v z z ; a z z Mida nimetatakse loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril? Loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril nimetatakse koordinaattelge, mis ühtib trajektooriga. Mis vahe on loomulikul teljestikul ja tavalistel ristuvatel koordinaattelgedel? Loomulik teljestik järgib punkti liikumise trajektoori ja oleneb trajektoori kujust, kuid ristuvad koordinaatteljed seda ei pruugi teha, ning on kogu aeg ühesugused. Kirjutada kiirendusvektori projektsioonid loomuliku teljestiku kõigile kolmele teljele. dv at s dt v 2 s 2 an r ab 0 Kirjutada kiirus- ja kiirendusvektori projektsioonid loomuliku teljestiku kõikidele telgedele. dv at s dt vt s (t ) v 2 s 2 vn 0 a n r vb 0 ab 0 Kirjutada kiirendusvektori projektsioonid telgedele t, n ja b
Siit saab diferentseerimise teel arvutada kiiruse suvalisel ajahetkel t. Teatavasti dx dy dz v(t ) = i+ j+ k dt dt dt Käesoleval juhul tegeleme ainult xz-tasandiga, mistõttu saame v(t ) = -r sin (t + 0 )i + r cos(t + 0 )k (4) Nagu näha, muutub kiirusvektor ajas. Kui arvutame selle vektori pikkuse, saame v = r , mis ei muutu ajas ja klapib eespooltooduga. Samamoodi arvutame kiirendusvektori suvalisel ajahetkel ja saame a(t ) = -r 2 cos(t + 0 )i - r 2 sin (t + 0 )k (5) Ka kiirendusvektor muutub ajas. v2 Vektori pikkuseks saame a = 2 r ehk a = , mis näitab, et kiirenduse suurus on r konstantne. Kiirenduse suuna saame valemite (3) ja (5) võrdlusest. Valem (3) esitab kohavektori, mille suund on keskpunktist eemale
mõjuvat jõudu ja keha massi: Inertsiseaduse formuleeris esimesena Galileo Galilei aastal 1632. Laiemalt tuntakse seda seadust Newtoni esimese seadusena. Newtoni teine seadus väidab, et kehale mõjuv jõud võrdub keha massi ja selle jõu poolt kehale antud kiirenduse korrutisega: . Newtoni teisest seadusest järeldub, et keha kiirenduse määramiseks on vaja teada kehale mõjuvat jõudu ja keha massi: . Kiirendusvektori suund ühtib alati jõuvektori suunaga. Rahvusvahelises mõõtühikute süsteemis on jõuühikuks njuuton (N). 1 N on jõud, mis annab kehale massiga 1 kg kiirenduse 1 m/s2. Newtoni kolmas seadus väidab, et kaks keha mõjutavad teineteist jõududega, mis on absoluutväärtuselt võrdsed ja vastassuunalised.
· Mida nimetatakse loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril? Loomulikuks teljestikuks nimetatakse koordinaattelge, mis ühtib trajektooriga. · Mis vahe on loomulikul teljestikul ja tavalistel Descartesi koordinaattelgedel? 5 Loomulik teljestik sõltub trajektoorist, Descartes'i oma mitte. · Kirjutada kiirendusvektori projektsioonid loomuliku teljestiku kõigile kolmele teljele. Vt=s(t) at=dv/dt Vn=0 an=v2/ Vb=0 ab=0 · Millise liikumise korral on punkti tangentsiaalkiirendus alati võrdne nulliga? Ühtlase liikumise korral. · Millise liikumise korral on punkti normaalkiirendus alati võrdne nulliga? Sirgjoonelise liikumise korral · Millisele loomuliku koordinaadistiku teljele ei anna ühegi punkti kiirendusvektor iialgi projektsiooni?
