cos + + tan + + 15. 16. Nurgaradiaan on kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele. 17. Seos kraadimõõdu ja radiaanmõõdu vahel on 180º= rad 18. Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a · b nim. nenede vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. 19. Vektorite ristiseisu tunnus: kaks nullvektorist erinevat vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nenede skalaarkorrutis on null 20. Siinusteoreem: a/sin = b/sin = c/sin 21. Koosinusteoreem: a2=b2-c2-2bccos, b2=a2+c2-accos, c2=a2+b2-2abcos 22. Kolmnurga pindala: S=ab· sin/2, S=ac·sin/2, S=cb· sin/2 23. Kahe nurga summa ja vahe sin sin(+)= sincos+cossin, sin(-)=sincos-cossin 24. Kahe nurga summa ja vahe cos cos(+)=coscos-sinsin, cos(-)=coscos+sinsin 25. Kahe nurga summa ja vahe tan tan(+)=tan+tan/1-tantan,
tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vektorid kollinaarsed Nullvektorist erinevat vektorit x nim lineaarteisenduse f omavektoriks kui on rahuldatud aga tingimus f(x)=*x, aga lineaarteisenduse omaväärtuseks. Vektorarvutus: 3 algmõistet: punkt, vektor, reaalarv. 1') leidub vähemalt 1 punkt 2') igale kahele võetud punktile A ja B seatakse vastavusse üks vektor a, AB=a 3') iga punkti A ja vektori a korral leidub parajast 1 punkt B, niiet punktidele A ja B vastab vektor a 4') Kui AB=CD, siis AC=BD.
a p +0⃗ a p +1+ …+0⃗ aq −1+1 ⃗ aq + 0⃗ a k =⃗0 aq +1+ …+0 ⃗ Kuna kaks kordajat on nullist erinevad, st nullvektor saadi mittetriviaalsel viisil. LAUSE: Ühest vektorist koosnev vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, kui see koosneb vaid nullvektorist, st ⃗a =⃗0 . Tõestus: Tarvilikkus. Eeldame, et ⃗a =⃗0 . Siis λ ≠ 0 , korral λ ⃗a =λ ⃗0 =⃗0 . Seega on mittetriviaalne lineaarkombinatsioon võrdne nullvektoriga ja vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv. Piisavus. Eeldame, et vaadeldav vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, st λ ⃗a =⃗0 ja 1 λ ≠ 0
leidmise eeskiri: A -1 = A. det A 5. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse . Olgu ja nullvektorist erinevad vektorid eukleidilisest vektorruumist V. Vektorite ja vaheliseks nurgaks NO NO nimetatakse nurka , mis on määratud võrdusega cos , = . Öeldakse, et vektorid ja on omavahel risti ehk ortogonaalsed ja tähistatakse , kui = 0 . 6. Vektorkorrutise definitsioon. Teoreem vektorkorrutise ristseisust ja pikkusest (tõestuseta).
{ e1 ; e2 ; e3 }.....9 aksioomi ... ( x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 ) x = x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 = 0 [ f (e1 ) ] = ( a11 a12 a13) [e1 ] A = [ f (e2 ) ] = ( a21 a22 a23) [e2 ] [ f (e3 ) ] = ( a21 a22 a23) [e3 ] Maatriksi A nimetatakse lineaarteisenduse maatriksiks antud baasi korral. Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi sellised vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. Aksioom3 Nullvektorist erinevat vektorit x nimetatakse lineaarteisenduse f omaväärtusele vastavaks omavektoriks, kui on rahuldatud tingimus: f ( x ) = x . Vektorarvutus Algmõistetele tuginedes sõnastatakse teatavad laused, mida nimetatakse aksioomideks ehk postulaatideks. Aksioom1 Eksisteerib vähemalt üks punkt. Aksioom2 Igale kahele kindlas järjekorras võetud punktile a ja b seatakse vastavusse parajasti üks vektor.
