SIRGE JA TASANDI PARALLEELSUSE TUNNUS - Kui sirge s, mis ei asetse tasandil a(alfa) on paralleelne mingi sellel tasandil oleva sirgega t, siis sirge on parallelne tasandiga. SIRGET NIM TASANIGA LÕIKUVAKS SIRGEKS - kui sirgel ja tasandil on 1 ühine punkt. SIRGE ASETSEB TASANDIL - kui neil on enam kui üks ühine punkt. SIRGE ON TASANDIGA RISTI - kui sirge on risti kahe lõikuva sirgega tasandil. TASANDI RISTSIRGE - nim tasandi normaaliks. SIRGE JA TASANDI RISTSEISUTUNNUS - Kui sirge on risti kahe lõikuva sirgega tasanil, siis on see sirge risti ka tasandiga PUNTKI P PROJEKTSIOONI TASANDIL - nim seda punkti läbiva tasandi lõikepunkti. PUNKTI KAUGUSEKS TASANDIST - nim punkti ja tema projektsiooni vahelist kaugust. TASANDIGA PARALLEELSE SIRGE KAUGUSEKS TASANDIST - loetakse selle sirge mistahes punkti kaugust tasandist. LÕIGUPROJEKTSIOON TASANDIL - on selle lõigu otspunktide projektsioonidega määratud lõik.
risti oleva pinna pindalaühikule. Intensiivsuse tähis on I ja mõõtühik vatt ruutmeetri kohta. For each survey point the scanner records three coordinates and also the intensity of the backscatter laser signal i.e. the power of the received signal (generally 28 i.e. 0 to 255) 12. What is the angle of incidence? Geomeetrilises optikas on langemisnurk nurk pinnale langeva kiiruse ja kokkupuutepunktiga pinnaga risti oleva joone vahel, mida nimetatakse normaaliks. Kiire võib moodustada mis tahes laine abil: optiline, akustiline, mikrolaine, röntgenikiirgus ja nii edasi 13. Name the general sources of uncertainty in laser scanning? Mõõtja (geodeesialased teadmised, sellega kokkupuude); Mõõtmisvahend (metroloogilised omadused, DIN ja ISO standardid, ideaalsel juhul lähtuvalt töö iseloomust); Mõõdetav objekt ja selle iseloom (nt pindade valguse
F x F y ( x, y ) = - ( x, y ) = - x F y F ( P) ( P) z , z Tasandit z=kx+ly+m, kus k,l,m R, nim pinna z=f(x,y) puutujatasandiks punktis P(a,b,c), kui c=f(a,b)=ka+lb+m ja vahe r(x,y)=f(x,y)-kx-ly-m on vektori (x-a;y-b) pikkuse suhtes kõrgemat järku lõpmata võike suures piirprotsessis (x,y)(a,b) Pinna z=f(x,y) normaaliks punktis P(a,b,c) nim sirget, mis läbib punkti P ja on paralleelne vektoriga (f/x(a,b), f/y(a,b),-1) Taylori valem: funkts z=f(x,y) nim n korda diferentseeruvaks punktis P(x,y), kui selle funktsiooni kõik n-1 järku osatuletised on diferentseeruvad punktis P Kui funkts f(x,y) on n+1 korda diferentseeruv punktis P(x,y), siis kehtib n-järku Taylori valem n 1 f ( x + x, y + y ) = ( x + y ) k f ( x, y ) + Rn ( x, y )
Kui üks vektoritest, näiteks a1 on nullvektor, siis süsteem a1 , , an on lineaarselt sõltuv, sest (1) kehtib juhul, kui võtta näiteks 1 1, 2 n 0 . Lause 1. Et vektorid oleksid lineaarselt sõltuvad, on tarvilik ja piisav, et vähemalt üks vektor avalduks lineaarse kombinatsioonina ülejäänutest. TASANDI VÕRRAND Olgu t suvaline tasand ruumis. Definitsioon. Tasapinna normaalvektoriks (normaaliks) nimetatakse iga tasandiga t risti olevat nullist erinevat vektorit. Kui on teada tasapinna mingi punkt M 0 x0 , y 0 , z 0 ja üks temaga ristiolev vektor n A, B, C , siis sellega on tasand täielikult määratud. Võtame suvalise punkti tasandil M x, y , z . Siis M 0 M n ja skalaarkorrutis on 0. M 0 M x x0 , y y0 , z z0
