öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi, saavutamaks MAATRIKSI TRAPETSKUJU, mille puhul peadiagonaalil asuvad nullist erinevad elemendid on koondatud maatriksi vasakusse ülemisse nurka, nende all asuvad nullid ja viimased read võivad koosneda nullidest. Peadiagonaali nullist erinevate elementide arv määrab astaku r ja maatriksi vasakul üleval nurgas asuvad elemendid määravad baasimiinori. Esimesed r rea- ja veeruvektorit moodustavad baasid vastavalt maatriksi rea- ja veeruvektorite hulgas.
öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi, saavutamaks MAATRIKSI TRAPETSKUJU, mille puhul peadiagonaalil asuvad nullist erinevad elemendid on koondatud maatriksi vasakusse ülemisse nurka, nende all asuvad nullid ja viimased read võivad koosneda nullidest. Peadiagonaali nullist erinevate elementide arv määrab astaku r ja maatriksi vasakul üleval nurgas asuvad elemendid määravad baasimiinori. Esimesed r rea- ja veeruvektorit moodustavad baasid vastavalt maatriksi rea- ja veeruvektorite hulgas.
enamlevinud meetodeid lineaarvõrrandite süsteemide lahendamiseks ja on rakendatav ka juhul, kui süsteemi kordajate maatriksi determinant võrdub nulliga või kui süsteemi tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute võrrandite arvust. Põhimõtteliselt on Gaussi meetod liitmisvõtte edasiarendus. Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest. (A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule: (E/C), kus C on antus süsteemi lahendimaatriks. Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: Maatriksi ridade vahetamine. Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. 8) Pöördmaatriks. Maatriksvõrrand. 9) Funktsiooni piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. 10) Funktsiooni pidevus ja katkevus.
1 -1 0 1 2 2 1 -4 1 -3 9 3 1 3 -4 9 -2 6 Vahetame selles esimese ja teise rea. Saame Näide (2) 1 -1 0 1 2 2 3 -5 1 0 10 6 1 -4 1 -3 9 3 1 3 -4 9 -2 6 Uue esimese rea abil, kasutades ridade elementaarteisendusi saavutame nullid esimesse veergu (välja arvatud esimese rea esimene element): 1 -1 0 1 2 2 1 -1 0 1 2 2 3 -5 1 0 10 6 -3I 0 -2 1 -3 4 0 1 -4 1 -3 9 3 -I 0 -3 1 -4 7 1 1 3 -4 9 -2 6 -I 0 4 -4 8 -4 4 Nüüd jagame viimase rea neljaga ja vahetame viimase ja teise rea asukoha. Saame Näide (3)
Teostades ülalkirjeldatud teisendusi lvsi võrranditega, saame ka uuele süsteemile välaj kirjutada laiendatud maatriksi. Seejuures on ilmsed vastavused: kui korrutame süsteemi mingit võrrandit arvuga, siis tuleb korrutada selle arvuga maatriksi vastavat rida. Vahetades kaks võrrandit, tuleb maatriksis sama teha. Liites ühele võrrandile mingi arv kordse teise võrrandi, tuleb maatriksi sama teha. Gaussi meetod. 1) kirjutada välja lvsi laiendatud maatriks 2)teisendada see ridade elementaarteisendusi kasutades kujule, kus on võimalikult palju nulle 3)kirjutada välja saadud maatriksile vastav lvs 4)kirjutada välja lvsi lahend kasutades vajadusel tagasiasendust. Def lvsi üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, millest on parameetritele arvväärtuste omistamise teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle
Definitsioon 2. Kui maatriksis A leidub vähemalt üks nullist erinev r järku miinor, kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse , et maatriksi astak (rank) on r. Miinorite arvitamise hõlbustamiseks teisendatakse kõigepealt maatriksi A peadiagonaalist allpool asuvad elemendid nullideks, millest enamasti piisab astaku üle otsustamiseks. Vajadusel võib teisendada kõik peadiagonaalivälised elemendid nullideks. Selleks kasutatakse maatriksi elementaarteisendusi (vt. p. 1.3). 1 - 2 3 1 3 -6 8 1 - 2 4 - 3 4 -1 1 - 1 3 Näide. Leida maatriksi A = astak. Lahendus. Töötleme maatriksit A elementaarteisendustega (vt. p. 1.3.)
