Positiivsete arvude jagatise aritmeetiline ruutjuur võrdub nende · c a = c2 a arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Eelmise reegli vastupidine variant: teguri viimine juuremärgi alla: · ( a )2 = a Näiteks: 3 7 = 9 7 = 9 7 = 63 Mittenegatiivse arvu ruutjuure ruutu tõstmisel saame tulemuseks 5 3 = 25 3 = 25 3 = 75 esialgse mittenegatiivse arvu. Kasutatakse seost a = a 2 · b2 a = b a Teguri toomine juuremärgi alt välja. Põhineb esimesel seosel. NB
Vektorite kollineaarsus = 1 x2 y2 Vektori pikkus a = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Vektorite skalaarkorrutis a b = x1 x2 + y1 y2 a b Nurk vektorite vahel = arccos a b Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x, mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, 1 kasutades selleks klahvi cos . Siin tuleb olla väga tähelepanelik, et arvuti oleks reguleeritud kraadi- või radiaansüsteenile (sõltuvalt sellest, missugust tulemust ne saada tahame). Samad arvutusreeglid kehtivad liitmisel, lahutamisel ja arvuga korrutamisel ka siis, kui vektoreid on üle kahe. Kolme vektori skalaarkorrutist leida ei saa. Miks?
Arvu ruut Arvu ruut Näide 1. Arvu 5 ruut on 25, sest 52 = 5 · 5 = 25. Ruutjuur Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juure korrutis ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand
Kui ruutvõrrandil x2 + px + q = 0 on kaks lahendit x1 ja x2, siis: Ruutjuur x1 + x2 = p x1 · x2 = q Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- Seda seost kasutatakse ruutvõrrandite koostamisel. negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juurimise reeglid
4 1 Kui ruutvõrrandil x2 + px + q = 0 on kaks lahendit x1 ja x2, siis: Ruutjuur x1 + x2 = p x1 · x2 = q Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- Seda seost kasutatakse ruutvõrrandite koostamisel. negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juurimise reeglid
Kuidas koostada sagedustabelit? Koostada tuleb tabel, kus on 3 tulpa. Esimeses tulbas on andmed, teises tulbas sagedus ja kolmandas tulbas suhteline sagedus. Suhtelise sageduse leidmiseks tuleb sagedus jagada objektide koguarvuga. 11. Mis on arvu ruutjuur? Miks negatiivsetel arvudel puudub ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust positiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Mittenegatiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. Negatiivsetel arvudel puudub ruutjuur, sest pole arvu, mille ruut oleks negatiivne. 12. Kuidas lahendada lineaarvõrrandit? 1) Kui võrrandis on sulud, siis avame need 2) Tundmatud viime vasakule, vabaliikmed paremale (teisele poole viies märk muutub) 3) Koondame sarnased liikmed 4) Võrrandi mõlemaid pooli jagame tundmatu kordajaga 5) Teeme kontrolli 6) Kirjutame vastuse 13
Tõestus Kui f ( x ) ≥ 0 kogu lõigul [a ; b] , siis on f ( x ) ≥ 0 igal osalõigul [ x k−1 ; x k ] , k=1, 2,3, … , n , seega kehtib ka f ( ξ k ) ≥ 0. Korrutased viimast võttatust viimase k -osalüigu pikkusega, saame f ( ξ k ) ∆ x k , k=1, 2, 3, … ,n . Liites kõik n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse n ∑ f ( ξ k ) ∆ x k ≥ 0. k=1 Kuna mittenegatiivse suuruse piirväärtus on piirprotsessis λ → 0 mittenegatiivne suurus, on omadus tõestatud. Järeldus 2. Lõigul [a ; b] f ( x ) ≥ g( x ) , siis kehtib b b ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx . a a Tõestus Eelduse kohaselt f ( x )−g ( x ) ≥ 0 , seega omadus 3 järgi b ∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx ≥ 0. a Järelduse 1 alusel