DEF: Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetatakse n- mõõtmelist vektorit, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised grad f =(f x , f y , f z) , ∇ f =grad f OMADUSED: Funktsiooni tuletis on maksimaalne gradiendi suunas ja võrdub gradiendi pikkusega ∥ grad f ∥=√ f 2x +f 2y + f 2z . Gradient on funktisooni nivoopinna normaaliks(risti nivoopinnaga) ja iseloomustab funktsiooni kiirema muutumise sihti. 14.Tuletis suvalise ühikvektori suunas(tähistus, leidmine) f ( x 0 +ah ; y 0 +hb )−f ( x 0 , y 0 ) Du f ( x 0 , y 0 ) =lim Osatuletuis punktis h→ 0 h x0,y0 ühikvektori u=a,b suunas. 15.Kahekordse integraali omadused
Kui me teame joone puutuja puutepunkti koordinaate, siis saame leida selle joone tõusu. Puutuja tõus k = tan on võrdne funktsiooni y tuletisega argumendi väärtusel x0 . k = y x = x = f ( x0 ) . Teades puutepunkti koordinaate ja puutuja tõusu, 0 leiame puutuja võrrandi, kasutades selleks sirge võrrandit läbi antud punkti antud tõusuga: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ehk y - y0 = f ( x0 )( x - x0 ) . Normaaliks punktis M0 nimetatakse sirget, mis läbib punkti M0 ja on risti puutujaga. Leiame normaali tõusu. Et joone normaal on puutujaga risti, siis sirgete ristseisu tunnuse põhjal 1 1 1 (k1*k2=-1) on tema tõus k 2 = - = - ja normaali võrrand on y - y0 = - ( x - x0 ) k1 f ( x0 ) f ( x0 )
l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale. = | gradw | cos , (l0 gradw) l` Iseloomustab: funktsiooni muutumise kiirust määramispiirkonna punkti P liikumisel vektori l0 suunas. Märkus: Gradientvektor on funktsiooni nivoopinna normaaliks ja iseloomustab funktsiooni kiireima muutumise sihti. Definitsioonide kohaselt funktsiooni väärtus ei muutu nivoopinna w` puutuja t0 suunas: =0 t` Gradient: funktsiooni w = f (P ) gradient on n-mõõtmeline vektor, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised: grad w = ( w1 , w2 ,..., wn ) Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum Ekstreemumpunkt: Ekstreemumpunktiks on funktsiooni w = f (P ) määramispiirkonna sisepunkt
tekkimist ja mikropragude arenemist betoonis. Selleks, et need praod ei viiks konstruktsiooni kestvuse vähenemisele, tuleks ette näha survetsooni tugevdavad abinõud (nagu armatuuri kaitsekihi suurendamine survetsoonis või survetsooni ümbritseva põikiarmatuuri kasutamine) või piirata survepinge suurust. 27. Betooni arvutuslikud pinge-deformatsioonidiagrammid (p 2.1). Diagrammid käivad normaallõike kohta (lõige, mis on elemendi peateljega risti, st. normaaliks peatelg) Painutatud, surutud või tõmmatud raudbetoonelemendi tugevusarvutusel lähtutakse betooni ja terase pingete - ja suhteliste deformatsioonide - arvutuslikust seosest. Betooni arvutuslik pingedeformatsioonidiagramm võtab arvesse osavarutegurit 1,5. Kasutatakse paraboolset ja bilineaarset graafikut 28. Armatuuri arvutuslikud pinge-deformatsioonidiagrammid (p 2.1). Armatuur Tugevuskontrollil võib kasutada joonisel 2.4 esitatud kahest sirglõigust koosnevat armatuurterase