104. Mis vahe on loomulikul teljestikul ja tavalistel Descartesi koordinaattelgedel? Loomuliku teljestiku teljed liiguvad koos punktiga, Descartesi kordinaatteljed on liikumatud. 105. Anda kooldumistasapinna definitsioon kolme punkti kaudu. Kooldumistasapind on tasapind, millel on kõveraga kõrgeim puutumise järk. 106. Anda kooldumistasapinna definitsioon kahe puutuja kaudu. 107. Anda kooldumistasapinna mõlemad definitsioonid. 108. Kirjutada kiirendusvektori projektsioonid loomuliku teljestiku kõigile kolmele teljele. 109. Kirjutada kiirus- ja kiirendusvektori projektsioonid loomuliku teljestiku kõigile kolmele teljele. 110. Kirjutada kiirendusvektori projektsioonid telgedele t, n ja b. Mis teljed need on? Need on loomuliku teljestiku teljed. 111. Kuidas asetseb punkti kiirendusvektor loomuliku teljestiku koordinaattasapindade suhtes? Kogu kiirendus asub kooldumistasapinnal. 112
104. Mis vahe on loomulikul teljestikul ja tavalistel Descartesi koordinaattelgedel? Loomuliku teljestiku teljed liiguvad koos punktiga, Descartesi kordinaatteljed on liikumatud. 105. Anda kooldumistasapinna definitsioon kolme punkti kaudu. Kooldumistasapind on tasapind, millel on kõveraga kõrgeim puutumise järk. 106. Anda kooldumistasapinna definitsioon kahe puutuja kaudu. 107. Anda kooldumistasapinna mõlemad definitsioonid. 108. Kirjutada kiirendusvektori projektsioonid loomuliku teljestiku kõigile kolmele teljele. 109. Kirjutada kiirus- ja kiirendusvektori projektsioonid loomuliku teljestiku kõigile kolmele teljele. 110. Kirjutada kiirendusvektori projektsioonid telgedele t, n ja b. Mis teljed need on? Need on loomuliku teljestiku teljed. 111. Kuidas asetseb punkti kiirendusvektor loomuliku teljestiku koordinaattasapindade suhtes? Kogu kiirendus asub kooldumistasapinnal. 112
v (t ) = r (t ) = r ( - i sin(t ) + j cos(t ) ) . (2.13) Et vektori v skalaarkorrutis vektoriga r võrdub nulliga (kontrollida iseseisvalt!), siis on ka tõestatud, et kiirusvektor on pöördliikumisel trajektoori raadiusega risti. Kiirusvektori tuletis aja järgi annab kiirendusvektori: a (t ) = -r ( i cos(t ) + j sin(t ) ) = - 2 r . 2 (2.14) Et suurus on positiivne, siis viimasest valemist järeldub, et ühtlasel pöördliikumisel on pöörleva 2 keha punkti kiirendus suunatud pöörlemistelje suunas. Kiirenduse moodul v2 a = a = 2r =
Et kiirus- ja kiirendusvektor komponentkujul esituvad v = i v x + j v y + k v z = (v x , v y , v z ), (1.5) a = i a x + j a y + k a z = ( a x , a y , a z ), siis liikumisvõrrandid komponentkujul avalduvad v x = x , a x = v x = x. (1.6) Analoogilised võrrandid kirjutame ka kiirus- ja kiirendusvektori y- ja z-komponentide jaoks. Võrrandid (1.6) on liikumisvõrrandid kõige üldisemal juhul. Käsitleme näitena gümnaasiumikursusest tuttavat ühtlaselt muutuvat sirgjoonelist liikumist ( a = const ), kus keha kohavektor muutub ajas järgmise seaduse järgi: at 2 r (t ) = r0 + v 0 t + , (1.7) 2
Newtoni III seadus Jõud tekivad kahe keha vastastikmõjus alati paarikaupa. 5)Sõnatage Newtoni I seadus · 6)Sõnastage Newtoni II seadus. · 7)Mis järel Newtoni teine seadus väidab, et kehale mõjuv jõud võrdub keha massi ja selle jõu poolt kehale antud kiirenduse korrutisega: . · Newtoni teisest seadusest järeldub, et keha kiirenduse määramiseks on vaja teada kehale mõjuvat jõudu ja keha massi: . Kiirendusvektori suund ühtib alati jõuvektori suunaga. Rahvusvahelises mõõtühikute süsteemis on jõuühikuks njuuton (N). 1 N on jõud, mis annab kehale massiga 1 kg kiirenduse 1 m/s2.dub Newtoni teisest seadusest? 8)Sõnastage Newtoni III seadus. 9)Ülemaailmne Gravitatsiooniseadus. Sõnastus,valem · Newtoni gravitatsiooniseadus on Isaac Newtoni formuleeritud mudel gravitatsiooni kohta.
