Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus......................................
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus......................................
). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32. Taylori ja Maclaureni read (definitsioon, leidmine). 33. Astmerida (definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall – kuidas neid leida?). 34. Fourier rea rakendusalasid. 35. Zeno paradoksid. 1. 2. nivoojooneks 3. 5.
n →0 hajub ja kui on väiksem 1st siis koondub ∞ Harmooniline rida- ∑ n1k kui k on väiksem või võrdne 1ga siis n →0 hajub, kui k on suurem kui üks koondub. 29.Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alambert, võrdlustunnus, integraaltunnus) lim √n u n=C Cauchy tunnus: n →∞ kui C on väiksem 1 siis koondub, kui C on suurem 1 siis hajub. Kui C=1 siis jääb küsimus lahtiseks u n+1 D’Alamberti tunnus: lim =D kui D on väikesm 1 siis koondub n →∞ un kui D on suurem ükest siis hajub
Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu integraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Integraaltunnus: Olgu positiivsete liikmetega rida, kusjuures Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1
valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
Kui leidub piirväärtus n ¿1, siis ei saa otsustada Leibnizi tunnus Kui n=0, 1, 2, ... jaoks on täidetud tingimused: 1) un > un+1 > 0 lim u ( n )=0 2) n , siis vahelduvate märkidega rida koondub Integraaltunnus Kui f on pidev monotoonselt kahanev funktsioon piirkonnas [a, ¿ ja un=f(n), siis positiivne rida u ( n) ja päratu integraal f ( x ) dx n=0 a koonduvad (hajuvad) samaaegselt
an = 0 33. Positiivsete arvridade võrdlusteoreemid majoranttunnus Olgu antud positiivsete liikmetega read ai ja bi ja, kusjuures aibi, st teine rida majoreerib ehk on esimese rea majorant. Kui majoreeriv rida bi koondub, siis koondub ka ai integraaltunnus Olgu S=ai positiivsete liikmetega rida, kusjuures a1a2a3 ... Peale selle olgu f(x) niisugune pidev ja mittekasvav funktsioon, et f(1)=a1, f(2)=a2, f(3)=a3,... Siis kehtivad järgmised väited 1) kui f ( x)dx 1 koondub, siis S koondub 2) kui f ( x)dx 1 hajub, siis S hajub 34. Arvrea koonduvuse d´Alembert´i tunnus Teoreem: Kui positiivsete liikmetega rea u1+u2+u3+...+un+..
Kui l < 1, siis rida s koondub. 2. Kui l > 1, siis rida s hajub. 2. Kui l = 1, siis jääb küsimus rea s koonduvusest lahtiseks. Leibnitzi tunnus. Kui vahelduvate markidega rea a1- a2 +a3- a4 +a5 -... liidetavad on sellised, et kehtivad võrratus a1 > a2 > a3 > ja lim i ai = 0 siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea esimest liidetavat. Integraaltunnus. Olgu s = a i=1 i positiivsete liidetavatega rida, kusjuures a1 a2 a3 ..... Peale selle olgu f(x) mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi f(1) = a1 , f(2) = a2 , f(3) = a3 , : : : : Siis kehtivad jargmised väited: 1. Kui paratu integraal 1
G ( x) a = G (b) - G ( a ) = [ F (b) + C ] - [ F ( a ) + C ] = F (b) - F ( a ) = F ( x) a = f ( x ) dx b b a 30. Päratud integraalid (definitsioonid, lihtsamad arvutusnäited ). Arvrea koonduvuse integraaltunnus. b Määratud integraali f ( x)dx defineerimisel eeldasime, et < a b < . Lisaks on Riemanni integraali a olemasolu tarvilik tingimus on funktsiooni f tõkestatus lõigus [a,b]. Osutub, et nendest eeldustest saab vabaneda, kui sobivalt üldistada määratud intrgraali mõistet. Niiviisi jõuame päratu integraali mõiste juurde. Integraal tõkestamata funktsioonist.