Definitsioon 2. Kui maatriksis A leidub vähemalt üks nullist erinev r järku miinor, kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse , et maatriksi astak (rank) on r. Miinorite arvitamise hõlbustamiseks teisendatakse kõigepealt maatriksi A peadiagonaalist allpool asuvad elemendid nullideks, millest enamasti piisab astaku üle otsustamiseks. Vajadusel võib teisendada kõik peadiagonaalivälised elemendid nullideks. Selleks kasutatakse maatriksi elementaarteisendusi (vt. p. 1.3). 1 -2 3 1 3 -6 8 1 Näide. Leida maatriksi A = astak. -2 4 -3 4 -1 1 -1 3 Lahendus
1 -5 4 D1 = = 9; 2 1 3 1 4 2 3 1 4 D2 = = -3; 2 -4 1 1 3 4 3 -5 1 D3 = = -12, 9 -3 - 12 X1 = - 6 = -1,5; X2 = - 6 = 0,5; X3 = - 6 = 2. 3. Gaussi meetod: Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest. (A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule: (E/ ). Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: · Maatriksi ridade vahetamine. · Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. · Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased maatriksid, mis vastavad omavahel ekvivalentsetele võrrandisüsteemidele.
3 -5 1 9 -3 -12 X1 = -6 = -1,5; X2 = -6 = 0,5; X3 = -6 = 2. 3. Gaussi meetod: Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest. (A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule: (E/ ). Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: · Maatriksi ridade vahetamine. · Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. · Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased maatriksid, mis vastavad omavahel ekvivalentsetele võrrandisüsteemidele.
7. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Lineaarse vôrrandsüsteemi maatrikskuju: AX=B; A=(aij), i=1,...,m ja j=1,...,n. X muutujate maatriks; B vabaliikmete maatriks; A kordajate e. süsteemimaatriks. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamisest maatrikskujul. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga: elementaarteisendusi kasutades tuleb tekitada lineaarse vôrrandisüsteemi laiendatud maatriksis peadiagonaali alla 0-d, ning alustades alumisest reast lugeda välja lahendid. 9. Koordinaatsüsteem sirgel. Ristkoordinaadistik tasandil. Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil. Koordinaatsüsteemi sirgel määravad: 1) Suunaga arvsirge 2) Alguspunkt (liikumise algus; O) 3) Pikkusühik. Ristkoordinaadistik tasandil: 1) Kaks ristuvat suunaga arvsirget 2) Alguspunktid ühtivad 3) Ühikud on vôrdsed.
vasturääkivaks, kui süsteemil (1) ei ole lahendeid. Elementaarteisendused: nim. 1) tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga 2) tema mingile võrrandile teise mistahes arvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist Gaussi meetodi kirjeldus - Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest.(A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule:(E/ ). Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: Maatriksi ridade vahetamine. · Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. · Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased maatriksid, mis vastavad omavahel ekvivalentsetele võrrandisüsteemidele.
misega). Teoreem 8. LVS-i elementaarteisendused ei muuda LVS-i lahen- dihulka. T~ oestus. Soovitav t~ oestada iseseisva harjutusena. 7.4 Trepikujuline LVS ¨ Utleme, et LVS on trepikujuline, kui tema kordajate maatriks on treppmaatriks. 7.5 Gaussi meetodi idee Gaussi meetod on LVS-ide ¨ okonoomne lahendusmeetod elemen- taarteisenduste abil. Meetodi aluseks on t¨ ahelepanek, et LVS-i elementaarteisendusi v~oib sooritada maatriksesituses, kasutades IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 9 LVS-i laiendatud maatriksi (peamiselt ridade) elementaarteisen- dusi. LVS teisendatakse elementaarteisendudte abil ekvivalentsele treppkujule. Meetod v~oimaldab 1) leida LVS-i maatriksi ja tema laiendatud maatriksi astakud, 2) kontrollida astakutingimust (koosk~olalisust), 3) selekteerida v¨alja vabad tundmatud (kui leiduvad),
5. Lineaarvõrrandisüsteemid Definitsioon 2.7 Maatriksi A astakuks nimetatakse selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeimat järku. Maatriksi astakut tähistatakse ka rank(A). Maatriksi astaku leidmiseks saab kasutada neid samu ridade ele- mentaarteisendusi, mis pöördmaatriksi leidmise juures. Selleks teisen- datakse maatriksis kõik elemendid ühele poole peadiagonaali nullideks. Elementaarteisendusi kasutades maatriksi astak ei muutu. 2.5 Lineaarvõrrandisüsteemid Vaatleme võrrandisüsteemi kujul a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
annaabi.ee 
