Kui üks vektoritest, näiteks a1 on nullvektor, siis süsteem a1 , , an on lineaarselt sõltuv, sest (1) kehtib juhul, kui võtta näiteks 1 1, 2 n 0 . Lause 1. Et vektorid oleksid lineaarselt sõltuvad, on tarvilik ja piisav, et vähemalt üks vektor avalduks lineaarse kombinatsioonina ülejäänutest. TASANDI VÕRRAND Olgu t suvaline tasand ruumis. Definitsioon. Tasapinna normaalvektoriks (normaaliks) nimetatakse iga tasandiga t risti olevat nullist erinevat vektorit. Kui on teada tasapinna mingi punkt M 0 x0 , y 0 , z 0 ja üks temaga ristiolev vektor n A, B, C , siis sellega on tasand täielikult määratud. Võtame suvalise punkti tasandil M x, y , z . Siis M 0 M n ja skalaarkorrutis on 0.
1. Kui rank(A) ≠ rank(B), siis LVSil ei ole lahendeid. 2. Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend. 3. Kui rank(A) = rank(B) < n, siis on LVSil lõpmata palju lahendeid. 8 Sirge sihivektor sirgel fikseeritakse üks punkt ja nullvektorist erineva vektori abil antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) Sirge asendid koordinaattelgede suhtes. Kui A2 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega. Kui A1 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega. 9
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm kordajateks, arve b1 , b2 ,..., bm aga süsteemi vabaliikmeteks. Arve c1 , c 2 ,..., c n , mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) laiendatud maatriksiks. 2. ...
Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on risti puutujatasandiga punktis P. Kui P(a; b; c) on võrrandiga F(x; y; z) = 0 esitatud pinna punkt ja funktsiooni F(x; y; z) kõik esimest järku osatuletised on pidevad punktis P(a; b; c) ning Puutujatasandi normaalvektor n on risti joone X puutuja sihivektoriga (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) kui skalaarkorrutis (n, (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) = n1x'(t0) + n2y'(t0) + n3z'(t0) = 0: Seega puutujatasandi normaalvektoriks sobib n = (Fx (P); Fy (P); Fz (P)) 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääklikme Lagrange kuju. Kahe muutuja funktsioonia z=f(x,y) jaoks, kusjuures 13. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. DEF: Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses U(A). Kui iga
koordinaadid rahuldavad seda võrrandit. Joone võrrandit F(x;y)=0 nim joone ilmutatud võrrandiks. Kui sellest võrrandist õnnestub tundmatu y avaldada x kaudu, nim seda ilmutatud jooneks. Kahe sirge vastastikused asendid Ühtivad sirged s=t Paralleelsed sirged s||t Lõikuvad sirged st={L} Kiivsirged s Nurk sirgete vahel Tasandi üldvõrrand Ax+By+Cz+D=0 Tundmatute x, y, z kordajad on tasandi normaalvektori koordinaadid. Tasandi normaalvektoriks nim iga vektorit, mis on risti tasandiga. Tasand on I järku algebraline pind. Kui tasandi võrrandis A=0, siis tasand on risti y-z tasandiga. Kui B=0, siis risti x-z tasandiga. Kui C=0, siis risti x-y tasandiga. Kui D=0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti. Kui A=B=0, siis tasand on paralleelne x-y tasandiga. Kui A=D=0, siis tasand läbib x-telge. Tasandi võrrand telglõikudes Punkti Po(xo; yo; zo) kaugus tasandist Ax+By+Cz+D=0 Kahe tasandi vastastikused asendid
ax + by + cz + d = 0 . (3) r r Kordajad a, b, c võrrandis (3) ei tohi võrduda samaaegselt nulliga ning nendest moodustatud vektor n = ( a; b; c) on risti selle tasandiga. Vektorit n nimetatakse vaadeldava tasandi normaalvektoriks. Üldiselt: r Def. 3. Vektorit n = ( a1 ; a2 ; ... ; an ) nimetatakse hüpertasandi (1) normaalvektoriks. uuur r Võrdusest (2) järeldub, et iga kahe punkti P ja Q korral hüpertasandil on vektor PQ risti hüpertasandi normaalvektoriga n.
