siis pole värvitoon enam eristatav. Värvi küllastus Küllastus on nägemistaju omadus, mis võimaldab hinnata akromaatilise värvi osahulka kromaatilises värvis. See väljendub kromaatilise värvi puhtuses ja heledusastmes. Värvitoonide küllastus on erinev. Kui mingit spektri värvust, näiteks kollast segada halliga, siis ta küllastus väheneb, ta muutub kahvatumaks ehk vähem küllastunuks. Jätkates kollasele halli lisamist saame järjest vähem küllastunud toone, kuni kollane muutub vaevu märgatavaks. Eredus väheneb vastavalt sellele kas segatakse värvile juurde musta või valget või mõlemat. Nii
B C A B või A D C D 12. Mis on universaalhulk? Universaalhulk on kõigi hulkade hulk. 13. Mis on hulga täiend? Hulka mittekuuluvad elemendid. 14. Millise hulga osahulgaks on iga hulk? Iga hulk on iseenda osahulk ning universaalhulga osahulk. 15. Mitu erinevat osahulka on n-elemendilisel hulgal? Igal hulgal on osahulka. 16. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on hulga kõigi osahulkade hulk. 17. Mitu elementi on n-elemendilise hulga astmehulgas? elementi. 18. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. 19. Millist hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. 20. Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks
Tähis: A B, öeldakse ka, et hulgad A ja B on ekvivalentsed. Kehtivad omadused: · refleksiivsus: A A · sümmeetrilisus: kui A B, siis B A · transitiivsus: kui A B ja B C, siis A C Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, nimetatakse loenduvaks hulgaks. · Järelikult on loenduvad parajasti need hulgad, mis on esitatavad jadana {a0, a1, a2, . . .}. · Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat osahulka. · Loenduva hulga iga lõpmatu osahulk on samuti loenduv. Cantor-Bernsteini teoreem Definitsioon Ütleme, et hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust, kui leidub injektsioon f : A B. Teoreem (Cantor-Bernsteini teoreem.) Kui hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust ja hulga B võimsus ei ületa, hulga A võimsust, siis hulgad A ja B on sama võimsusega. Teoreemi teine sõnastusvariant. Kui A B C ja A C, siis A B C. Teoreem
3. Kui a < b, siis (a, b) (a, b] [a, b]. Kõigi osahulkade hulk Hulga A kõigi osahulkade hulka tähistatakse tavaliselt P( A)={ X X A }. Ülesanne: Iga hulga korral leia tema kõigi osahulkade hulk. Samuti määra |A| ja |(A)|. 1. A = 2. A = {a, b} LAHENDUS 1. A = , ()=? |A| = 0, () = {X | X } = , |()| = 1 2. A = {a, b} |A| = 2, (a, b) = {X | X {a, b} } = {, {a}, {b}, {a, b}}, |()| = 4 Lause Kui hulgas A on n elementi, siis hulgal A on 2n erinevat osahulka TÕESTUS {a 1 , a2 , ... , an } Olgu A hulk, milles on n elementi. Siis A on kujul . Iga elemendi juurde käib mõtteliselt 1 või 0 ehk kas võtan osahulka või mitte, seega osahulki on 2*2*2* ... ehk 2n. 5. LOENG Tehted hulkadega Definitsioon Hulkade A ja B ühendiks nimetatakse hulka A B, mille moodustavad kõik elemendid, mis
Värvitoonid on punane, kollane, sinine jne. Primaarvärvide kahekaupa segamisel erinevates proportsioonides saadakse üha uusi värvi toone. Puhaste värvide lahjendamisel veega või segades valge, halli ja mustaga säilib nende värvi toon, kõige muude segamiste puhul see muutub. Värvi küllastus (saturatsion) tähendab eredust või tuhmust, heledust või tumedust. Küllastus on nägemistaju omadus, mis võimaldab hinnata akromaatilisi värvi osahulka kromaatilises värvis. Küllastus on värvitooni erinevus maksimaalse puhtusega spektrivärvist. Eredus väheneb vastavalt sellele, kas segada värvi hulka valget, musta või mõlemat. Nii tekib terve hulk pooltoone- värvivarjundeid. Tuhmus on vastupidine eredusele, kus segamise tulemusena on värvipigmendi osa väike, aga musta ja valget on palju. Värvi heledus suureneb valge värvi lisamisel. Värvi muutub tumedaks musta lisamisel.
Heleduse määramiseks kasutatakse nn. halli skaalat. See koosneb akromaatiliste värvuste näidisest, mis algab sügavmustaga, lähevad järk järgult üle tumehalliks, halliks, helehalliks ja lõpevad peaaegu valgega. Värv muutub tumedaks musta lisamisel. Kui värvitoonile on musta lisatud liiga palju, siis pole värvitoon enam eristatav. Küllastus Küllastus on nägemistaju omadus, mis võimaldab hinnata akromaatilise värvi osahulka kromaatilises värvis. See väljendub kromaatilise värvi puhtuses ja heledusastmes. Värvitoonide küllastus on erinev. Kui mingit spektri värvust, näiteks kollast segada halliga, siis ta küllastus väheneb, ta muutub kahvatumaks ehk vähem küllastunuks. Jätkates kollasele halli lisamist saame järjest vähem küllastunud toone, kuni kollane muutub vaevu märgatavaks. Eredus väheneb vastavalt sellele kas segatakse värvile juurde musta või valget või mõlemat.
T~oestus. Arvutame (¨ ulemineku)maatriksite determinantide kor- rutise: det PBB · det PB B = det(PBB PB B ) = det PBB = det I =1 Kuna korrutis on 1 = 0, siis tegurid ei saa olla nullid. 26 V. Vektorruumid 10 Alamruum ja lineaarne kate 10.1 Alamruum Vektorruumi V alamruumiks nimetatakse tema sellist mittet¨ uhja osahulka V V , mis rahuldab j¨ argmist tingimust: a, b V = a + b V , K 10.2 N¨ aide Vektorruum V on iseenda alamruum. Nullruum {O}, mis koosneb vaid vektorruumi V nullvektorist 0, on V alamruum. Neid alam- ruume nimetatakse vektorruumi V triviaalseteks alamruumideks. K~oiki u ¨lej¨a¨anud alamruume (kui leiduvad) nimetatakse mittetri- viaalseteks. 10.3 N¨ aide Defineerime V K2 j¨
Ruumisuhete õpetamine on pikaajaline. 23 25. Hulgamõistete kujunemise iseärasused intellektipuudega lastel. Intellektipuudega lapsel tekivad nende iseärasuste tõttu kujutlused hulkadest hiljem kui tavalastel ja kujutluste kujunemine on raskem ja aeganõudvam. Seepärast tuleb rakendada eriõpet selleks, et õpetada last hulki tajuma, võrdlema, kuidas moodustada hulka erinevate hulkade liitmise teel ja kuidas eraldada osahulka. Kuna erikooli esimesse klassi tulnud lapsed on erineva teadmiste pagasiga ja me neist suurt midagi ei tea, siis on oluline propedeutilisel perioodil saada selgeks, mida lapsed juba oskavad, milline on nende lähim arenguvald. Uurimused on teinud kindlaks, et intellektipuudega lapsed võrreldes tavalastega eksivad peaaegu alati nii hulkade tajumise, võrdlemise kui ka hulkadega tehtavate operatsioonidega. Hulkade tajumise puhul on hea teada, et
annaabi.ee 
