Hulk (tavalises m~ottes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures elemendid ei kordu ja nende j¨arjestus ei ole kindlaks m¨a¨aratud. Hulga t¨ahistami- seks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogeliste sulgudega. N¨aiteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi
Hulk (tavalises m~ottes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures elemendid ei kordu ja nende j¨arjestus ei ole kindlaks m¨a¨aratud. Hulga t¨ahistami- seks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogeliste sulgudega. N¨aiteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨ arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi
Nagu eelmises peat¨ukis juttu oli, on keemilise s¨usteemi poolt sooritatav maksi- maalne t¨oo¨ v~ordne selle s¨usteemi Gibbsi energia muuduga: w = -G J¨arelikult -G = zF Eg Nullvoolupotentsiaali m~oo~detakse voltides, Zn|Cu-elemendis on see 1,0934 V (15 C juures). Saame arvutada, et selle reaktsiooni G=211,0 kJ/mol. Nullvoolupotentsiaali m~oo~tmise kaudu saame leida v¨aga t¨apseid Gibbsi energia v¨a¨artusi. YKI0020 Keemia alused Toomas Tamm 2011 S 2011/2012 18. Elektrokeemia 5 Elektroodipotentsiaalid Galvaanielemendi v~oib m~ottes jagada kaheks osaks, anoodi ja katoodi pooleks, ja omistada kummalegi neist elektroodipotentsiaali nii, et E g = E 2 - E1 Selgub, et elektroodipotentsiaalid on konstantsed s~oltumata sellest, milliste
Kasutades ruutv~orrandi lahendusvalemit, saame 3 - 2i ±(3 - 2i)2 - 4(5 - i) x= 2 3 - 2i ± 9 - 12i + 4i2 - 20 + 4i = 2 3 - 2i ± -15 - 8i 3 - 2i ± (1 - 4i) = = 2 2 Siin kasutasime ruutjuure -15 - 8i v¨ a¨artusi n¨ aitest 10.3. N¨ uu¨d saame 3 - 2i + (1 - 4i) 4 - 6i x1 = = = 2 - 3i 2 2 V. Kompleksarvud 15 3 - 2i - (1 - 4i) 3 - 2i - 1 + 4i 2 + 2i x2 = = = =1+i
f(x2) - f(x1) = f'(c)(x2 - x1) Selle v~orduse paremal poolel olev tuletis f'(c) on nullist suurem, kuna me eeldasime f'(x) positiivsust vahemikus (a,b). Nullist suurem on ka vahe x2 - x1, kuna me valisime punktid x1 ja x2 selliselt, et x1 < x2. Seega on valemi parem pool nullist suurem. Saame f(x2)-f(x1) > 0. Sellest j¨areldubki soovitud v~orratus f(x1) < f(x2). V¨aide 2 t~oestatakse analoogiliselt. 30. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Funktsiooni argumendi v¨a¨artusi, mille korral tuletis v~ordub nulliga v~oi l~oplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks (t¨apsemini: esimest j¨arku kriitilisteks punktideks). Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus . Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused . I - Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt.
x suhtes. Ilmutatud kujul on k~oik p~ohilised elementaarfunktsioonid: ruut- funktsioon y = x2 - 2x + 3, trigonomeetrilised funktsioonid, eksponent- ja logaritmfunktsioonid jne. Enne kui asuda funktsiooni ilmutatud kuju ja parameetrilise esitusviisi juurde, peab funktsiooni m~oistet laiendama. Edaspidi loeme muutuja y muu- tuja x funktsiooniks ka juhul, kui igale x v¨a¨artusele vastab kaks y v¨a¨artust, kolm y v¨a¨artust, ... , l~opmatult palju muutuja y v¨a¨artusi. Esimesel juhul ¨oeldakse, et funktsioon on kahene, teisel juhul - funktsioon on kolmene, ... , funktsioon on l~opmatult mitmene. 2 N¨ aide 1.3. Ilmutamata kujul on funktsioon x2 + y 2 = r2 , kus r on positiivne konstant. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga koordinaatide alguses, raadiusega r. Selle funktsiooni ilmutamiseks, st tei- y y1
17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. L~oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. L~oigul pidev funktsioon saavutab sellel l~oigul iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. Kui funktsioon f on pidev l~oigul [a,b] ja omandab selle l~oigu ots- punktides erineva m¨argiga v¨a¨artusi, siis leidub sellel l~oigul v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0. T~oestus. Omadus 3 j¨areldub otseselt omadustest 1 ja 2. Kuna f on pidev l~oigul [a,b], siis ta saavutab sellel l~oigul oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on l~oigu otspunktides erineva m¨argiga v¨a¨artused, siis on selle funktsiooni suurim v¨a¨artus positiivne ja v¨ahim v¨a¨artus negatiivne. Teisest ku¨ljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f
