x < y, x = y, x > y. 8 Kompleksarvud Võrrandil x2 + 1 = 0 pole lahendit reaalarvude vallas, kuna - 1 pole reaalarvude vallas defineeritud. Arvu, mille ruut on 1, nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i, s. t. i = - 1 Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja arvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Näiteks on kompleksarvud 5 - 4i, - 2i 9 Kompleksarvud Näide: x 2 - 6 x + 13 = 0 x1, 2 = 3 ± 9 - 13 = 3 ± - 4 Kuna i = - 1, siis x1, 2 = 3 ± 4 (-1) = 3 ± 2 (-1) = 3 ± 2i 10
Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . . imaginaar¨ uhik: i2 = −1 Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨ uhik, nimetatakse kompleksarvuks. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨ahistatakse Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨ahistatakse Im(z) = b. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . . imaginaar¨ uhik: i2 = −1 Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨
Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist. Komar liitmine ja lahutamine on kõige otstarbekam teha algebralisel kujul. Def. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on komar z1 + z2 =
Võib nad moodustavad inversiooni. nim. kompleksarvudeks. Arvu a nim. kompleksarvu reaalosaks, arvu bi kommutatiivsus skalaariga korrutamise olla rohkem kui 1 lahend, k. A. Lõpmatus. Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale imaginaarosaks, b on imaginaarosa kordaja. suhtes ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda (a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i elementide korrutistest moodustatud summe põhjal, kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõistet. (a+bi)-(c+di)=a+bi-c-di=(a-c)+(b-d)i
Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise valemid. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi (1.3) kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja teist liidetavatbi aga tema imaginaarosaks. Arvu, mille ruut on - 1 , nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i. Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z =a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. 12.Geomeetriline vektor. Vektori pikkus. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. pikkus on vektori arvväärtus
z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist. Komar liitmine ja lahutamine on kõige otstarbekam teha algebralisel kujul. Def. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja
Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene. Kaht kompleksarvu z = a + ib ja x = c + id nimetatakse võrdseteks, kui a = c ja b = d. - Püsikomaarvud on kõik täisarvudest erinevad reaalarvud, nt 65346,324. Ujukomaarv
Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene. Kaht kompleksarvu z = a + ib ja x = c + id nimetatakse võrdseteks, kui a = c ja b = d. - Püsikomaarvud on kõik täisarvudest erinevad reaalarvud, nt 65346,324.
Nt. 11/4=2.7500000...; reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge; kompleksarv - arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik (arv, mille ruut on -1). Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene. Kaht kompleksarvu z = a + ib ja x = c + id nimetatakse võrdseteks, kui a = c ja b = d. · Püsikoma- ja ujukomaarv, nende võrdlemine.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja arvu bi selle imaginaarosaks. KOMPLEKSARVUD Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui b = 0, siis saame arvu a + 0·i, mis on reaalarv a. Kui a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. KOMPLEKSARVU MÕISTE. TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA
geniaalse Peterburi akadeemiku L. Euleri (1707 1783) töödega. Definitsioon. Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defineeritakse võrdusega 1. Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse . Definitsioon. Kompleksarvu z = a + ib korral nimetatakse arvu a selle kompleksarvu reaalosaks ja arvu b nimetatakse selle kompleksarvu imaginaarosaks. Definitsioon. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. a + ib ja b=d Defineerime tehted arvudega a + ib ja : Definitsioon. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on kompleksarv z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2). Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Näide.
2 /C 1 2 V. Kompleksarvud 1.3 Reaal- ja imaginaarosa Arvu a R nimetatakse kompleksarvu z = ab -b a C reaalosaks ja t¨ahistatakse a = Re z. Arvu b R nimetatakse kompleksarvu z = ab -ba C imaginaarosaks ja t¨ ahistatakse b = Im z. 1.4 ¨ Uhik, imaginaaru ¨ hik ja null Kompleksarvu I := ( 10 01 ) := 1, s.t teist j¨ arku u ¨hikmaatriksit ni- metatakse u ¨hikuks ehk u ¨heks. Kompleksarvu i := 01 -1 0 nime- uhikuks. Kompleksarvu 0 := ( 00 00 ) nimetatakse tatakse imaginaar¨ nulliks. Lause 1
ALGEBRALINE JA TRIGONOMEETRILINE KUJU 15.1 Sissejuhatus 15.2 Kompleksarvud Definitsioon 15.1 Imaginaarühikuks nimetatakse arvu i, millel on omadus i2 = -1. Definitsioon 15.2 Kompleksarvuks nimetatakse avaldist z = a + b · i, (15.1) kus a ja b on reaalarvud ning i on imaginaarühik. Definitsioon 15.3 Seejuures nimetatakse arvu a kompleksarvu z = a + b i reaalosaks (a = Re(z)), arvu b kompleksarvu z imaginaarosaks (b = Im(z)). Arve b i nimetatakse imaginaararvudeks. Kõigi kompleksarvude hulka tähistame sümboliga C. Märkus 15.1 Igale kompleksarvule z = a + b i vastab üks-üheselt reaalarvude järjestatud paar (a, b), millele omakorda vastab üks-üheselt xy-tasandi punkt A = (a, b). Seega võime kõiki kompleksarve kujutada punktidena koordinaattasandil. Sellist tasandit nimetatakse komplekstasandiks ehk ka Argand'i tasandiks ja joonist selle peal Argand'i diagrammiks.
Ta asub nullpunktist sama kaugel kui reaaltelje ühik. 90 arvuhulgad Nii on teised komplekstelje punktid antavad kujus ja nii edasi. Kõikvõimalikud kompleksarvud saame, kui vaatame arve kujus , kus ja on reaalarvud. Reaalarvu a kutsutakse kompleksarvu reaalosaks ja -d tema imaginaarosaks. Joonistame komplekstasandile näiteks punktid . 91 Iga reaalarvu korral võime rääkida tema suurusest ehk absoluutväärtusest – peame silmas talle vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist [lk 120]. Sama- moodi võime ka iga kompleksarvu korral rääkida tema suurusest – talle kompleks-
annaabi.ee 
