12²=144,1 3²=169 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega 1) am an = a m + n Näiteks: 2² 2³ = 22+3 = 25 = 32 Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4² = 64 Korrutise astendamisel võime astendada iga teguri eraldi. 4) (am)n = am × n Näiteks: (3²)5 = 3 2 × 5 = 310 = 59049 Astme astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust.
x1=0; x2=1. Siit saime kaks lahendit. · Teame ka, et arvu 1 astendades mistahes reaalarvuga, saame alati ühe. Seega võib võrrandil olla lahendeid, kui astme alus võrdub ühega. x+2=1; x3=-1. · Veel teame, et kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, siis saame positiivse arvu. Järelikult, kui arvu -1 astendada paarisarvulise astendajaga, saame ühe. Võrdsustame astme aluse -1-ga, saame x+2=-1; x4=-3. Nüüd peame veel kontrollima, kas siis, kui x=-3 on astendaja paarisarv. (-3)2-(-3)=9+3=12.
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega: Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega: Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise
3 1 1 1 1 1 . 4 4 4 4 64 1 kilobait = 210 baiti = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 baiti 1024 baiti. = algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivse arvu astendamine Näited (2)3 (2) (2) (2) 8. (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625. Järeldus viimastest näidetest: Kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, on tulemus positiivne, kui paarituarvulise astendajaga, on tulemus negatiivne. Negatiivset arvu astendades tuleb see alati sulgudesse panna: (4) 2 (4) (4) 16; aga: 42 4 4 16. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks (e
Kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne. Arvu aste: 2³=222=8 a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 8³=512 9³=729 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega: 1) am an = a m + n Näiteks: 2² 2³ = 22+3 = 25 = 32 Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4² = 64 Korrutise astendamisel võime astendada iga teguri eraldi. 4) (am)n = am × n Näiteks: (3²)5 = 3 2 × 5 = 310 = 59049 Astme astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust.
1) Võrdsete alustega astme korrutamine. *Võrdsete alustega astme korrutamisel astendajad liidetakse. am x an = a m+n 2)Võrdsete alustega astme jagamine. *Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine, *Astme astendamisel astendajad korrutatakse. ( a m ) n = a mxn 6) Hulkliikme korrutamine üksliikmega. *Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliige iga liige läbi korrutada selle üksliikmega. ( a + b + c ) x d = ad + bd + cd 7) Hulkliikme jagamine üksliikmega. *Hulkliikme jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige läbi jagada selle üksliikmega.
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu
Segaarvu jagamisel tuleb segaartv teisendada liigmurruks. Järgnevalt toimi eespool toodud näidete kohaselt. Segaarvu jagamine täisarvuga Võid toimida ka nii Kirjuta segaarv sulgudesse täisosa ja liidetava summana. Jaga mõlemad liidetavad täisarvukujulise jagajaga läbi ja summeeri jagatavad. Hariliku murru astendamine n n a a = n b b Hariliku murru astendamisel tuleb astendada eraldi nii lugeja kui ka nimetaja. Hariliku murru juurimine a a = b b Hariliku murru juurimisel tuleb nii lugeja kui ka nimetaja eraldi juurida. Murrud ja negatiivne astendaja -n n n a b b = = n b a a Negatiivse astmenäitaja kporral tuleb astendada murru pöördväärtus. Negatiivne murd