Leiame nivoojoone puutuja võrrandi punktis P( x0 , y 0 ) . y - y 0 = y P ( x - x0 ) Leiame tuletise kui ilmutamata funktsiooni tuletise. Saame f y = - x f y Seega antud puutuja võrrand on f x P y - y0 = - ( x - x0 ) f y P Teisendades saame f ( x - x0 ) + f ( y - y 0 ) = 0 x P y P ? Sirge ax + by + c = 0 normaalvektoriks on n = { a, b} Nivoojoone puutuja normaalvektoriks on seega f f z z n= ; = ; = grad z P x P y P x P y P Järelikult grad z on risti puutujaga ja seega ka nivoopinnaga. 2) Vaatleme kolme muutuja funktsiooni oni u = f ( x, y, z ) ja selle nivoopinda f ( x, y , z ) = c . Võtame nivoopinna punkti P ja kõverjoone L, mis asub nivoopinnal ja läbib punkti P( x0 , y 0 , z 0 ) . Olgu joone L parameetrilised võrrandid x = u ( t )
Nurk kahe sirge vahel Nurk kahe sirge vahel on võrdne nurgaga nende sirgete sihivektorite vahel. Kui antud 2 sirget siis on vastavalt definitsioonile on nende vaheline nurk võrdne nurgaga sihivektorite s=(s1 s2 s3) ja r=(r1 r2 r3) vahel. =s1r1+..../ s1² + s2² + s... r1... Ristseisu tunnus ruumis s1r1+s2r2+s3r3=0 ja tasandil s1r1+s2r2=0. Sirgete paralleelsuse tunnus ruumis on s1/r1=s2/r2=s3/r3 ja tasandil s1/r1=s2/r2 Tasandi vektorvõrrand ja üldvõrrand Tasandi normaalvektoriks nim vektorit mis on risti tasandiga. Normaalvektorit tähistatakse harilikult n või n. Normaalvektorist üksi ei piisa tasandi määramiseks. Tuleb võtta veel üks tasand punkt M1. Tasandil tekib siis vektori M1M=r-r1. Et M1M on risti vektoriga n siis nende skalaaekorrutis on null, st n(r-r1)=0 so tasandi vektorvõrrand. Ax+By+Cz+D= 0 tasandi üldvõrrand. Ristseis ja paralleelsus Nurk kahe tasandi vahel on võrdne nurgaga nende tasandite normaalvektorite vahel. Tasandite
edaspidi lühemalt: a :=OA, :=OX. Sirge sihivektor Sirge sihivektoriks nimetatakse sirge suvalise 2 erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on s. Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingi sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t. s = , kus AB s. Joonis: Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1,A2) nimetatakse sirge s : A1x1 + A2x2 + A3 = 0 normaalvektoriks. Koordinaattelg - Sirget, mis läbib reeperi alguspunkti O ja mille sihivektoriks on vektor e , nimetame koordinaatteljeks. Punkti O ja i ei poolt määratud koordinaattelge nimetame O e -teljeks ehk xi -teljeks. i Sirge parameetriline vektorvõrrand - Sirge s võrrandit kujul s :AX = ts, t R nimetame sirge s parameetriliseks vektorvõrrandiks. Suurust t selles võrrandis nimetame parameetriks
Dxi = 0 * x1 + 0 * x2 + . . . + 0 * xi-1 + 1 * x1 + 0 * xi+1 + . . . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. · Kui tasand on antud võrrandiga C1x+C2y+C3z+C4=0, siis temaga ristuva vektori koordinaadid on C1, C2, C3 ning temaga ristuva ja punkti (x1, y1, z1) läbiva sirge kanoonilised võrrandid on
Dxi = 0 * x1 + 0 * x2 + . . . + 0 * xi-1 + 1 * x1 + 0 * xi+1 + . . . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. · Kui tasand on antud võrrandiga C1x+C2y+C3z+C4=0, siis temaga ristuva vektori koordinaadid on C1, C2, C3 ning temaga ristuva ja punkti (x1, y1, z1) läbiva sirge kanoonilised võrrandid on
üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Kui sirge s on määratud punktidega A(x1 ; y1 ) ja B(x2 ; y2 ), siis selle sirge sihivektoriks on iga (nullvektorist erinev) vektor s, mis on samasihiline (kollineaarne) vektoriga AB Vektorit, mis on risti vaadeldava sirge sihivektoriga, nimetatakse selle sirge normaalvektoriks Sirge tõus sirge tõusunurga tangens. k = tan (sirge tõusu saab leida vaid x-teljega mitteristuvate sirgete korral, st tan väärtus puudub 90° juures). Sirge tõusunurgaks nimetataksse nurka x-telje positiivse suuna ja sirge vahel (mõõdetakse vastu kellaosuti liikumissuunda). Sirge tõusunurga suurus on alati 0° ja 180° vahel. Kanooniline võrrand on sirge võrrand, mis on määratud sihivektori ja punktiga.
