vasatupidiseks. 3' maatriksi kahe rea (veeru) Skalaarkorrutis Kahe vektori 3. omadus. ümberpaigutamine. skalaarkorrutiseks nimetatake Determinandi mingi rea kõigi Elementaarteisendused ei m uuda arvu, mis on võrdne nende elementide korrutamise ühe ja sama m maatriksi astakut. vektorite pikkuste jar teguriga korrutub Pöördmaatriks, selle leidmine. vektoritevaheliseu nurga kogud determinant selle sama teguriga. koosinuse korrutisega. See omadus võimaldab determinandi Pöördmaatriks on vaid ruutmatriksil. Kui maatriksi tüüp Vektorkorrutis Vektorite alfa ia rea või veeru elementid ühist tegrui
1. Determenandi põhiomadused. Alam D ja minoor. Crameri meetodil võrrandsüsteemi lahendamine · Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud ümber paigutada. See omadus väljendab determinantideridade ja veergude samaväärsust. · Kui determinandis kaks rida omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. · Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub kogu determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i märgi ette tuua, mis harilikult lihtsab tunduvalt arvutusi. · Kui D-s on kaks rida omavahel võrdsad, siis D võrdub nulliga. Seega on eelmise omaduse tõttu D võrdne nulliga ka siis kui D-i kaks rida on võrdelised. · Kui D-s mingi rea iga element kujutab kahhe liidetava summa siis laguneb D kahe sama järku D-
Determinant reaalarv, millele on vastavusse seatud ruutmatriks. DEF 3: Determinandi arvutuseeskiri: Determinantide omadusi 1) Det väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada (transponeeritud maatriks) 2) Kui det teatavad 2 rida/veergu omavahel ümber paigutada, siis muutub det märk vastupidiseks 3) Det mingi rea/veeru kõigi elementide läbi korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu det läbi sama arvuga 4) Kui det on teatavad kakse rida/veergu kas võrdsed või võrdelised, siis võrdub kogu det väärtus nulliga 5) Kui det mingi rea/veeru iga element kujutab kahe liidetava summat, siis on võimalik seda det esitada kahe sama järku det summana, kusjuures esimene det koosneb vaadeldava rea/veeru esmestest liid ja teine teistest liid ja ülejäänud liid jäävad oma kohtadele
Eksponentkuju: =r* omavektoriks ja arvu selle omaväärtuseks. 3. Determinandi mingi rea/veeru kõigi 5. Vektorkuju: =(a;b) elementide korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu determinant sama Moivre'i valem: arvuga. Algebralised süsteemid Vektorarvutus Hulka M, kus on defineeritud vähemalt üks arvutusoperatsioon ehk 4.
Kahe rea (veeru) vahetamisel muutub determinandi märk vastupidiseks. a b c d c d a b Kui determinandi read (veerud) on võrdsed, siis on determinant võrdne nulliga. a b a b a b 0 a b Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub determinant selle teguriga. ka kb a b ka d kb c k (ad cb) k c d c d Determinant võrdub nulliga, kui determinandi kahe rea (veeru) vastavad elemendid on võrdelised. a b a b k 0
Kahe rea (veeru) vahetamisel muutub determinandi märk vastupidiseks. a b c d c d a b Kui determinandi read (veerud) on võrdsed, siis on determinant võrdne nulliga. a b a b a b 0 a b Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub determinant selle teguriga. ka kb a b ka d kb c k ( ad cb) k c d c d Determinant võrdub nulliga, kui determinandi kahe rea (veeru) vastavad elemendid on võrdelised. a b a b
Maatriksi elemendi algebraline täiend Arvu (−1)i+j Mij nimetatakse elemendi aij algebraliseks täiendiks (alamdeterminandiks). Determinandi arendus rea või veeru järgi Determinandi omadused 1. Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed, s.t. |A| = |AT|. 2. Maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi. 3. Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga. 4. Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga. 5. Kui determinandis on kaks ¨uhesugust rida (veergu), siis on determinant null. 6 Pöördmaatriks Olgu A n-järku maatriks. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse
avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu. See omadus lubab kõiki ridadele saadud omadusi kanda üle ka veergudele. Omadus 2. Kui determinandis kaks rida (või veergu) ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. Omadus 3. Determinandi rea (või veeru) korrutamisel (jagamisel) mingi arvuga korrutub (jagub) kogu determinant selle arvuga. Selle võib sõnastada ka teisel kujul Omadus 3'. Determinandi rea (või veeru) elementide ühise teguri saab tuua determinandi märgi ette. Omadus 4. Kui determinandis on kaks rida (või veergu) omavahel võrdsed, siis determinant võrdub nulliga. Omadus 5. Kui determinandis mingi rea (või veeru) iga element kujutab kahe liidetava summat, siis saab determinanti esitada kahe sama järku