Kui l=1, siis teoreem ei anna vastust rea koonduvuse või hajuvuse küsimusele. 13. Cauchy tunnus: vastav teoreem tõestuseta (teoreem 37.1). Teoreem 37.1. (Cauchy tunnus). Kui positiivsete liikmetega rea u1+ u2+...+un+... korral on suurusel n n tõkestamatul kasvamisel lõplik piirväärtus l, s.t. kui , siis 1) rida koondub, kui l<1, 2) rida hajub, kui l>1 . Kui l=1, siis teoreem ei anna vastust rea koonduvuse või hajuvuse küsimusele. 14. Rea koonduvuse integraaltunnus: vastav teoreem tõestusega (teoreem 37.2). Teoreem 37.2. Olgu rea u1+ u2+...+un+... liikmed positiivsed ja mittekasvavad, s.t. u1 u2u3... ja olgu f(x) niisugune pidev mittekasvav funktsioon, et f(1)=u1, f(2)=u2,..., f(n)=un,... . Siis kehtivad järgmised väited: 1) kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida u1+ u2+...+un+...; 2) kui nimetatud integraal hajub, siis hajub ka rida u1+ u2+...+un+... . 15
Kui majoreeriv rida Joonintegraali definitsiooni kohaselt Analoogselt bi koondub, siis koondub ka ai - Gx' ( x, y )dxdy = G ( x, y )dx n integraaltunnus lim ( F ( Pi ) xi = F ( x, y ) dx , Olgu S=ai positiivsete liikmetega rida, kusjuures a1a2a3 ... Peale päripäeva selle olgu f(x) niisugune pidev ja mittekasvav funktsioon, et f(1)=a 1,
1. Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine. Muutujavahetus päratus integraalis (𝒌 = 𝟐𝒋 ). Integraaltunnus: Olgu 𝒔 = ∑∞ 𝒊=𝟏 𝒂𝒊 positiivsete liikmetega rida, kusjuures 𝒂𝟏 ≥
D`Alemberti: vaatleme positiivset rida u n , u n > 0 . Moodustame suuruse Dn = n +1 ; n un D = lim Dn . Kasut kui sis faktoriaale nt n!. n 0 lim Dn < 1 , siis rida koondub; lim Dn > 1 , rida hajub; lim Dn = 1 , küsimus lahtine. Cauchy: mood suuruse c n = n u n . 0 lim Dn < 1 , siis rida koondub; lim Dn > 1 , rida hajub; lim Dn = 1 , küsimus lahtine. Palju n-indaid astmeid. Integraaltunnus: kui pos rea üldliikme un=f(n) puhul funktsioon y=f(x) rahuldab tingimusi: a) f(x) on määr piirkonnas [1, ) b) f(x) on pidev piirkonnas [1, ) c) f(x) on monotoonselt kahanev selles piirkonnas, siis rida un n ja pärati int I = f ( x)dx
Eksisteerigu f ( x ) dx , iga l ( - , b ] korral, siis defineerime päratu integraali l piirkonnas (,b] seosega b b f ( x)dx = lim f ( x)dx. (8) - l - l Kui eksisteerib lõplik piirväärtus seoses (7) (seoses (8)), siis nimetame vastavat päratut integraali koonduvaks, vastasel korral hajuvaks. 3.3. Rea koonduvuse integraaltunnus. Teoreem 24. Kui positiivse rea u n korral u n = f (n) ,ja f on pidev monotoonselt n =1 kahanev funktsioon piirkonnas [ a, ) , siis vaadeldav rida ja päratu integraal f ( x)dx koonduvad (hajuvad) samaaegselt. a 1 1 Näide Rea korral f ( x) = . n =1 n x Kuna 1 l 1 dx = lim dx = lim (ln l - ln 1) = ,
k =0 k koondub, siis M > 0 : 0 u k v k < M . k =0 k =0 Kui rida u k hajub, siis m > 0 : 0 m < u k vk . k =0 k =0 k =0 Järeldus (Integraaltunnus): Kui rida u n u n = f (n ) , kus f on positiivne funktsioon lõigus [1, ) , on n =1 monotoonselt kahanev, siis see rida koondub parajasti siis, kui koondub päratu integraal f (x )dx .
. . . . . 143 6.3 Ridade koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.1 Võrdluslaused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.2 Cauchy ja d’Alembert’i koonduvustunnus . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3.3 Leibnizi koonduvustunnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3.4 Integraaltunnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.5 Cauchy kondensatsiooniprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.6 Abeli ja Dirichlet’ koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.4 Ridade ümberjärjestused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.5 Funktsionaalread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . .
2 2 lim ln k k = limln k k k k (2 ln k) 2 = lim = lim = 0 k k k k ja 1 1 C = e0 = < 1 2 2 Sellega on vaadeldava frea koonduvus t~oestatud ka Cauchy tunnuse abil. Teoreem 5 (integraaltunnus). Olgu u(x) pooll~oigul [1; ) monotoon- selt kahanev funktsioon, mille v¨a¨artusteks t¨aisarvuliste argumentide korral 7 on rea (8.1) liikmed, st u(k) = uk . Siis rida (8.1) koondub parajasti siis, kui koondub p¨aratu integraal u(x)dx 1 N¨ aide 4. Uurime harmoonilise rea
annaabi.ee 
