õpperuumi põrand. Geodeetiline kõrgus h on selle punkti kaugus referentsellipsoidi pinnast mööda normaali (vertikaalne sirge). 1992.aastast on kasutusel rahvusvaheline ellisoid GRS-80 (Geodetic Reference System), mille suhtes on määratud riigi geodeetilise põhivõrgu punktide geodeetilised kõrgused GPS mõõtmistega (Global Positioning System). 4 Koostanud: Ene Ilves O Punkti O nivoopind H OSuht ho punkti O geodeetiline kõrgus H PSuht H O punkti O absoluutne kõrgus Punkti P nivoopind P HO H H OSuht punkti O suhteline kõrgus
ruumis lõikuvad. 26. Skitseerige kahe kiivsirge (a ja b) kaksvaade (lahendada varjumine). 27. Nimetage kõik tasapinna määramisvõimalused. -Punkt ja sirge, mis ei läbi seda punkti -3punktiga, mis ei asetse ühel sirgel -kaks lõikuvat või paralleelset sirget 28. Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks (eriasendiliseks)? -Mis on kaldu kõikide ekraanide suhtes -projekteeriv tasand, mis on risti mingiu ekraaniga(profiilpind,nivoopind)või ekraanidega (erijuht-nivoopind-tasand, mis on paralleelne ühe ekraaniga ja teiste kahega risti) 29. Mis on tasapinna jälgjoon? Sirge, mida mööda tasand ekraaniga lõikub 30. Sõnastage sirge ja tasapinna lõikepunkti leidmise käik. 31. Nimetage põhilised lisaprojektsioonide saamise võtted. -Lisaekraani võte- muudetakse ekraani ja vastavate kiirte asendit paigale jääva objekti suhtes -Uute kujutamiskiirte võte- objekti ja ekraani vastastikune asend jäetakse muutmata,
Kompassi abil määratakse põhja-lõuna suund ja kaardilehe X-telg keeratakse antud punktis selles suunas. Kõrgussüsteemid Maastikupunktide kõrgusarvude määramisel eristatakse: • absoluutset kõrgust ehk kõrgust geoidist mööda loodjoont • geodeetilist kõrgust ehk kõrgust ellipsoidist mööda normaali • suhtelist kõrgust ehk kõrguskasvu Absoluutne kõrgus H määratakse mere või ookeani keskmisest pinnast, mida nimetatakse nullnivoopinnaks. Nivoopind on rahulikus olekus vedeliku pind, mis on igas punktis risti loodjoonega. Seega absoluutsed kõrgused määratakse geoidil. Nullnivoopind määratakse paljude aastate vaatluste põhjal veemõõdulati ehk mareograafi andmetel. Aastast 1946 arvestatakse Eestis absoluutset kõrgust Kroonilinna nullist, mis on määratud Läänemere keskmise nivoopinna alusel aastatel 1825-1840. Käesoleval ajal on meil kasutusel nn Balti kõrguste süsteem – BK77. Absoluutkõrgused
kolmemõõtmelises ruumis R3. Näiteks ring raadiusega 3 2. Nivoopinna mõiste( definitsioon, näited ja omadused) DEF: Määramispiirkonna nende punktide (x,y) hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on konstantne, nimetatakse selle funktsiooni nivoopinnaks võrrandiga f(x,y)=k, kus k on konstant OMADUSED: Määramispiirkonna iga punkti läbib üks nivoopind(näiteks isoterm, isobaar) Nivoopinnad ei lõiku NÄITED: Topograafilised kaardid Õhuruumi jooned Maa magnetvälja tugevused Temperatuuri jooned Elliptilised paraboloidid 3. Kolme muutuja funktsioon(definitsioon, näited, graafiku definitsioon) DEF: Kolme muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvukolmikule (x,y,z) ∈ D vastavusse ühese reaalarvu w=f(x,y,z)
Absoluutne kõrgus- kõrgus, mis on mõõdetud läänemere pinnast, eestis kõige kõrgem suur munamägi 316,2m Geodeetiline kõrgus- punkti kaugus ellipsoidist mööda normaali, selle järgi on tehtud ka gps süsteemid ehk selle järgi tehtud kõik geodeetilised kõrgused. Suhteline kõrgus- suhteline kõrgus nivoopinnast, mõõdetud mööda loodijoont. Kõrgust mõõdetakse meetrites. Geoid- nivoopind tervikuna, mis moodustab maakuju, kuid on ebaühtlane Ellipsoid- samamoodi moodustab maakuju, kuid asuba madalamal kui geoid.