Segaarvu jagamisel tuleb segaartv teisendada liigmurruks. Järgnevalt toimi eespool toodud näidete kohaselt. Segaarvu jagamine täisarvuga Võid toimida ka nii Kirjuta segaarv sulgudesse täisosa ja liidetava summana. Jaga mõlemad liidetavad täisarvukujulise jagajaga läbi ja summeeri jagatavad. Hariliku murru astendamine n n a a = n b b Hariliku murru astendamisel tuleb astendada eraldi nii lugeja kui ka nimetaja. Hariliku murru juurimine a a = b b Hariliku murru juurimisel tuleb nii lugeja kui ka nimetaja eraldi juurida. Murrud ja negatiivne astendaja -n n n a b b = = n b a a Negatiivse astmenäitaja kporral tuleb astendada murru pöördväärtus. Negatiivne murd
taandamisvõttega lahutada 3-1=2 13.Jagatise astendamine - astendatakse eraldi jagatav ja jagaja ning jagatakse esimene tulemus teisega (a:b)n=an:bn 14.Astendaja 0 ja 1 - iga nullist erinev arv astmes 0 on võrdne 1-ga ; iga astmealus astmes 1 on võrdne iseendaga 15.Negatiivne astendaja - nullist erinevat arvu negatiivse täisarvuga astendades tuleb arv või astendada selle astendaja vastandarvuga ja leida saadud astme pöördväärtus ; võib ka teisiti: astendada aluse pöördarv astendaja vastandarvuga 16.Täisarvuline astendaja - sama alusega Õ ül.148,149,152 astmete puhul tuleb astendajatega tehe ära teha ja arvutada; astme või korrutise või jagatise astendamisel tuleb mõelda, kas teha enne tehe = = = = sulgudes või astendajatega
(said aru, ÜHE tühiku jätmiseks). Eraldi osa on klaviatuuril numbriklaviatuur, mis on klaviatuuri paremal servas. Erinevad märgid klahvidel Tihti on vaja kasutada (ümmargusi sulge). Olles juba koodikirjutaja, siis on vaja {loogelisi sulge}, kui ka [kandilisi sulge]. Elementaarne on ka märgi < on väiksem ja märgi > on suurem kasutamine. Olles aga kasutaja tabelarvutuses, siis seal algavad kõik valemid märgiga = ehk võrdlusmärk. Vahel on vaja ka astendada, siis kasuta märki ^. Palju tuleb tegemist hindadega, seega $ dollar, € euro ja isegi £ nael on vajalik. Käsureal on vajalik klahvi |. Märgid & (ja), % (protsent), ,,jutumärgid``, ! hüüumärk on aga liiga igapäevased. Samas aga / (slash) ja (backslash) on väga tavalised IT inimestele . Natuke tuleb ka seadustega kursis olla, seega § (paragrahv) võib osutuda vajalikuks. Soovitav on vahet teha ka – (sidekriipsul), kui ka _ (allkriipsul)
ax x bx=(ab) nt: 2 x 5 =0,01 (2x5)=1/100=10 10=10 x=-2 2) sulgude ette toomine x1+x2 x1-x2 ax1 x ax2=a ax1/ax2=a 1)Ühesuguste alustega astme korrutamisel/jagamisel tulevad astendajad liita/lahutada 2)Astme astendamisel korrutatakse astendajad 3)Astme juurimisel tuleb astme näitajad jagada juurijaga 4)Juure astendamisel tuleb astendada juuritav 5)Juure juurimisel tuleb korrutada juurijad Arvu logaritm b Olgu avaldis a =c b 1) kui on antud a ja b, siis c=a b 2) kui on antud b ja c, siis a=c b 3) kui on antud a ja c, siis b=loga a-logaritmi alus b-logaritmitav c-arvu b logaritm alusel a
Nt 0.024500 tüvenumbrid on 245 Millist teisendust nimetatakse ka arvu väärtuse leidmiseks? 10nd süsteemi teisendamist, kuna arvu väärtus on eranditult seotud ainult 10ndsüsteemiga. Mida näitab arvu järel olev indeks? Millises süsteemis ta on. Milline on lihtsaim võimalik arvusüsteem? Kahendsüsteem Kuidas on määratud arvujärkude kaalud kahendsüsteemis? Samamoodi nagu kümnendisüsteemi nöite puhul aint vahe see, et nüüd on aluseks 10 asemel 2 mida tuleb astendada arvujärgu indeksiga. Vt. kuidas teisendada erinevatese arvusüsteemidesse. Millsied neli arvusüstemei on kõige olulisemad? 2-nd, 8nd,10nd,16nd Mis on oktaalarvud?Killisele arvusüsteemile viitab nimetus hex? Oktaalarvud on 8nd arvud. Hex peaks olema siis 6nd arvud, kuna hex on kreeka keeles 6. Kuidas tähistatakse 16ndnumbreid väärtustega 10.....15? tähed A-F Milline on suurima alusega praktiliselt kasutatav arvusüsteem? 16nd. Milleks 16nd süsteemi kõige enam kasutatakse?
