nii et lühem pööre vektorist a vektorini b ümber vektori y toimub vastupäeva, kui vaadata vektori y lõpust. Vektorkorrutise omadused 1, vektorite a ja b vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui vähemalt üks korrutatavatest vektoritest on nullvektor või kui vektorid on kollineaarsed. Vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui korrutavad vektorid on kollinearsed. Seega vektorite kollineaarsuse tingimus on ab=0 2. kui vektorid on omavahel risti siis kahe vektori vektorkorrutis on pikkuselt võrdne vektorite pikkuste korrutisega. 3. tegurite ümberpaigutamisel muutub vektorite märk vastupidiseks ab=ba 4. kahe vektori vektorkorrutis on assotsiativne skalaari suhtes k(ab)= ka x b 5.vektorkorrutis on distributiivne a(b+y)=ab+ay 6. vektorkorrutis ei ole assotsiatiivne vektori suhtes a(b x y) (a x b) y Vektorite kollineaarsuse tunnuse a1/b1=a2/b2=a3/b3
näide. 3. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. 4. Moodustajate süsteem. 5. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid baasi suhtes. 6. Vektorid. Geomeetrilise vektori mõiste. Lineaartehted, tehete omadused. Vektori projektsioon sirgele, teljele. Vektori pikkus. Vektori ja punkti koordinaadid 3- mõõtmelises ruumis. 7. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaatkujul. 8. Vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tingimused. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 9. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused. Vektorkorrutise arvutamine koordinaatkujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. 10. . Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. 11. Sirge võrrandid. Punkti kaugus sirgeni. Kahe sirge vaheline nurk. 12. Tasandi võrrandid
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine;
Total 7497241,379 57 a. Dependent Variable: kulu_riided_jalanoud b. Predictors: (Constant), töötus, kaalutud_hinnad_HICP, SKP_pc Tabel 6. Sõltumatute muutujate olulisus ning tolerance ja VIF näitajad. Coefficientsa Mudel Standardiseerimata Standardise t Olulisus Kollineaarsuse statis koefitsendid eritud koefitsendid B Std. Error Beta B (Konstant) -244,650 116,361 -2,103 ,040 SKP_pc ,020 ,001 ,844 13,369 ,000 ,788 kaalutud_hinnad_HI
vektoritega ning suunatud nii et lühem pööre vektorist a vektorini b ümber vektori y toimub vastupäeva, kui vaadata vektori y lõpust. Vektorkorrutise omadused 1, vektorite a ja b vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui vähemalt üks korrutatavatest vektoritest on nullvektor või kui vektorid on kollineaarsed. Vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui korrutavad vektorid on kollinearsed. Seega vektorite kollineaarsuse tingimus on ab=0 2. kui vektorid on omavahel risti siis kahe vektori vektorkorrutis on pikkuselt võrdne vektorite pikkuste korrutisega. 3. tegurite ümberpaigutamisel muutub vektorite märk vastupidiseks ab=ba 4. kahe vektori vektorkorrutis on assotsiativne skalaari suhtes k(ab)= ka x b 5.vektorkorrutis on distributiivne a(b+y)=ab+ay 6. vektorkorrutis ei ole assotsiatiivne vektori suhtes a(b x y) (a x b) y Vektorite kollineaarsuse tunnuse a1/b1=a2/b2=a3/b3
19. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kolme vektrori a, b ja c segakorrutiseks nim kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a*b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a*b)c. Kolme vektori segakorrutist kasutatakse nt ruumalade arvutamisel. Nimelt osutub, et kolmele, ühest punktist vljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kollineaarsuse tunnused: · Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on võrdsed. · Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor. · Skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Ristseisu tunnused: · Skalaarkorrutis on 0 · Vektorkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutistega. Komplanaarsuse tunnused: · Segakorrutis on 0 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus
12. klassis. Esimene kursus kannab pealkirja ,,Vektor tasandil. Joone võrrand" nii laias kui kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe punktiga ning määrab sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab sirgeid, paraboole ja ringjooni nende võrrandite järgi ning koostab ringjoone võrrandi keskpunkti ja raadiuse järgi. Samuti peab õpilane oskama leida joonte lõikepunkte, kui üks
axb = x1 y1 z1 a b c =x 2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 y3 z3 18. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kolme vektori segakorrutis nim. vektor a skalaarkorrutist vektorkorrutisega bx c Omadused: 1) On arvuline suurus 2) On 0, kui vektorid on komplanaarsed 3) Vôrdub vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Avaldis koordinaatides: (vaata üles puule). 19. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Vektorite kollineaarsuse tunnus: 1) Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on vôrdsed 2) Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor 3) Skalaarkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vektorite ristseisu tunnus: 1) Skalaarkorrutis on 0 2) Vektorkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega Vektorite komplanaarsuse tunnus: Segakorrutis on 0 20. Sirge sihivektor. Sirge võrrand tasandil. Sirge tõus.