m f (x)dx M. b-a a 6 J¨arelikult b 1 f (x)dx b-a a on mingisugune v¨a¨artus v¨ahima ja suurima v¨a¨artuse vahel. L~oigul [a; b] pidev funktsioon aga omandab k~oiki v¨a¨artusi v¨ahima ja suurima v¨a¨artuse vahelt, muuhulgas ka seda v¨aa¨rtust. Seega leidub punkt [a; b], milles b 1 f () = f (x)dx. (5.2) b-a a Korrutades saadud v~orduse m~olemat poolt integreerimisl~oigu pikkusega b-a, saame v¨aite
Omadus 2. Kinnises t~ okestatud sidusas piirkonnas pidev funktsioon saavutab selles piirkonnas iga v¨ a¨artuse oma suurima ja v¨ ahima v¨a¨ artuse vahel. Omadus 3. Kui funktsioon f on pidev kinnises t~ okestatud sidusas piirkonnas D ja omandab selles piirkonnas nii positiivseid kui negatiivseid v¨ a¨artusi, siis leidub selles piirkonnas v¨ ahemalt u ¨ks punkt A nii et f (A) = 0. 14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise m~ oiste. Olgu antud m-muutuja funktsioon z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) ja olgu A = (a1 , a2 , . . . , am ) punkt funktsiooni f m¨a¨ aramispiirkonnas. Piirv¨a¨
xa ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 7 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ Jada Definitsioon (Jada) Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille ma¨ aramispiirkonnaks ¨ on naturaalarvude hulk N = {1, 2, 3, . . .}. Jada x va¨ artusi ¨ x(n) (n N) tahistame ¨ xn ja nimetame jada liikmeteks. ¨ Jada x tahistame {x1 , x2 , . . .} voi ~ {xn } ~ {xn } voi ~ {xn }nN . n=1 voi Kui xn R (n N), st x : N - R, siis nimetame jada x arvjadaks. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
aramispiirkonnaks ja hulka f (X) = {y| x X y = f (x)} Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk s~ oltumatuks muutujaks ja elementi y s~ oltuvaks muutujaks. Kasutatakse ka t¨ahistust y = y(x) r~ohutamaks fakti, et suurus y on suuruse x funkt- argnevalt piirdume juhuga X R ja Y R. Muutuvaks suuruseks nimetatakse sioon. J¨ suurust, mis v~oib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi v¨a¨artusi. Nende v¨a¨artuste hulka nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Definitsioon 2. Kui hulga X R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y R, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud (¨ uhene) u ¨he (reaal-)muutuja (reaalsete v¨a¨ artustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka {(x, y)| x X y = f (x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. Anal¨
Saadud topoloogilised ruumid rahuldavad k˜oik esimest loenduvuse aksioomi, sest nende punktide u ¨mbruste baasi moodustavad ka lahtised kerad, mille raadiused on ratsionaalarvud. 2.4 Jada ja tema piirv¨ a¨ artus Olgu (X, T ) topoloogiline ruum. Jadaks topoloogilises ruu- mis X nimetatakse kujutust f : N −→ X. Jada f on sobiv esitada tema v¨a¨artuste abil kujul f = (xn )n∈N , kus xn = f (n), v˜oi loetledes tema v¨a¨artusi x1 , x 2 , x 3 , . . . , xn , . . . Definitsioon 2.4 Punkti x ∈ X nimetatakse jada (xn )n∈N piirv¨a¨ artuseks, kui punkti x iga u ¨mbruse U jaoks saab leida sellise indeksi n0 , et sellest indeksist alates jada k˜oik liikmed xn kuuluvad u¨mbrusesse U : n ≥ n0 =⇒ xn ∈ U. (2.3) Jada, millel leidub piirv¨a¨artus, nimetatakse koonduvaks.
ning musikaalsusega. Selle kõval tegeles ta agaralt spordiga --matkas, uisutas, harrastas paadisõtu ja oli innukas maletaja. Kreiskooliajast päinevad ka Bornhöe esimesed pooltõkelised ilukirjanduslikud katsetused, millest mõingad 1878. a. trüis ilmusid («Üs leht vanapagana tätraamatust» ajakirjas «Meelejahutaja», eriraamatuna «Rö ovel ja mõsnik ehk Kaks vaenlast»). Need on kül ainult kujunemata nooruki suleharjutused, millest oleks asjatu otsida erilisi ideelis-kunstilisi vä artusi, kuid nad nätavad ometi Bornhöe varast kiindumust kirjanduslikku tegevusse. Ka Eduard Vilde on oma kooliajal Brunbergide juures elades saanud vanemalt nõlt ergutust kirjanduslikeks harrastusteks. Lõetanud 1877. a. (viieteistküneaastasena) auhinnaga kreiskooli, leidis Bornhöe esialgu lüemaks ajaks teenistust maamõ otja joonestussaalis, katsetas seejäel joonistuste valmistamisega arhitektidele ja ajalehtedele. Jägneb viisteist aastat kestnud vaheldusrikas
annaabi.ee 