Kui f ( x ) ≥ 0 lõigul [a ; b] , siis kehtib ka ∫ f ( x ) dx ≥ 0 . a Tõestus Kui f ( x ) ≥ 0 kogu lõigul [a ; b] , siis on f ( x ) ≥ 0 igal osalõigul [ x k−1 ; x k ] , k=1, 2,3, … , n , seega kehtib ka f ( ξ k ) ≥ 0. Korrutased viimast võttatust viimase k -osalüigu pikkusega, saame f ( ξ k ) ∆ x k , k=1, 2, 3, … ,n . Liites kõik n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse n ∑ f ( ξ k ) ∆ x k ≥ 0. k=1 Kuna mittenegatiivse suuruse piirväärtus on piirprotsessis λ → 0 mittenegatiivne suurus, on omadus tõestatud. (L. Pallas) Järeldus 2. Lõigul [a ; b] f ( x ) ≥ g(x ) , siis kehtib b b ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx . a a Tõestus Eelduse kohaselt f ( x )−g ( x ) ≥ 0 , seega omadus 3 järgi 8
b f (x)dx 0. a T~oestus. Kui f (x) 0 kogu l~oigul [a; b], siis on f (x) 0 igal osal~oigul [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, seega ka f (k ) 0. Korrutades viimast v~orratust k-nda osal~oigu pikkusega, saame f (k )xk 0, k = 1, 2, . . . , n. Liites n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse st n f (k )xk 0. k=1 Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus on piirprotsessis 0 mittenegatiivne suurus, mis t~oestabki omaduse. J¨ areldus 2. Kui l~oigul [a; b] f (x) g(x), siis b b
optim plaaniks. DUAALÜLESANDED LPÜ teisendamine max-kanoonilisele kujule 1) Kui Z nõutakse miinimumi, siis seda saab esitada max nõudele Min z=max (z´= -z)=-c1x1-c2x2.. 2) Kui kitsendused on esitatud võrratustena, tuleb sisse tuua täiendavad muutujat (abimuutujad, ülejäägi näitajad) 3) Kui mõne muutuja kohta pole esitatud mittenegatiivsuse nõuet, siis seda võib defineerida kahe mittenegatiivse muutuja vahena x2=x2´-x2´´ x2 ≥0, x2´´≥0 LPÜ-ga duaalne ülesanne max-põhikujul LPÜ duaalne ülesanne 1. Esialgse ül igale kitsenduele seame vastavusse duaalse ül tundmatud: y1, y2,..,ym 2. Duaalse ül kitsenduste süsteemi vabaliikmeteks on esialgse ül sihifunktsiooni kordajad c1,c2 Duaalse ül kitsenduste arv sõltub esialgse ül muutujate arvuga 3. DÜ kitsenduste süsteemi kordajate maatriks on esialgse ül kitsenduste süsteemi
arvsirge punktide vahel) – Arvsirge on reaalarvude hea geomeetriline mudel. Positiivsele arvule a seame arvsirge positiivsel poolel vastavusse punkti, mille kaugus nullpunktist on a, negatiivse a puhul fikseerime arvtelje negatiivsel poolel punkti kaugusel −a. Pidevuse aksioom (P) garanteerib selle, et igale arvsirge punktile vastab mingi üheselt määratud reaalarv. 5) Igast mittenegatiivsest arvust saab võtta n-da juure – Igast mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määratud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn=b 6) Alamhulk N ei ole ülalt tõkestatud (Archimedese printsiip) – Alamhulk N ⊂ R ei ole ülalt tõkestatud, s. t. iga reaalarvu a korral leidub temast suurem naturaalarv n. Teisisõnu, Iga a € R leidub n € N : n > a 7) Iga kahe reaalarvu vahel leidub nii ratsionaal-kui ka irratsionaalarve
Vektori pikkus a (x2 x1)2 (y2 y1)2 Vektorite skalaarkorrutis a b x1 x2 y1 y2 a b Nurk vektorite vahel arccos a b Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x, mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, –1 kasutades selleks klahvi cos © Allar Veelmaa 2014 26 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium SIRGE VÕRRAND PUNKTI JA TÕUSUGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND. TÕUSU JA ALGORDINAADIGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND
järgnevas alati reaalarvu. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 21 1.5 Reaalarvude korpuse omadused 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud Teatavasti ei ole positiivsetel arvudel üldjuhul ratsionaalse väärtusega ruutjuurt. Seevastu, nagu selgub järgmisest lausest, eksisteerib reaalarvuline ruutjuur igast mittenegatiivsest ar- vust. Lause 1.20 Iga mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määra- tud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn = b. Tõestus. Kõigepealt märgime, et kui leidub selline arv x ∈ R, et xn = b, siis on see üheselt määratud, sest seostest 0 6 x1 < x2 järeldub võrratus xn1 < xn2 (põhjendada!)z. Väide kehtib ilmselt juhul b = 0, siis x = 0, seega võime piirduda juhuga b > 0. A. Vaatleme esiteks juhtu b > 1. Tähistame
Lihtsam on seda vahest näha isegi ruutfunktsiooni graafikult: Seega, kui tahame tõesti, et saaksime välja kirjutada lahendit ka ruutvõrrandile või ruutvõrrandile või näiteks ka neljanda astme võrran- dile , peame tingimata oma arvusüsteemi veel kord laiendama ja veel rohkem arve kasutusele võtma. Eelnevat võib ümber sõnastada ka järgmiselt: nägime, et reaalarvude abil saame leida kõik arvud x nii, et iga mittenegatiivse a jaoks. Kui nüüd tahame aga lahti saada tingimusest „mittenegatiivne“, siis peamegi sisse tooma kompleks- arvud. 89 Kui lubada natukene mõttel lennata, siis võiksime õigustatult võrrandi lahendiks pakkuda . Tõepoolest, kuna ruutjuure võtmine ning ruutu võt- arvuhulgad mine taandavad teineteise välja, võime kirjutada
y b1 b2 - b1 (1.3) avaldub suhe konstandi ja l~opmatult kahaneva suuruse z b2 b2 (b2 + ) summana. Teoreemi 4.1 p~ohjal y b1 lim= , xa z b2 mida oligi tarvis t~oestada. J¨atkame nn j¨arjestusega seotud piirv¨a¨artusteoreemidega. Teoreem 5.6. Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus antud piirprotsessis on mittenegatiivne, st kui muutuv suurus y 0 punkti a mingis u ¨mbruses ja lim y = b, siis b 0. xa T~oestus. Oletame vastuv¨aiteliselt, et lim y = b < 0. Kui y 0 ja b < 0, xa siis |y - b| > |b|. Kui valida positiivne nii, et < |b|, siis tingimus |y - b| < ei saa olla t¨aidetud, u¨ksk~oik kui a-le l¨ahedase x v¨a¨artuse me ka ei valiks, st tekib vastuolu eeldusega lim y = b
x ja y leiduvad mittel˜oikuvad u ¨mbrused B(x; s) ja B(y; s), kus s = 0, 5 · d(x, y) (vt. v˜ordust (2.4)). J¨arelikult X on T2 -ruum ja seega ka T0 -ruum ning T1 -ruum. 6.1 Eralduvuse aksioomid ja j¨areldusi neist 63 N¨aitame, et X on T4 -ruum. Valime ruumist X mittel˜oiku- vad kinnised alamhulgad A ja B, A∩B = ∅. Leiame hulkadele A ja B mittel˜oikuvad u ¨mbrused U (A) ja U (B). Iga x ∈ A jaoks defineerime mittenegatiivse arvu dB (x) = inf { d(x, y) | y ∈ B }. Kuna reaalarvude hulk { d(x, y) | y ∈ B } on alt t˜okestatud arvuga 0 ja igal alt t˜okestatud reaalarvude hulgal leidub alu- mine raja, siis dB (x) eksisteerib ja dB (x) ≥ 0. Hulk X B on lahtine ja v˜orduse A ∩ B = ∅ t˜ottu x ∈ X B. Seega leidub lahtine kera B(x; r) nii, et B(x; r) ⊂ X B. J¨arelikult dB (x) ≥ r > 0, dB (x) > 0 ja saab vaadelda lahtist kera U (x) = B(x; 0, 5 · dB (x)), mis on samuti punkti x u
annaabi.ee 