y = b x = a Kuna need puutujad asuvad samuti puutujatasandil, siis võttes puutujatasandi võrrandis y = b , saame esimese puutujavõrrandi abil k = f x (a, b ) ning võttes puutujatasandi võrrandis x = a , saame teise puutujavõrrandi abil vastavalt l = f y (a, b ) . Seega on punktis A = (a, b, c ) c = f (a, b ) pinna z = f ( x, y ) puutujatasandi võrrand (z - c ) = f x (a, b )( x - a ) + f y (a, b )( y - b ) . Def. Pinna z = f ( x, y ) normaaliks punktis A = (a, b ) nimetatakse punktis A = (a, b, f (a, b )) võetud puutujatasandi normaali. Puutujatasandi võrrandist saame normaali (normaalivektori) n = (- f x ( A),- f y ( A),1) . r x-a y -b z-c Normaali kui sirge võrrand on seega = = . - f x (a, b ) - f y (a, b ) 1
on asendades , saame ehk parabooli puutuja võrrand punktis P(x0; y0) on: Omadus 3. Parabooli mis tahes punkti P( korral lõigu PF ja punktis P võetud puutuja v vaheline nurk võrdub selle puutuja ja punktist P lähtuva ning x-teljega paralleelse kiire w vahelise nurgaga. Tõestus: Olgu valitud punkt P(x0; y0) paraboolil. Kuna punkt P(x0; y0) asub paraboolil, siis . Selles punktis on puutujaks Seega puutuja normaaliks (so puutujaga risti olevaks vektoriks) on = , x-telje sihilise kiire suunavektoriks on = (1; 0), vektori koordinaadid on . Näitame, et nurk vektorite ja vahel võrdub nurgaga ja vahel. Selleks piisab, kui näidata, et )= ). Leiame millest saamegi vajaliku võrduse.
Punktile P 0 x 0 , y 0 D vastav punkt pinnal olgu Q 0 x 0 , y 0 , z 0 . Siis pinnal z f x, y on olemas punktis Q 0 z-teljega mitteparalleelne puutujatasand parajasti siis, kui funktsioon on diferentseeruv punktis P 0 ja puutujatasandi võrrand on f x x 0 , y 0 x f y x 0 , y 0 y z d 0. Arvu d leiame tingimusest, et punkt Q 0 x 0 , y 0 , z 0 kuulub puutujatasandile. Punktis Q 0 x 0 , y 0 , z 0 puutujatasandiga ristiolevat vektorit n nimetatakse pinna normaaliks punktis Q 0 . Näide 10. Leida puutujatasand ja normaal pinnale z xy x y punktis Q 0 1, 1, 3 . Leiame osatuletised z x y 1, z y x 1; z x 1, 1 2, z y 1, 1 2 Seega puutujatasand punktis Q 0 2x 2y z d 0 2 1 2 1 3 d 0 d 1 2x 2y z 1 0 Normaal on siis n 2, 2, 1 . 1.2 Määratud integraal ja selle rakendusi
Joone y = f (x) tuletis f (x0 ) on selle joone puutuja tõus punktis (x0 , f (x0 )) ja puutuja võrrand avaldub järgmiselt: y = f (x0 ) + f (x0 ) · (x - x0 ). (5.9) 55 PEATÜKK 5. FUNKTSIOONI TULETIS JA DIFERENTSIAAL Definitsioon 5.10 Joone y = f (x) normaaliks (ehk ristsirgeks) punktis (x0 , f (x0 )) ni- metatakse sirget, mis ristub seda sama punkti läbiva puutujaga. Joonis: http://www.intmath.com/applications-differentiation/1-tangent-normal.php Kuna puutuja tõus on f (x0 ) ning on teada, et ristuvate sirgete tõusude 1 korrutis võrdub (-1)-ga, siis normaali tõus on = - f (x0 ) , f (x0 ) = 0. Joone y = f (x) normaali võrrand avaldub järgmiselt:
armatuuri kaitsekihi suurendamine survetsoonis või survetsooni ümbritseva põikiarmatuuri kasutamine) või piirata survepinge suurust. Raudbetoonkonstruktsioonide üldkursus 32 2 Normaallõike tugevusarvutuse alused 2.1 Arvutuslikud pinge-deformatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o. lõige mille normaaliks on pikitelg sealt ka nimetus). Painutatud, surutud või tõmmatud raudbetoonelemendi tugevusarvutusel lähtutakse betooni ja terase pingete ja suhteliste deformatsioonide arvutuslikust seosest. Betoon Jaotise 1.5.3 joonisel 1.3 toodud betooni diagramm asendatakse joonisel 2.1 antud parabool-lineaarse või joonisel 2.2 toodud bilineaarse idealiseeritud pinge-deformatsiooni- diagrammiga. Mõlemal juhul saadakse arvutuslik pingediagramm idealiseeritud diagrammist