b saame teisendades valemit tan = . a Näted: 23i= 13cos 56° isin 56 ° on eksponentkujul 13e i56 ja 5i= 26 cos 11° isin 11° on 6ei11 Nende arvude korrutis on 13e i56 6ei11 = 13 6e i 5611= 78 e i67 jagatis aga 13e i56 : 6ei11 = 6 6 13e i 56-11= 13 e i45 ja kui astendada arvu 13e i562 = 13e i112 Ülesanded: 1. Lahendage võrrandid. x 2 - 4 x - 5 = 0 x 2 + 6 x + 18 = 0 x 3 + 2x 2 + 5x = 0 2. Kirjutage kaks kompleksarvu, mille summa on reaalarv, korrutis on reaalarv. 3. Lihtsustage (1+i)-(5+2i)+(4-3i) (3+2i)(4+6.5i) (1+2 3 i)(2-3 3 i) (6-7i)(5+i)(5-i) 2i(4+8i)(1+2i) (5+4i)(-2-i)(5-4i)(-2+i) 1 3+i 3 - 5i 1 + 2i 4
Muutujate väärtused on 3. reas. Kontrolli tulemust veerust D. 2. tabelis teisenda kraadid radiaanideks ja seejärel radiaanid tagasi kraadideks. Vajalikud funktsioonid: pi - PI()NB! Pi funktsioonil argumendid puuduva ruutjuur - arv või avaldis astendada murruga 1/2 NB Murd esitatakse alati sulgudes! lg (alus-10) funktsioon - LOG10 e funktsioon - EXP sin funktsioon - SIN cos funktsioon - COS radiaanid - RADIANS kraadid - DEGREES Kraadid Kraadid Radiaanid Kraadid
11²= 12²= 13²= 14²= 15²= 16²= 17²= 18²= 19²= 20²= 21²= 22²= 23²= 24²= 25²= 121 144 169 196 225 156 289 324 361 400 441 484 529 576 625 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 8³=512 9³=729 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega 1) am an = a m + n Näiteks: 2² 2³ = 22+3 = 25 = 32 Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust. 8 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4² = 64 Korrutise astendamisel võime astendada iga teguri eraldi. 4) (am)n = am × n Näiteks: (3²)5 = 3 2 × 5 = 310 = 59049
· c=loga b kui ac = b. · Näited: log28=3, sest 23=8; · log31/81=-4, sest 3-4=1/81 jne. · Aga log18=???; log-28=????; log0=??? · Logaritm defineeritakse positiivsete a ja b korral, kusjuures a1 26. Logaritmfunktsioon, graafik- · Vaatame funktsiooni y=ax · Antud astendaja (määramispiirkonnast), leiame astme · Leiame selle funktsiooni pöördfunktsiooni: x=ay · Antud astme väärtus x (määramispiirkonnast). Leiame arvu, millega tuleb astendada. Seega leiame vastuse küsimusele: · Millise arvuga tuleks arvu a astendada, et saada arv x? · Toome sisse uue termini ja tähistused selle otsitava arvu tarvis · y=loga x , · seega y on selline arv, millega a-d astendades saame x ehk ay =x · alogax=x · Oleme saanud uue funktsiooni, mida nimetame logaritmfunktsiooniks · 27. Paaritu funktsioon- · Funktsiooni, mille graafik on sümmeetriline punkti (0;0) suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks.
= 0 N N 0 Ruutvõrrand Juurvõrrand - võrrand, milles tundmatu esineb juuritavas. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 0 Võrrandi mõlemaid pooli tuleb astendada - b ± b 2 - 4ac (sobivalt valitud) ühe ja sama x1, 2 = naturaalarvulise astendajaga. 2a Diskriminant D = b 2 - 4ac NB! Võrrandi poolte astendamisel paarisarvulise astendajaga võib tekkida Kui D>0, siis 2 erinevat lahendit x1 x 2 .