kinemaatikas? Loomulik teljestik järgib punkti liikumise trajektoori ja oleneb trajektoori kujust, kuid Descartesi teljestik seda ei pruugi teha, ning on kogu aeg ühesugune. 114. Anda kooldumistasapinna definitsioon kolme punkti kaudu. 115. Anda kooldumistasapinna definitsioon kahe puutuja kaudu. 116. Anda kooldumistasapinna mõlemad definitsioonid. 117. Kirjutada kiirendusvektori projektsioonid loomuliku teljestiku kõigile kolmele teljele. dv at = dt v2 an = ab = 0 118. Kirjutada kiirus- ja kiirendusvektori projektsioonid loomuliku teljestiku kõigile kolmele teljele. dv at = dt vt = s (t ) v2 vn = 0 an =
Nagu loengutes kuulsite, jagatakse see kaheks komponendiks: -> normaalkiirendus on kiirenduse komponent, mis on liikumissuunaga risti (suunatud piki trajektoori normaali). -> tangentsiaalkiirendus on kiirenduse komponent, mis on suunatud piki trajektoori puutujat (ingl. tangent - puutuja). Et neid leida, peame kõigepealt leidma nurga kiirus- ja kiirendusvektorite vahel. Loomulikult skalaarkorrutise kaudu Edasi on lihtne: tangentsiaalkiirenduse saamiseks tuleb kiirendusvektori moodul (just moodul, mitte komponendid!) korrutada vektorite vahelise nurga koosinusega, normaalkiirenduse saamiseks aga sama nurga siinusega. Meie ülesande korral on see lihtne: Kontrolliks arvutage, kas nende ruutude summa annab välja kiirenduse mooduli ruudu: Näe - välja tuli! Liikumisvõrrandi koostamine Seda võib mõista kaheti: võrrandit saab "kokku panna", kui on teada kiirendus (pole tähtis, kas
on kõverjoon. Sirge puhul R = . Kõverusringjoone raadius on uuritavas punktis risti kõverjoonega. v at P a Trajektoori kõverusraadius an Joonis 3. Kiirendusvektori komponendid. Tangentsiaalkomponent at on suunatud piki trajektoori puutujat, st kiirusvektoriga samas suunas. Normaalkomponent on suunatud piki trajektoori kõverusraadiust punktis P.. Kaks piirjuhtu on näidatud joonisel 4. Joonisel 4a näidatud juhul on kiirendusel ainult tangentsiaalkomponent: a = at . Joonisel 4b näidatud juhul on kiirendusel ainult normaalkomponent: a = a n . Üldjuhul on kiirendusel olemas mõlemad komponendid. v
ajavahemiku t suhet: a = v . t Kui keha liigub ajavahemiku vältel trajektoori punktist A punkti B ja tema kiirus nendes punktides on vastavalt v 1 ja v 2 , siis kiiruse muut selles ajavahemikus võrdub kiirusvektorite vahega: v = v 2 - v 1 . Kiirendusvektori a suund ühtib väga väikesele ajavahemikule t vastava kiiruse muudu vektori v suunaga. Meeter sekundi ruudu kohta on sellise ühtlaselt muutuva liikumise kiirendus, mille puhul kiirus m m/s muutub 1 sekundis 1 m/s võrra: 1 2 = 1 , selle korral on kiirendusvektor jääv, st selle s 1s moodul ja suund ei muutu.
· Kiireneval liikumisel on kiirenduse märk positiivne. · Aeglustuval liikumisel on kiirenduse märk negatiivne. · Kiirendus (tähis ) on vektoriaalne füüsikaline suurus, mis väljendab kiiruse muutumist ajaühiku kohta. Kiirenduse dimensioon on teepikkus/aeg2. Kiirenduse mõõtühik SI-süsteemis on meeter sekundi ruudu kohta ( ) · Kiireneval sirgjoonelisel liikumisel ühtib kiirendusvektori suund kiiruse vektori suunaga, aeglustuva liikumise kiirendus on suunatud kiirusele vastupidi. · Hetkkiiruse arvutamine ühtlaselt muutuval liikumisel v= v0 + at · Keskmine kiirus on võrdne alg- ja lõppkiiruse aritmeetilise keskmisega. · Teepikkuse arvutamine ühtlaselt muutuval sirgjoonelisel liikumisel- s = v2 v02 : 2a 3. · Vastastikmõju tulemusena muutub keha kiirus või kuju. Vastastikmõjus osaleb vähemalt 2 keha
Kruvi reegel: Kui esimese teguri pööramine teise teguri peale mööda lühimat teed annab kruvi pöördliikumise suuna, siis kruvi kulgliikumise suund annab vektorkorrutise suuna. Kruvi reeglist järeldub vektorkorrutise antikommutatiivsus - tegurite järjekorra vahetamisel muutub vektorkorrutise märk vastupidiseks: × = - × 20. Keha kiirusvektori definitsioonvalem ja selle esitus projektsioonides. Keha kiirusvektor tema kohavektori tuletis aja järgi. = 21. Keha kiirendusvektori definitsioonvalem ja selle esitus projektsioonides. Keha kiirendusvektor tema kiirusvektori tuletis aja järgi. Ühtlase on see kohavektori teine tuletis aja järgi. = = projektsioonis = , = , = 22. Pöördenurga definitsioon ja ühik, joonis. Nurgaühikute vaheline seos. Pöördenurk keha mingi punkti poolt pöörlemisel läbitud teepikkuse jagatis selle punkti kaugusega pöörlemisteljest. =