(1) Definitsioon. Võrrandit (1) nimetakse sirge üldvõrrandiks. 0; 0, siis võrrandis (1) ei ole a,b samaaegselt nullid. Kuna 0 Tähistame ; ja leiame tema skalaarkorrutise sirge sihivektoriga : · ; · ; ; · ; 0. Seega vektorid n ja on risti ning järelikult vektor on risti sirgega . Definitsioon. Mis tahes nullvekotirst erinevat vektorit , mis on risti sirgega nimetatakse sirge normaalvektoriks. Leiame nüüd mingi punkti kaugust sirgeni. Definitsioon. Punkti kauguseks sirgeni nimetakse sellest punktist sirgeni tõmmatud ristlõigu pikkust. Olgu ; punkt kahemõõtmelises ruumis, leiame punkti kaugus sirgest . Punkti M kaugust sirgeni tähistame d(M, ) abil. Seega vastavalt definitsioonile d(M, )= .
(6.25). Sellega on u ¨laltoodud v¨aide t~oestatud. 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. Tasandit, mille v~orrandiks on (6.32), nimetatakse pinna z = f (x, y) puutu- jatasandiks punktis B = (a, b, f (a, b)). z = f (a, b) + fx (a, b)(x - a) + fy (a, b)(y - b) . (6.32) Pinna z = f (x, y) normaalvektoriks punktis B nimetatakse vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. Pinna z = f (x, y) normaalsirgeks punk- tis B nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. Puutujatasandi T v~orrand on (6.32). Viies selles v~orrandis muutuja z paremale poole ja avades sulud saame fx (a, b)x + fy (a, b)y - z + f (a, b) - fx (a, b)a - fy (a, b)b = 0 . Siit n¨aeme, et puutujatasandi v~orrand on esitatav kujul C1 x+C2 y +C3 z +C4 = 0, kus
AX = (x - a1 , y - a2 , z - a3 ). Kuna n on risti tasandiga , siis nAX ja skalaarkorrutise omadusest saame 0 = n, AX = A(x - a1 ) + B(y - a2 ) + C(z - a3 ). Tähistame siin D := -(Aa1 + Ba2 + Ca3 ). Definitsioon 14.5 Võrrandit : Ax + By + Cz + D = 0 (14.4) nimetatakse tasandi üldvõrrandiks ning nullvektorist erinevat vek- torit n = (A, B, C) nimetatakse tasandi normaalvektoriks. Märkus 14.1 Tasandi üldvõrrandi võib vektorkujul esitada kui : n, AX = 0, (14.5) kus n on tasandi normaalvektor ja AX on vektor tasandi peal. Märkus 14.2 Tasandi üldvõrrandist saame järeldada järgmisi omadusi: 1. Kui D = 0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti O(0, 0, 0). 2. Kui A = 0, siis tasand on paralleelne x-teljega (kuna (0,B,C), (1,0,0) = 0). 3
annaabi.ee 