liikme märgi vastupidiseks. 2) Võrratuse korrutamisel positiivse suurusega säilib võrratus; võrratuse korrutamisel negatiivse suurusega muutub võrratus vastupidiseks. 3) Samapidiseid võrratusi võib liikmeti liita. 4) Võrratusest võib liikmeti lahutada vastupidise võrratuse; tulemuses säilib esimese võrratuse märk. 5) Positiivsete pooltega samapidiseid võrratusi võib liikmeti korrutada. 6) Positiivsete pooltega võrratuse pooli võib astendada sama astendajaga. Võrratuse lahendamisel tuleb alati silmas pidada, et lahendite piirkondade hulka ei tohi sattuda tundmatu lubamatuid väärtusi, so selliseid väärtusi, mille puhul mõni võrratuses sisalduv avaldis kaotab mõtte. Võrratuse määramispiirkonnaks (MP) nimetatakse tundmatu kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral kõik võrratuses sisalduvad avaldised omavad tähendust 4 (on arvutatavad)
360 6.2831853072 360 1. tabelisse sisesta veergu C valem . Muutujate väärtused on 3. reas. Kontrolli tulemust veerust D. 2. tabelis teisenda kraadid radiaanideks ja seejärel radiaanid tagasi kraadideks. Vajalikud funktsioonid: pi - PI()NB! Pi funktsioonil argumendid puuduva ruutjuur - arv või avaldis astendada murruga 1/2 NB Murd esitatakse alati sulgudes! lg (alus-10) funktsioon - LOG10 e funktsioon - EXP sin funktsioon - SIN cos funktsioon - COS radiaanid - RADIANS kraadid - DEGREES Kraadid Radiaanid Kraadid 45 0.7853981634 45 90 1.5707963268 90 180 3
Lahendus. 16 ⋅ 25 = 16 ⋅ 25 = 4 ⋅ 5 = 20 . 9 Näide 4. Arvutada . 49 9 9 3 Lahendus. = = . 49 49 7 Näide 5. Korrutada x 3 ⋅ x 5 . Lahendus. x 3 ⋅ x 5 = x 3+5 = x8 . m7 Näide 6. Jagada . m4 m7 Lahendus. 4 = m 7 − 4 = m3 . m Näide 7. Astendada (n ) 5 2 . Lahendus. (n ) 5 2 = n5⋅2 = n10 . Näide 8. Kirjutada murruna y −4 . 1 Lahendus. y −4 = 4 . y 5 Näide 9. Kirjutada juurena b . 6 5 Lahendus. b = 6 b 5 . 6 3
0710678119 S 12.5 d ja vali Home menüüst P 17.0710678119 hti) r 1.4644660941 Sr 6.7376510557 1 c a2 b2 , S a b, P abc 2 2S r , Sr r 2 P Ruutjuur - SQRT või arv astendada murruga 1/2 (NB! Murd esitatakse alati sulgudes) Astendamine - POWER π funktsioon - PI (NB! PI funktsioonil puuduvad atribuudid) cm cm
2.17 Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada Geomeetriline jada on lõpmatult kahanev, kui tema teguri absoluutväärtus q <1 . a1 Jada summa: S = . 1-q Üldliige: an = a1q n -1 . 2.18 Logaritmid 15 Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. log a b = c , kui a c = b ( a > 0 a 1) . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b = b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b = b . Naturaallogaritmide korral: eln b = b . Logaritmide omadused 1. log a 1 = 0 . 2. log a a = 1 . 3. log a mn = log a m + log a n , kui m > 0 ja n > 0 .
q 1 q 1 2.17 Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada Geomeetriline jada on lõpmatult kahanev, kui tema teguri absoluutväärtus q 1. a1 Jada summa: S . 1 q n 1 Üldliige: an a1q . 2.18 Logaritmid Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. 15 log a b c , kui a c b a 0 a 1 . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b b . Naturaallogaritmide korral: eln b b . Logaritmide omadused 1
Nelja ja kuut kutsu- takse sellises olukorras astendajateks ning kolme ja viit astendatavaks ehk astme aluseks. Kas see ongi kõik? Muidugi mitte, võib tekkida mitmeid küsimusi. 1. Kas astendamisel on vastupidine tehe, nagu näiteks liitmisel on lahutamine? 2. Mis juhtuks, kui astendada komakohti sisaldavate arvudega nagu või 3. Kas saame astendada ka negatiivse arvu või nulliga? 110 Neile küsimustele üritamegi järgemööda läheneda. Kuna küsimusi on palju ning nende peale mõtlemine näitab päris hästi matemaatika arengut, siis jagub seletusi mitmetele lehtedele: head lugemist! arvu aste
annaabi.ee 