Kiirusvektor v on vektor, mille moodul võrdub absoluutv trajektoori kaarepikkuse tuletisest aja järgi ja mis on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas ja tema rakenduspunktiks on trajektoori see punkt, milles liikuv keha parajasti asetseb. v=ds/dt on ühtlase sirgjoonelise liikumise suhe. Kiirusvektori projektsioonid võrduvad liikuva punkti ristkoordinaatide tuletisega aja järgi: Vx=x; Vy=y; Vz=z. 3. Normaal ja tangentsiaalkiirendus Trajektoori puutujasihilist kiirendusvektori komponenti at nim tangensiaal, ehk puutekiirenduseks. See esineb alati kui kiirus suurusepoolest muutub- mitteühtlane liikumine. Trajektoori peanormaalisuunalist komponenti an=v2/R, nim normaalkiirenduseks. Erineb alati 0-st kui liikumine on kõverjooneline ja suunatud trajektoori kõveruse poole. 4. Jäiga keha pöörlemine ûmber kinnistelje. Keha pöörlemise vôrrand Selline liikumine, mille juures keha 2 mingisugust punkti, mis on temaga liikumatult seotud on kogu liikumise aja liikumatud
Vastasmõju puudumisel või vastasmõjude kompenseerumisel on keha kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. 2. Newtoni teine seadus väidab, et kehale mõjuv jõud võrdub keha massi ja selle jõu poolt kehale antud kiirenduse korrutisega: F=ma Newtoni teisest seadusest järeldub, et keha kiirenduse määramiseks on vaja teada kehale mõjuvat jõudu ja keha massi: a= F/m Kiirendusvektori suund ühtib alati jõuvektori suunaga.Rahvusvahelises mõõtühikute süsteemis on jõuühikuks njuuton (N). 1 N on jõud, mis annab kehale massiga 1 kg kiirenduse 1 m/s 3. Newtoni kolmas seadus väidab, et kaks keha mõjutavad teineteist jõududega, mis on absoluutväärtuselt võrdsed ja vastassuunalised. 1.Iga keha säilitab oma oleku kas paigalseisu või ühtlase sirgjoonelise liikumise kujul seni, kuni temale rakenduvad jõud seda olekut ei muuda. 2
ning trajektoori kõverusraadiusest R 31. Kas sirgjoonelisel liikumisel kiirusvektor ja kiirendusvektor saavad olla ühesuunalised? Jah 32. Kas kõverjoonelisel liikumisel kiirusvektor ja kiirendusvektor saavad olla ühesuunalised? Ei 33. Kas sirgjoonelisel liikumisel kiirusvektor ja kiirendusvektor saavad olla risti? Ei 34. Kas kõverjoonelisel liikumisel kiirusvektor ja kiirendusvektor saavad olla risti? Jah 35. Kuhu on suunatud kiirendusvektori tangentsiaalkomponent? piki trajektoori puutujat 36. Kuhu on suunatud kiirendusvektori normaalkomponent? kõveruskeskpunkti 37. Mis on radiaan? kesknurk, millele vastava kaare pikkus on võrdne raadiuse pikkusega. 1 rad = 180/ kraadi 38. Mis on nurkkiirus? Nurkkiirus on suurus, mida mõõdetakse pöörlemisnurga ja selle tekitamiseks kulunud - 0 aja suhtega = t Näitab millise pöördenurga sooritab keha ajaühikus. 39
Jäigalt kinnitatud vedru jäikusega k külge on kinnitatud koormis massiga m . Võnkumisi võib lugeda harmoonilisteks, kui vedru deformeerub elastselt ning keskkonna takistus pole arvestatav. Liikumist põhjustav jõud ning elastsusjõud on omavahel tasakaalus, kui võnkuv koormis on äärmises paigalseisu asendis. Kehtib seos ma = -kx Kiirendusvektori a moodul on igal ajahetkel võrdne koormise kordinaadi x teise tuletisega aja järgi a = x on tegemist järjekordselt vastandvektoritega ja nende moodulid loeme võrdseteks ning vastasmärgilisteks. Selleset tulenevalt k on nende summa võrdne nulliga mx + kx = 0 ehk x + x =0 Otsime m
Et kiirus- ja kiirendusvektor komponentkujul esituvad r r r r v = i v x + j v y + k v z = (v x , v y , v z ), r r r r (1.5) a = i a x + j a y + k a z = (a x , a y , a z ), siis liikumisvõrrandid komponentkujul avalduvad v x = x&, a x = v& x = &x&. (1.6) Analoogilised võrrandid kirjutame ka kiirus- ja kiirendusvektori y- ja z-komponentide jaoks. Võrrandid (1.6) on liikumisvõrrandid kõige üldisemal juhul. Eraldi näitena käsitleme gümnaasiumikursusest tuttavat erijuhtu – ühtlaselt muutuvat liikumist. Ühtlaselt muutuvaks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille käigus keha kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike vältel võrdsete suuruste võrra. r Selline liikumine rahuldab tingimust (a = const ) , punktmassi kohavektor muutub ajas
annaabi.ee 