vabavektor. koordinaatkujul; Vektorite võrdsus. 3) arvutab kahe vektori Vektori skalaarkorrutise ning rakendab koordinaadid. vektoreid füüsikalise sisuga Vektori pikkus. ülesannetes; Vektorite liitmine 4) kasutab vektorite ristseisu ja ja lahutamine. kollineaarsuse tunnuseid; Vektori 5) lahendab kolmnurka vektorite korrutamine abil; arvuga. 6) leiab lõigu keskpunkti Lõigu keskpunkti koordinaadid; koordinaadid. Kahe 7) tuletab ja koostab sirge vektori vaheline võrrandi (kui sirge on määratud nurk. Vektorite punkti ja sihivektoriga, punkti ja kollineaarsus. Kahe tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, vektori kahe punktiga ning teisendab
( c a ; c b ) 3.Vektori c suund on selline, et vektorid a, b ja c antud järjekorras moodustaksid parempoolse vektorkolmiku, s.t. kui vaadata vektori c lõpp punktist, siis vektori a lühim pööre vektori b peale peab olema nähtav kellaosuti liikumise vastassuunas. 20. Vektorkorrutise moodul võrdub nendele vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga. S = | a x b | 21. kahe võrdse vektori korrutis a x a = 0 22. vektorite kollineaarsuse ( a | | b) tingimus: a x b = 0, sest sin = 0 23. ühikvektorite vektorkorrutised ixi = 0 jxi = k kxi = j ixj = k jxj = 0 kxj = i ixk = j jxk = i kxk = 0 1 i j k 24. Vektorkorrutis koordinaatides a x b = X 1 Y1 Z1
( c a ; c b ) 3.Vektori c suund on selline, et vektorid a, b ja c antud järjekorras moodustaksid parempoolse vektorkolmiku, s.t. kui vaadata vektori c lõpp punktist, siis vektori a lühim pööre vektori b peale peab olema nähtav kellaosuti liikumise vastassuunas. 20. Vektorkorrutise moodul võrdub nendele vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga. S = | a x b | 21. kahe võrdse vektori korrutis a x a = 0 22. vektorite kollineaarsuse ( a | | b) tingimus: a x b = 0, sest sin = 0 23. ühikvektorite vektorkorrutised ixi = 0 jxi = k kxi = j ixj = k jxj = 0 kxj = i ixk = j jxk = i kxk = 0 1 i j k 24. Vektorkorrutis koordinaatides a x b = X 1 Y1 Z1
Seega, kui a = (a1 , a2 , . . . , an) ja b = (b1 , b2 , . . . , bn), siis summavektori koordinaadid on liidetavate vektorite samanimeliste koordinaatide summad, st a + b = ( ai + bi ), i = 1, 2, . . . , n. 2) Vektori korrutamine arvuga toimub koordinaathaaval. Seega vektori korrutamisel arvuga tuleb iga tema koordinaat korrutada selle arvuga: a = ( ai ), i = 1, 2, . . . , n. JÄRELDUS (vektorite kollineaarsuse analüütiline tunnus). Kaks vektorit on kollineaarsed parajasti siis, kui nende koordinaadid on võrdelised, st a || b a1 / b1 = a2 / b2 = . . . = an / b n = . 6 MAATRIKSI MÕISTE DEFINITSIOON. Olgu m ja n naturaalarvud ja ai j mingid mn reaalarvu, kus i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Siis arvude tabelit Am×n = || ai j ||, milles on m RIDA elementidega
