Kaaskompleksarv z¯ asub arvuga z nullpunktist v˜ ordsel kaugusel ning z ja z¯ on s¨ ummeetrilised reaaltelje suhtes. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Tehted kompleksarvudega Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis nende v˜ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse j¨argmiselt: Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Tehted kompleksarvudega Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis nende v˜ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse j¨argmiselt: 1 z1 = z2 ⇔ a = c ja b = d; Teist ja kolmandat j¨
- + 4x - ex = + 4 - e1 - - - 8e-2 7, 9p.¨ u. 3 -2 3 3 2 9. S~oiduki kiirus s~oltub ajast j¨argmiselt: v(t) = 0, 01t2 + 10. Leida kiiruse keskv¨a¨artus ajavahemikus t1 = 0 kuni t2 = 20. (1p) Lahendus. 20 20 1 1 0, 01t3 v¯ = (0, 01t2 + 10)dt = + 10t = 20 - 0 0 20 3 0 1 0, 01 · 8000
(X ± Y )Z = XZ ± Y Z. 4 Mistahes kolme maatriksi X M at(p, q) ja Y, Z M at(q, r) korral X(Y ± Z) = XY ± XZ. (1.23) Nende omaduste t~oestamiseks kasutame summeerimism¨arki ja tema omadusi. Ilma viimaseta on nende omaduste t~oestamine u ¨sna kohmakas. N¨aiteks maatriksite korrutamise valemi (1.20) saab abil kirja panna j¨argmiselt: q zij = xis ysj , i Np , j Nr . (1.24) s=1 Alustame omaduste 1 - 4 t~oestamist. 16 1 Maatriksite X = (xij ), i Np , j Nq , Y = (yij ), i Nq , j Nr ja Z = (zij ), i Nr , j Ns
(X ± Y )Z = XZ ± Y Z. 4◦ Mistahes kolme maatriksi X ∈ M at(p, q) ja Y, Z ∈ M at(q, r) korral X(Y ± Z) = XY ± XZ. (1.23) Nende omaduste t˜oestamiseks kasutame summeerimism¨arki Σ ja tema omadusi. Ilma viimaseta on nende omaduste t˜oestamine u¨sna kohmakas. N¨aiteks maatriksite korrutamise valemi (1.20) saab Σ abil kirja panna j¨argmiselt: q zij = xis ysj , ∀ i ∈ Np , ∀ j ∈ Nr . (1.24) s=1 Alustame omaduste 1◦ − 4◦ t˜oestamist. 16 1◦ Maatriksite X = (xij ), ∀ i ∈ Np , ∀ j ∈ Nq , Y = (yij ), ∀ i ∈ Nq , ∀ j ∈ Nr ja
Peale selle, kuna F f funktsioonide F ja f s~oltuv muutuja on z, v~oib osatuletisi u j ja x i t¨ahistada z z vastavalt s¨ umbolitega uj ja xi . J¨arelikult saab valemi (6.11) kirja panna ka j¨argmiselt: n z z u1 z u2 z un z uj = + + ... + = . (6.12) xi u1 xi u2 xi un xi j=1 uj xi T¨aistuletise m~oiste
1 6 2 6 2 1 2 1 6 = 1(0 · 6 + 1 · 1) + 1(1 · 6 + 1 · 2) + 3(1 · 1 - 0 · 2) = 12 1.7 T¨ ahistusi Analoogiliselt edasi toimides saame defineerida k~orgemat j¨arku determinandid. Olgu aij R ning indeksid i, j = 1, 2, . . . , n. T¨ahistame n-j¨arku ruutmaatriksi A determinandi det A ehk (l¨ uhi- dalt ¨oeldes) n-j¨ arku determinandi j¨argmiselt: a11 a12 ... a1n a11 a12 . . . a1n a21 a22 ... a2n a21 a22 . . . a2n det A := det . .. := .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann
V~orrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f (x) parameetrilisteks v~orrandi- teks. V~orranditega (1.8) antud joon on u ¨htlasi funktsiooni y = f (x) graafikuks. N¨ aiteks vaatleme funktsiooni b 2 y = a - x2 , a kus a ja b on positiivsed konstandid. Asendame muutuja x parameetri t kaudu j¨argmiselt: x = a cos t. Siis saame b 2 y = a - a2 cos2 t = b 1 - cos2 t. a Eeldame, et parameeter t asub l~oigul [0, ]. Sellel l~oigul on funktsioon sin t mit- tenegatiivne. Seet~ottu kehtib v~ordus 1 - cos2 t = sin t. N¨uu¨d saame muutuja y jaoks j¨argmise v~orrandi: y = b sin t.
V~orrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f (x) parameetrilisteks v~orrandi- teks. V~orranditega (1.8) antud joon on u ¨htlasi funktsiooni y = f (x) graafikuks. N¨ aiteks vaatleme funktsiooni b y = a2 - x2 , a kus a ja b on positiivsed konstandid. Asendame muutuja x parameetri t kaudu j¨ argmiselt: x = a cos t. Siis saame b y = a2 - a2 cos2 t = b 1 - cos2 t. a Eeldame, et parameeter t asub l~oigul [0, ]. Sellel l~oigul on funktsioon sin t mit- tenegatiivne. Seet~ottu kehtib v~ordus 1 - cos2 t = sin t. N¨uu¨d saame muutuja y jaoks j¨argmise v~orrandi: y = b sin t.