| A|=a1 j A1 j+ a2 j A 2 j +⋯+a jn A jn =∑ a kj A kj k=1 52.Determinandi omadused: Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed , st. | A|=| AT | Maatriksi kahe rea(veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi Kui maatriksis mingit rida või veergu korrutada mitahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga Kui maatriksi mingile reale või veerule liita mitahes arvuga korrutatatud mistahes teine rida või veerg, siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga Kui determinandis on kaks ühesugust rida või veerdu, siis on determinant null 53.Pöördmaatriks-Olgu A n-järku maatriks. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist n-järku maatriksit B, mis rahuldab tingimuse AB=E=BA,
A rea-(veeru)vektorite lineaarsest sõltuvusest (|A| = 0 ) või sõltumatusest (|A | 0). 11 DETERMINANTIDE OMADUSI LAUSE 1. Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu. JÄRELDUS 1. Determinandi read ja veerud on samaväärsed. LAUSE 2. Kui paigutada determinandis ümber kaks rida (veergu), siis muutub determinandi märk vastupidiseks. LAUSE 3. Determinandi mingi rea (veeru) korrutamisel mingi arvuga, korrutub kogu determinant selle arvuga. JÄRELDUS 2. Kui determinant sisaldab nullidest koosnevat rida (veergu), siis võrdub see determinant nulliga. LAUSE 4. Kui determinandi kaks rida (veergu) on omavahel võrdsed, siis võrdub determinant nulliga. LAUSE 5. Kui determinandi mingi rea (veeru) iga element kujutab endast kahe liidetava summat, siis on see determinant esitatav kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vastav
A rea-(veeru)vektorite lineaarsest sõltuvusest (|A| = 0 ) või sõltumatusest (|A | 0). 11 DETERMINANTIDE OMADUSI LAUSE 1. Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu. JÄRELDUS 1. Determinandi read ja veerud on samaväärsed. LAUSE 2. Kui paigutada determinandis ümber kaks rida (veergu), siis muutub determinandi märk vastupidiseks. LAUSE 3. Determinandi mingi rea (veeru) korrutamisel mingi arvuga, korrutub kogu determinant selle arvuga. JÄRELDUS 2. Kui determinant sisaldab nullidest koosnevat rida (veergu), siis võrdub see determinant nulliga. LAUSE 4. Kui determinandi kaks rida (veergu) on omavahel võrdsed, siis võrdub determinant nulliga. LAUSE 5. Kui determinandi mingi rea (veeru) iga element kujutab endast kahe liidetava summat, siis on see determinant esitatav kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vastav
1 1 Vektori projektsioon tuleb varustada plussmärgiga, kui komponentvektori suund langeb ühte telje suunaga ja miinusmärgiga, kui vektori komponent teljel on teljega vastassuunaline. Vektori projektsiooni omadused: võrdsete vektorite projektsioonid samale teljele on võrdsed; vektori korrutamisel arvuga korrutub sama arvuga ka tema projektsioon; vektorite summa projektsioon mingile teljele võrdub liidetavate vektorite projektsioonide summaga samal teljel; vektori projektsioon teljel võrdub selle vektori pikkuse ning vektori ja telje vahelise nurga koosinuse korrutisega, pra a cos . Olgu meil antud koordinaadid 3-mõõtmelises ruumis.
veerust koosneva tabelina. Välja arvutamiseks saab kasutada Sarrusi reeglit. 3.4.3 Determinantide omadused · Determinandi väärtus ei muutu, kui determinandi read kirjutada veergudena (järjekorda muutmata). · Kahe rea (või kahe veeru) vahetamisel muutub determinandi märk vastupidiseks. · Kui determinandi kaks rida (või kaks veergu) on võrdsed, siis on determinandi väärtus null. · Kui det ühte rida (või veergu) korrutada mingi arvga, siis korrutub determinant selle arvuga. Järeldus: kui determinandi mingi rea (veeru) elementidel on olemas ühistegur, siis võib selle teguri tuua determinandi ette. · Kui determinandi kahe rea (või veeru) vastavad arvud on võrdelised, siis on determinandi väärtus 0. 3.4.4 Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemid Kahe tundmatuga võrrandisüsteemi võtted kehtivad ka siin. 3.5 Murdvõrrandid Võrrandit, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas, nimetatakse murdvõrrandiks.