Seega, kui a = (a1 , a2 , . . . , an) ja b = (b1 , b2 , . . . , bn), siis summavektori koordinaadid on liidetavate vektorite samanimeliste koordinaatide summad, st a + b = ( ai + bi ), i = 1, 2, . . . , n. 2) Vektori korrutamine arvuga toimub koordinaathaaval. Seega vektori korrutamisel arvuga tuleb iga tema koordinaat korrutada selle arvuga: a = ( ai ), i = 1, 2, . . . , n. JÄRELDUS (vektorite kollineaarsuse analüütiline tunnus). Kaks vektorit on kollineaarsed parajasti siis, kui nende koordinaadid on võrdelised, st a || b a1 / b1 = a2 / b2 = . . . = an / b n = . 6 MAATRIKSI MÕISTE DEFINITSIOON. Olgu m ja n naturaalarvud ja ai j mingid mn reaalarvu, kus i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Siis arvude tabelit Am×n = || ai j ||, milles on m RIDA elementidega
x1 x 2 i i x1 y 2 i j x1 z 2 i k y1 x 2 j i y1 y 2 j j y1 z 2 j k z1 x 2 k i z1 y 2 k j z1 z 2 k k x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 , ehk a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 . VEKTORITE RISTSEISU JA KOLLINEAARSUSE TINGIMUSED Vektorid on risti, kui nende skalaarkorrutis on 0: a b 0 , x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 0 . Kui vektorid on kollineaarsed, siis nad on paralleelsed sama sirgega ja võib kirjutada: a k b , kus k on mingi arv ehk koordinaatides: x1 , y1 , z1 kx2 , ky2 , kz 2 . Vektorite võrdsusest saame: x1 kx 2 , y1 ky 2 , z1 kz 2 .
omadused: Determinantide omadustest tulenevalt: kolm nullvektorist erinevat vektorit a = ( x1 ; y1 ; z1 ), b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ja c = ( x3 ; y3 ; z3 ) on komplanaarsed parajasti siis, kui nende segakorrutis on null, st rakendus: kolme vektori segakorrutist kasutatakse ruumalade arvutamisel. kolmele ühest punktist väljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kaks vektorit on kollineaarsed (a|| b), kui vektorkorrutis on 0 ( = || || sin 0°/180° = 0) Kaks vektorit asetsevad risti ( ), kui skalaarkorrutis on 0 ( = || || cos 90° = 0) Kaks vektorit on komplanaarsed, kui segakorrutis on 0 ((a × b)c = 0) 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil).
Siht on vektorite hulk R v , kus R on reaalarv. Ühte sihti kuuluvaid vektoreid nimetatakse kollineaarseteks r r vektoriteks (e. samasihilisteks). r r a Pb - kollineaarsed vektorid. a Pb - mittekollineaarsed vektorid. Sihid saavad olla kas samasuunalised ( ) või erisuunalised ( ). r r Olgu antud kaks vektorit koordinaatidega a (a1;a2) ja b (b1;b2). Kollineaarsuse tunnus: Kaks vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui nende vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, st. ur r a1 a2 a Pb = b1 b2 ,,Siis ja ainult siis" kehtib nii teoreem kui ka tema pöördteoreem. r r r r 2 -1 r r Näiteks: a (2;-1) ja b (4;-2)
Eukleidiline vektorruum Rn , tema loomulik baas, vektori pikkus ruumis Rn . 2. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaat- kujul. Vektorite ristseisu tingimus. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 3. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused. Vektorkorrutise arvutamine koordinaat- kujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. Vektorite kollineaarsuse tingimus. 4. Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. PEATÜKK 13. VEKTORID RUUMIS Antud loengu materjal pärineb suuresti Aivo Parringu loengu- konspektist http://math.ut.ee/pmi/kursused/ag/parring/ peatü- kist "IV. Vektoralgebra`'. Viidatud materjalis on kogu teoreetiline üles-
annaabi.ee 