13 10 [ 94] ei k¨asitle ja sama m¨argina. 11 [ 94] ei k¨asitle sama m¨argina. 12 [ 94] osutab, et m¨argi algse kuju m¨aa¨ramine on lahtine, [ 85] pakub kui algse kuju. 13 Paeguseks enam kui 90 tuhande m¨argi vektorfonte pakkuva projekti kodulehek¨ulg http://www.mojikyo.gr.jp/. 13 1.1.2 M¨ arkide ajalugu R. Imai [ 72] ja S. Mizugami [ 84] p~ohjal v~oiks m¨arkide ajaloolised kujud jagada j¨argmiselt: Vanakiri Luukiri, pronkskiri, suur u ¨markiri, v¨aike u ¨markiri; Uuskiri Orjakiri, standardkiri, kursiivkiri, kiirkiri. Toodud jaotus on paljuski tinglik. Imai [ 72, lk.52] kasutab n¨aiteks vanakirja t¨ahenduses ka u ¨markirja. Uuskiri t¨ahendab siin Qin (221205 e.m.a.) perioodist alates kasutusel olevaid m¨arke14 , vanakiri
positiivne ja v¨ahim v¨a¨artus negatiivne. Teisest ku¨ljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. Kuna antud juhul 0 j¨a¨ab suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama v¨a¨artuse 0. See t¨ahendabki, et l~oigul [a,b] leidub v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni f tuletis punktis a on de- fineeritud j¨argmiselt: f'(a) = lim xa f(x) - f(a) /x - a Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Kui funktsioon f omab punktis a l~oplikku tuletist, siis ¨oeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. x = x - a - argumendi muut kohal a, y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a. Siis f'(a) = lim xa f(x) - f(a)/ x a = lim xa y /x= lim x0 y /x .
a ja v~ottes viimases v~orduses x = b, tekib v~ordus b F (b) - F (a) = f (t)dt. (5.5) a Seega on m¨a¨aramata integraalist tuttav algfunktsioon sobiv vahend m¨a¨aratud integraali arvutamiseks ja saadud reegel on s~onastatav j¨argmiselt. Funkt- siooni f (x) m¨aa¨ratud integraal rajades a-st b-ni on v~ordne algfunktsiooni v¨a¨artuse kohal b ja algfunktsiooni v¨a¨artuse kohal a vahega. Arvutuste h~olbus- tamiseks kasutatakse kirjaviisi b F (b) - F (a) = F (x) . a Asendades v~orduses (5.5) integreerimismuutuja t muutujaga x, saame m¨a¨aratud
Valin pikiarmatuuriks 320A400, mille korral As1,prov = 942mm2 (74) 9 2.3 Abitala p~ oikarmatuuri dimensioneerimine Suurim p~oikj~ou abitalas m~ ojub vahetoe abitala vaba otsa poolsel serval ja plastse arvutusskeemi korral v~oib selle suuruse leida j¨ argmiselt: VEd,max = 0, 6 · pd · lef f,1 = 0, 6 · 41, 1 · 6, 18 = 152, 4kN (75) P~oikj~oud esimese ava teisest toest kaugusel d: VEd,d = 152, 4 - 41, 1 · 0, 355 = 137, 8kN (76) P~oikj~oud esimesel toel: VSd,A = 0, 4 · pd · lef f,1 = 0, 4 · 41, 1 · 6, 18 = 101, 6kN (77) Vertikaalse p~
5.4 Faktorruum 49 kus punkti x ∈]a; b[ u ¨mbruste baasiks on vahemikud ]x− ; x+ [⊂]a; b[ ja punkti [a] = [b] u¨mbruste baasi moodustavad hul- gad b−a {[a]}∪]a; a + [∪]b − ; b[, kus 0 < < . 2 ¨ Uleminekut l˜oigult X = [a; b] faktorhulgale X ∗ v˜oib piltlikult illustreerida j¨argmiselt: l˜oik [a; b] on painutatud ringjooneks, kleepides otspunktid a ja b kokku. T¨apsemalt ¨oeldes, faktor- ruum X ∗ on hom¨oomorfne u ¨hem˜o˜otmelise sf¨a¨ariga S1 . Ruu- mide X ∗ ja S1 hom¨oomorfsus X ∗ ≈ S1 saavutatakse hom¨oo- morfismiga g : X ∗ −→ S1 , kus 2π(x − a) 2π(x − a) g([x]) = ( cos ; sin ). b−a b−a N¨aide 5
f (x0 ) = lim =0 x0 x puudub. Definitsioon 3. Punkti x0 , kus f (x0 ) = 0, nimetatakse funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks. Definitsioon 4. Funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks nimetatakse selle funktsiooni statsionaarset punkti, v~oi punkti, kus tuletis puudub. Kasutades viimast definitsiooni, saame ekstreemumi olemasoluks tarvili- ku tingimuse u ¨mber s~onastada j¨argmiselt. Kui funktsioonil f (x) on punktis x0 lokaalne ekstreemum, siis x0 on funkt- siooni f (x) kriitiline punkt, st mujal kui kriitilises punktis funktsioonil lo- kaalset ekstreemumit olla ei saa. See tingimus on ekstreemumi olemasoluks tarvilik, kuid mitte piisav. Funktsiooni y = x3 tuletis y = 3x2 v~ordub nulliga, kui x = 0, st x = 0 on funktisooni y = x3 kriitiline punkt, kuid sellel funktsioonil punktis x = 0 ekstreemumit ei ole. Teoreem 2
annaabi.ee 