2. Kui determinandis 2 rida/veergu 3. Trigonomeetriline: =r*(+i*) ; Euleri valem: tingimusi nim. lineaarkujutuste vektorruumiks ja märgime L. Nullvektorist erinevat vektorit, mis teatava lineaarteisenduse f omavahel ümber paigutada, siis muutub korral rahuldab tingimust f(x´)=*x' nim. selle lineaarteisenduse determinandi märk vastupidiseks. 4. Eksponentkuju: =r*
hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuseks nim arvu cos (nurk x,y)=x*y/|x||y| Hulka U (P)={QRn|d(P,Q<} nim punkti P -ümbruseks. Punkti P Rn nim hulga C Rn rajapunktiks, kui iga > 0 korral, sisaldab punkti P - ümbrus nii hulga punkte kui ka hulka mittekuuluvaid ruumi Rn punkte. Hulka C Rn nim lahtiseks, kui iga punkti P korral leidub > 0, et U (P)C Hulka C Rn nim kinniseks, kui ta sisaldab kõiki oma rajapunkte
kolme vektori a, b ja c korral. avaldis koordinaatides: vektorkorrutist saab esitada ka kolmandat järku determinandina: 19. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kolme vektori a, b ja c segakorrutiseks nimetatakse kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a × b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a × b)c Avaldis koordinaatides: omadused: Determinantide omadustest tulenevalt: kolm nullvektorist erinevat vektorit a = ( x1 ; y1 ; z1 ), b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ja c = ( x3 ; y3 ; z3 ) on komplanaarsed parajasti siis, kui nende segakorrutis on null, st rakendus: kolme vektori segakorrutist kasutatakse ruumalade arvutamisel. kolmele ühest punktist väljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused.
tema maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Teoreem LVS-i lahendite arvust Olgu LVS-i maatriksiks A ja süsteemi laiendatud maatriksiks B ja olgu LVSis tundmatute arvuks n. 1. Kui rank(A) ≠ rank(B), siis LVSil ei ole lahendeid. 2. Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend. 3. Kui rank(A) = rank(B) < n, siis on LVSil lõpmata palju lahendeid. 8 Sirge sihivektor sirgel fikseeritakse üks punkt ja nullvektorist erineva vektori abil antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis)
+2 + = =( + ) 2 (kasutati võrratust (2)). Siit saabki pärast juurimist võrratuse (3). Def. 2. Olgu ja nullvektorist erinevad vektorid eukleidilisest vektorruumist V. Vektorite ja vaheliseks nurgaks nimetatakse nurka , . mis on määratud võrdusega cos , = . (7)
lõikejoonena { A 1 x + B1 y +C 1 z + D 1=0 A 2 x +B 2 y +C 2 z + D 2=0 74.Sirge sihivektor – nimetatakse sirge suvalise 2. Erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on ´s . Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingil sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t ´s = A´B , kus AB ⊂ s. 75.Normaalvektor- nimetatakse vektorit n´ =( A 1− A 2 ) sirge s : A 1 x + A 2 y + A3=0 76.Sirge parameetriline vektorvõrrand – Olgu X sirge s suvaline punkt. ⃗ Võrrandit s: AX = t s⃗ , t ∈ R
Projektsioonivektorit ja projektsiooni vaadeldakse tasandil E2 ja ruumis E3 . Olgu tasandil (ruumis) fikseeritud mingi sirge s (vt. joonist). Seejärel fikseerime sirge l (tasandi ), nõudes, et ta lõikab sirget s ja see- juures ainult ühes punktis. Iga punkti X korral sirgel l (tasandil ) tekib sirge s ja sirge l (tasandi ) lõikepunkt X . Definitsioon 13.19 Punkti X nimetame punkti X projektsiooniks sirgel s paralleelselt sirgega l (tasandiga ). Võtame nullvektorist erineva vektori a E2 (a E3 ). Fikseerime vabalt mingi punkti A E2 (A E3 ) (vt. joonist). Leidub selline punkt B E2 (B E3 ), et AB = a. Kuna vektor a ei ole nullvektor, siis punktid A ja B on erinevad. Tekkinud lõik AB määrab üheselt sellise sirge s, et AB s. Edasi fikseerime sirge l E2 (tasandi E3 ) nii, et l () lõikab sirget s ainult ühes punktis. Mistahes vektori x E2 (x E3 ) korral, lähtudes mingist punktist X E2 (X E3 ), saame leida sellise punkti
Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a·b nimetatakse nende vektorite pikkuste ning vektorivahelise nurga koosinuse korrutist. 6.11 Järeldusi skalaarkorrutiste definitsioonist · Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega · Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vastandarvuga · Vektorite ristseisu tunnus: kaks nullvektorist erinevat vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nende skalaarkorrutis on null, st · Vektori skalaarruut võrdub vektori pikkuse ruuduga, so 6.12 Vektorite skalaarkorrutiste omadusi · Skalaarkorrutis on kommutatiivne, st · Skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga (arvuga) korrutamise suhtes · Skalaarkorrutis on distributiivne vektorite liitmise suhtes, st 6.13 Skalaarkorrutiste avaldamine vektorite koordinaatide kaudu
A-1 = AT Ruutmaatriks A on ortogonaalmaatriks parajasti siis, kui tema reavektorid on omavahel risti ja pikkusega 1. Tõestus: A*AT = maatriks(11 .... 1n; ...; n1 ... nn) = E <=> ij = 1, kui i=j ja 0, kui ij => ||i|| = 1 i ja ij, kui ij Analoogiliselt tõestatakse teoreem veergude jaoks. 38. Omaväärtused ja omavektorid ning nende leidmine. = (V,P); R = (O; 1; ...; n); V; = xT Lineaarteisenduse L omavektoriks nimetatakse nullvektorist erinevat vektorit , mille jaoks leidub selline reaalarv tR nii, et L() = t, arvu t nimetatakse seejuures omavektorile vastavaks omavääruseks. Omavektorit omakorda omaväärtusele t vastavaks omavektoriks. L() = t; 0; tR Ax = tx = tEx => Ax - tEx = => (A-tE)x = - lineaarne homogeenne võrrandisüsteem maatrikskujul Omavektoriteks on süsteemi null-lahenditest erinevad lahendid. Süsteemis peab det(A - tE) = |A - tE| = 0, sest vastasel juhul leidub A(-E) -1 pöördmaatriks
Joonis: Vektorite liitmise definitsiooni kohaselt OX =OA +AX. Tähistame sirge s fikseeritud punkti A ning suvalise punkti X kohavektoreid edaspidi lühemalt: a :=OA, :=OX. Sirge sihivektor Sirge sihivektoriks nimetatakse sirge suvalise 2 erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on s. Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingi sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t. s = , kus AB s. Joonis: Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1,A2) nimetatakse sirge s : A1x1 + A2x2 + A3 = 0 normaalvektoriks. Koordinaattelg - Sirget, mis läbib reeperi alguspunkti O ja mille sihivektoriks on vektor e , nimetame koordinaatteljeks. Punkti O ja i ei poolt määratud koordinaattelge nimetame O e -teljeks ehk xi -teljeks. i
. . , n ) = o = (0, 0, . . . , 0) Siit j¨areldub, et 1 = 2 = · · · = n = 0 Tulemus u ¨tleb, et VS {e1 , e2 , . . . , en } on lineaarselt s~ oltumatu. VI. Vektorruumid 11 4.5 Vektorisu ¨ steem koosneb u ¨ hest vektorist Lause 11. VS, mis koosneb ainult nullvektorist, on lineaarselt s~ oltuv T~ oestus. T~oepoolest, siis leidub nullvektoriga v~ orduv mittetrivi- aalne LK: 1o = o. ¨ Lause 12. Uhest vektorist koosnev VS on lineaarselt s~ oltumatu parajasti siis, kui see vektor ei ole nullvektor. T~oestus. = : Olgu {v} lineaarselt s~ oltumatu. Siis v = o, sest {o} oleks lineaarselt s~oltuv, mis on vastuolus eeldusega.
r r u a b =a1 b1 +a2 b2 r r r r Näiteks: olgu a (3;-5) , b (1;2). a b = 3 1 + (-5) 2 = 3 10 = -7 Kahe vektori ristseisu tunnus r r r r r r a b =| a | | b | cos90° = | a | | b | 0 = 0 Kaks nullvektorist erinevat rvektorit r rristuvad r siis ja ainult siis, kui nende skalaarkorrutis on null, st. a b a b =0. r r r *) a a = a ² - vektori skalaarruut. r r r r r r r r r r a ² = a a = | a | | a | cos0° = | a | | a | 1 = | a |² a ² = | a |² Vektori skalaarruut võrdub vektori pikkuse ruuduga.
annaabi.ee 