Tõepoolest, = ab ab = 0. a3 b3 c3 a b elemente a1, b2 ja c3 nimetatakse peadiagonaali elementideks ja 4. Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja elemente c1, b2 ja a3 nimetatakse kõrvaldiagonaali elementideks. sama teguriga korrutub determinant selle teguriga. Sarruse reegli järgi on determinandi väärtust küll lihtne arvutada, kuid arvutus- a b Korrutame determinandi üht rida mingi arvuga k, siis käiku võib veelgi lihtsustada, kui determinandist paremale kirjutada täiendavalt c d
Determinant Me nimetame n-järku ruutmaatriksi determindandiks reaalarvu, mida tähistame |X| ja leiame valemiga |X|= OMADUSED: 1) maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed, s.t. X Mat(n, n) => | X |=| XT | 2) maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märki. 3) Kui maatriksi kaks rida (veergu) on võrdsed, siis maatriksi determinant on 0 4) Kui maatriksi mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga 5) Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga. 6)Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga. 7) Kolmnurksete maatriksite X1 ,X2 ,X3 ja X4 korral |X1|=|X2| = x11x22...xnn |X3|=|X4|= x1nx2,n-1...xn1 MIINOR: *Determinanti xi1 j1 x i1 j 2 ... xi1 jn
1 (q1 ) , q1 võib olla nt 3 koordinaati, q1, q2 üldistatud koordinaat, mingil moel on ära defineeritud. 2 (q 2 ) (q1 , q 2 ) Nendele funktsioonidele vastavad konstandid C1 ja C2 tõeäosus, et toimuvad mõlemad nähtused korraga, on C1 C 2 . Nende funktsioonide absolutväärtuste ruudud on siis järgmised: 1 (q1 ) , 2 (q 2 ) 2 2 (q1 , q 2 ) 2 Sõltumatute osakeste tõenäosuse korrutub. Kuid kui osakesed on omavahel interaktsioonis, siis korrutada ei tohi. (q1 , q 2 , q n ) = 1 (q1 ) 2 (q 2 ) ... n (q n ). MLT 6004 Kvantmehhaanika 10 13. Mis on operaator? Operaator on teisenduseeskiri, millega saame ühest funktsioonist teise. Igale füüsikalisele suurusele seatakse vastavusse teatud lineaarne operaator, mida rakendatakse olekufunktsioonile
J¨ areldus 3.1. Kui maatriksil kaks rida (veergu) on v~ ordsed, siis tema determinant on null. 29 T~oestus. Olgu maatriksis omavahel v~ordsed read (veerud) indeksitega s ja t. Seega X = X(s,t) . Viimase omaduse t~ottu |X| = -|X(s,t) | = -|X| = 2|X| = 0 = |X| = 0. 3 Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada arvuga, siis tema determinant korrutub sama arvuga. T~ oestus. Korrutame maatriksi X mingi rea, n¨aiteks s-nda, arvuga a. Uuel maatriksil, t¨ahistame X abil, on k~oik read samad, mis maatriksil X, v¨aljaarvatud rida s. Selles reas on elemendid axs1 , axs2 , . . . , axsn . Valemi (3.1) abil saame |X | = (-1)I(1 ,2 ,...,n ) x11 . . . (axss ) . . . xnn = P (1,2,...,n) =a (-1)I(1 ,2 ,...,n ) x11 . . . xss . . . xnn = a|X|. P (1,2,..
areldus 3.1. Kui maatriksil kaks rida (veergu) on v˜ ordsed, siis tema determinant on null. 29 T˜oestus. Olgu maatriksis omavahel v˜ordsed read (veerud) indeksitega s ja t. Seega X = X(s,t) . Viimase omaduse t˜ottu |X| = −|X(s,t) | = −|X| =⇒ 2|X| = 0 =⇒ |X| = 0. ♠ 3◦ Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada arvuga, siis tema determinant korrutub sama arvuga. T˜oestus. Korrutame maatriksi X mingi rea, n¨aiteks s-nda, arvuga a. Uuel maatriksil, t¨ahistame X abil, on k˜oik read samad, mis maatriksil X, v¨aljaarvatud rida s. Selles reas on elemendid axs1 , axs2 , . . . , axsn . Valemi (3.1) abil saame |X | = (−1)I(α1 ,α2 ,...,αn ) x1α1 . . . (axsαs ) . . . xnαn = P (1,2,...,n) =a (−1)I(α1 ,α2 ,...,αn ) x1α1 . . . xsαs . . . xnαn = a|X|.
Vektorkorrutis: vektorite a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit a x b. a x b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1) Projektsioonid ja nende seos mooduliga: Vektori projektsioon tuleb varustada plussmärgiga, kui komponentvektori suund langeb ühte telje suunaga ja miinusmärgiga, kui vektori komponent teljel on teljega vastassuunaline. Vektori projektsiooni omadused: võrdsete vektorite projektsioonid samale teljele on võrdsed; vektori korrutamisel arvuga korrutub sama arvuga ka tema projektsioon; vektorite summa projektsioon mingile teljele võrdub liidetavate vektorite projektsioonide summaga samal teljel; vektori projektsioon teljel võrdub selle vektori pikkuse ning vektori ja telje pra a cos vahelise nurga koosinuse korrutisega, .
annaabi.ee 