teatud viisil orienteeritud. Geoidi ja ellipsoidi pindade kõrgusvahede ruutude summa minimaalsuse nõue kehtib referentsellipsoidi puhul vaid piiratud ala (riik, manner jms) kohta. Referentsellipsoidi pind on abipinnaks sellel alal geodeetiliste mõõtmisandmete töötlemisel. 3. Mis on nullnivoopind, loodjoon, normaal? Nullnivoopind- on merede ja ookeanide keskmine veepinna tase, mis on mõtteliselt laiendatud maismaa alla. Nivoopindu on palju. Nivoopind on täpsemalt Maa raskusjõuvälja ekvipotentsiaalpind ja nivoopind on igas punktis risti läbi selle punkti tõmmatud loodjoonega. Loodjoon Gravitatsioonijõud ja tsentrifugaaljõud ning nende liitumisel tekkiv uus jõuvektor, mis asetseb risti kujuneva Maa pinnaga. Normaal- Pinna normaal mingis selle pinna punktis on pinna puutujatasandiga selles punktis ristuv sirge. 4. Mis on punkti geograafilised koordinaadid; nende määramine?
Riikliku I, II, III klassi nivelleerimise eesmärk on riigi ühtse kõrgusvõrgu loomine. Insener-tehniline-tehakse projekteerimisele eelnevaid uurimistöid või tehakse kõrguslike märkimistöid ehitusel. 7. Kõrgusmärgid. Absoluutsed kõrgused määratakse nullnivoopinnast, mis on määratud paljude aastate vaatluste põhjal veemõdulatti või mareograavi näitude alusel. Eestis absoluutse kõrgse aluseks on Kroonlinna veemõõdulatti nulli läbiv nivoopind – 1977a Balti kõrguste süsteem. Kõrgusmärgid – geomeetrilised märgid milledele on määratud kõrgused geomeetrilise nivelleerimisega. Reeper, seinamärk. Kõrgusmärgid moodustavad riikliku kõrgustiku põhivõrgu ja neid punkte kasutatakse lähtepunktidega muude kõrguste määramiseks. Reepreid paigaldatakse ehitiste vundamenti, nn seinareeprid või pinnasesse (pinnasereeper, fundamentaalreeper, põhjareeper)
Geodeetiline kõrgus määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Mis on geoidi undulatsioon ja geoidi mudel? Geoidi undulatsioon ehk geoidi kõrgus. Geoidi mudel on mudel, mis arvutab geoidi pindala etteantud alal, toetudes referentsüsteemidele. Mis teadus on geodeesia? Geodeesia on teadus, mis käsitleb Maa kuju mõõtmete ja raskusjõuvälja määramist ning tegeleb Maa pinnaosade kuju ja suuruse mõõtmisega ja nende mõõtkavalise kujutamisega tasandil. Mis on nivoopind? On gravitatsioonilises tasakaalus olev samapotentsiaal. Mis on ellipsoid? Ellipsoidi telgede abil määratakse geodeetiline koordinaatsüsteem, mis võimaldab määrata suvalise punkti asukoha ellipsoidi pinnal. Mis on geoid? Geoid on keha, mille pinnaks on merede ja ookeanide rahulikus olekus pind, mida on mõtteliselt laiendatud mandrite alla ning mille raskuskiirenduse väärtused on kõikides punktides ühesugused. Geoidil on kaks tunnust: *Geoid on igal pool kumer. *Loodi
sioonid F ja 1 , 2 , . . . , n liitfunktsiooni z f (P ) valemiga f (P ) = F 1 (P ), 2 (P ), . . . , n (P ) . 7) Kolmemuutuja funktsiooni nivoopinnad. Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned. Olgu u = f (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme f m¨ a¨aramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral f (x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks. Nivoopind s~oltub etteantud konstandist C. See t¨ahendab et konstandi C muutmisega muutub ka nivoopind. J¨argmiseks olgu z = f (x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C j¨ allegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral f (x, y) = C. Need punktid moodustavad joone piirkonnas D. Seda joont nimetatakse funktsiooni f nivoojooneks. Nivoojoon s~oltub samuti konstandist C. Funktsiooni z = f (x, y) nivoojoon f (x, y) = C on kujutatud joonisel 6.2. Ta
f ( 0 ) f ( 0 ) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0) + x+ x ++ x 1! 2! n! Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond- Argumentide väärtuspaaride hulk, mille korral funktsioon on määratud. Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas (arvutatav), siis öeldakse, et z = f(x;y) on määratud punktis (x0;y0). Nivoojoon (nivoopind)- Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetame punktihulka, mis rahuldab nivoojoone võrrandit z=C. Enamikel funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Kui meil on kahe muutuja funktsioon, siis saame nivoojoone, kui muutujaid on 3 või enam , siis on tegemist nivoopinnaga. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni z=f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi f ( x + x; y ) - f ( x; y ) ' z