L¨ahtume tuntud faktist, et kui sirge l¨abib punkti P0 (x0 ; y0 ) ja sirge t~ous on k, siis sirge v~orrand on y - y0 = k(x - x0 ). Funktsiooni y = f (x) graafiku punkti, mille abstsiss on x0 , ordinaadiks on f (x0 ). Puutuja t~ous selles punktis on f (x0 ). Seega on puutuja v~orrandiks y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ). (2.10) Definitsioon. Joone normaalsirgeks ehk normaaliks antud punktis ni- metatakse joone selles punktis t~ommatud puutuja ristsirget. Kui kaks sirget on risti, siis teise sirge t~ous k2 avaldub esimese sirge t~ousu 1 1 k1 kaudu k2 = - . J¨arelikult on normaali t~ousuks - ja normaalsirge k1 f (x0 ) v~orrandiks 1
gune teadvuse seisund. Säärast psüühika ,,olekut" või ,,seisundit" ei ole mitte keegi varem kogenud. Seepärast on selle olemust ka paljudel raske ettekujutada. Tegemist on millegi täiesti uue ja teistsugusega võrreldes inimese tavapärase teadvuse ja emotsionaalse seisundiga. See, kuidas me igapäevaselt maailma teadvustame, on tegelikult samuti teadvuse seisund. Seda nimetame me siin nö. teadvuse normaalseisundiks ehk lihtsalt teadvuse normaaliks. Seda omavad inimesed igapäevaselt ja kõikjal, kuhu nad ka iganes liiguvad. Kuid selline teadvuse seisund, mis tekib kõikide Unisoofias kirjeldatud tajuefektide baasil, nimetatakse teadvuse supernormaalseisun- diks ehk lihtsalt ja lühidalt teadvuse supernormaaliks. Sellise teadvuse tasandile eelneb tavatead- vuse seisund ( teadvuse tasand ) ehk teadvuse normaal, mida omavad inimesed igapäevaselt. Tead-
gune teadvuse seisund. Säärast psüühika ,,olekut" või ,,seisundit" ei ole mitte keegi varem kogenud. Seepärast on selle olemust ka paljudel raske ettekujutada. Tegemist on millegi täiesti uue ja teistsugusega võrreldes inimese tavapärase teadvuse ja emotsionaalse seisundiga. See, kuidas me igapäevaselt maailma teadvustame, on tegelikult samuti teadvuse seisund. Seda nimetame me siin nö. teadvuse normaalseisundiks ehk lihtsalt teadvuse normaaliks. Seda omavad inimesed igapäevaselt ja kõikjal, kuhu nad ka iganes liiguvad. Kuid selline teadvuse seisund, mis tekib kõikide Unisoofias kirjeldatud tajuefektide baasil, nimetatakse teadvuse supernormaalseisun- diks ehk lihtsalt ja lühidalt teadvuse supernormaaliks. Sellise teadvuse tasandile eelneb tavatead- vuse seisund ( teadvuse tasand ) ehk teadvuse normaal, mida omavad inimesed igapäevaselt. Tead-
Säärast psüühika „olekut“ või „seisundit“ ei ole mitte keegi varem kogenud. Seepärast on selle olemust ka paljudel raske ettekujutada. Tegemist on millegi täiesti uue ja 52 teistsugusega võrreldes inimese tavapärase teadvuse ja emotsionaalse seisundiga. See, kuidas me igapäevaselt maailma teadvustame, on tegelikult samuti teadvuse seisund. Seda nimetame me siin nö. teadvuse normaalseisundiks ehk lihtsalt teadvuse normaaliks. Seda omavad inimesed igapäevaselt ja kõikjal, kuhu nad ka iganes liiguvad. Kuid selline teadvuse seisund, mis tekib kõikide Unisoofias kirjeldatud tajuefektide baasil, nimetatakse teadvuse supernormaalseisun- diks ehk lihtsalt ja lühidalt teadvuse supernormaaliks. Sellise teadvuse tasandile eelneb tavatead- vuse seisund ( teadvuse tasand ) ehk teadvuse normaal, mida omavad inimesed igapäevaselt. Tead-
annaabi.ee 