40. Kas kahe paralleelse sirge paralleelprojektsioonid võivad olla lõikuvad? ei 41. Nimetage kõik tasapinna määramisvõimalused. punkt ja sirge, mis ei läbi seda punkti. 3 punktiga,mis ei asetse ühel sirgel. kaks lõikuvat või paralleelset sirget. 42. Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks (eriasendiliseks)? mis on kaldu kõikide ekraanide suhtes. projekteeriv tasand, mis on risti mingi ekraaniga (profiilpind, nivoopind, frontaalpind) või ekraanidega (erijuht nivoopindtasand, mis on paralleelne ühe ekraaniga ja teiste kahega risti). 43. Mis on tasapinna jälgjoon? sirge mida mööda tasand ekraaniga lõikub. (üldasendilisel tasandil on 3 lõikesirgetpõhiesi ja külgjälg. Järgjooned lõikuvad paarikaupa telgpunktides.) 44. Joonestada lõik AB, mis asub tasapinnal (p; e). 45. Joonestada kolmnurk ABC, mille tasapind on risti põhiekraaniga (esiekraaniga). 46
1! 2! n! . Seda valemit nimetatakse Mclaurini valemiks. Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas, siis öedakse, et z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral funktsioon on määratud nimetakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Nivoojoon(Nivoopind) Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetakse punktihulka, mis rahuldab võrranditx=C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju nivoojooni.3 muutuja funktsiooni puhul muutub nivoojoon nivoopinnaks. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus Def: Funktsiooni z = f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi nimetatakse piirväärtust f ( x + x; y ) - f ( x; y ) lim x 0 x z
Potentsiaalse energia tasemepinnad. *Potentsiaalne energia - DEF: Tingimust Fxdx+Fydy+Fzdz=-dU(x,y,z) täitvat funktsiooni U nimetatakse potentsiaalseks energiaks. F-n U näitab seda töö varu, siis nimetamegi seda potentsiaalseks energiaks - energiaks, mis on kehal oma asendi tõttu jõuväljas, asendist tingitud võimeks teha tööd. *Potentsiaalse energia tasapind - DEF: Sellsit pinda, kus 3 muutuja funktsioonid U(x,y,z)= const., nimetatakse potentsiaalse energia tasapinnaks (nivoopind, ekvipotentsiaalpind) 38. Kineetiline energia. Kineetilise energia muutumise teoreem (energiateoreem). * DEF: suurust T=1/2*mv2 nimetame kineetiliseks energiaks *Teoreem: Masspunkti kineetilise energia muutus võrdub sellele punktile rakendatud jõu tööga. 39. Mehaanikaline energia. Mehaanikalise energia jäävuse seadus (Teoreem: konservatiivsete jõudude mõju all oleva masspunktide süsteemi mehaanikaline energia on konstantne.)
muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn Def: nivoopinnad on MP-a niisuguste punktide hulk, kus funktsiooni väärtus on konstantne. f(P)=const. Lause1. nivoojoonad ei lõiku, aga iga punkti läbib kindlasti nivoopind. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Def: PKA lim K x Kii = i ; P(xki), A(ai), i=1,...,n Def: arv on funktsiooni f(P) piirväärtuseks protsessis, kus PKA, sel korral kui vastavalt igale epsiloni väärtusele leidub delta epsilon, et funktsiooni |f(P) | on väiksem kui delta epsilon, niipea kui punktide,|PK A| < epsilonist, vaheline kaugus on väiksem kui epsilon. lim K f ( PK ) = Kordne piirväärtus!
nivootasapinnast lähtudes. Täpsus sõltub vahemaast, kasutatud vedeliku viskoossusest, lugemite võtmise meetodist/seadmest. Nii näiteks kuni 500 meetrise vahemaa puhul on realistlik 1 cm täpsuse saavutamine. 5) GPS-niveleerimine Kõrgus maaellipsoidi (mitte merepinna!) suhtes saadakse paari sentimeetri täpsusega. Kasutatakse GPS ja geoidi mudelit koos. 47. Kõrguslike nivoopindade omadus. Iga ruumipunkti läbib ainult üks nivoopind nivoojooned ei ristu seotud potentsiaaliga 48. Geomeetriline nivelleerimine keskelt ja otsast Kahe punkti vahelist kõrguskasvu võib mõõta nivelliiri ja lati abil kahel viisil: otsast ja keskelt. 1) Otsast nivelleerimine Otsast nivelleerimisel asetatakse ühte antud punkti paigaldatud statiivile nivelliir, teise punkti aga vertikaalne latt. Kui pikksilm on seatud viseerimiskiire horisontaalasendisse, tuleb viseerida latile ja niitristiku keskmise niidi järgi võtta lugem e
annaabi.ee 
