Lause 3. 6)Arkusfunktsioonid y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste 7)Hüperboolsed funktsioonid y=sh x, y=ch x, y=th x, y=cth x vahel.Lause 4. Lõigul [a;b] pideva ja rangelt monotoonse funktsiooni f(x) 8)Areafunktsioonid y=arsh x, y=arch x, y=arth x, y=arcth x pöördfunktsioon on pidev lõigul otspunktidega f(a) ja f(b).Lause 5. Lõigul pidev 9. Jada mõiste. Punkti ümbruse erinevad definitsioonid. funktsioon on üheselt pidev sellel lõigul.Lause 6. Elementaarfunktsioon on pidev Jada. Definitsioon nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on määramispiirkonna sidepunktides. naturaalarvude hulk N. Näide: n =
definitsioonid. Nendeks on: sinh x = - hüperboolne siinus , cosh x = - hüperboolne koosinus , tanh x = sinh x/cosh x = - hüperboolne tangens , coth x =cosh x/sinh x = - hüperboolne kotangens . Hüperboolse siinuse ja kosinuse kaudu on defineeritud veel: sech x = = - hüperboolne seekant. csch x = = - hüperboolne koseekant . Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid. Nii nagu hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid, on ka areafunktsioonid elementaarfunktsioonid. Areafunktsioonid on: x = arsinh y - areasiinus (funktsiooni y = sinh x pöördfunktsioon) , x = arcosh y - areakosinus (funktsiooni y = cosh x pöördfunktsioon) , x = artanh y - areatangens (funktsiooni y = tanh x pöördfunktsioon) , x = arcoth y - areakotangens (funktsiooni y = coth x pöördfunktsioon) . Järelikult kehtib valem - =1.
punkt. Kui t muutub väärtusest T1 väärtuseni T2 , siis see punkt kujundab mingi joone tasandil. Võrrandeid x=...;y=... nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks, muutujat t nimetatakse parameetriks. Elementaarfunktsiooniks nim funkts, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel.: konstantne, astme-,eksponent-, logaritm-,trigo-,arkus-, hüperbppolsed-, areafunktsioonid. n-astme polünoom e täisratsionaalne funkts: Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...an-1x+an( a00), a-d on const, n-N, x-muutuja Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil on n kompleksset 0-kohta x1.. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x) Ratsionaalfunktsiooni nim lihtmurruks , kui mn, vastasel korral aga liigmurruks Murdlineaarseks funkts nim funkts kujul a0x+a1/b0x+b1, b00
Nendeks on: sinh x = − hüperboolne siinus , cosh x = − hüperboolne koosinus , tanh x = sinh x/cosh x = − hüperboolne tangens , coth x =cosh x/sinh x = − hüperboolne kotangens . Hüperboolse siinuse ja kosinuse kaudu on defineeritud veel: sech x = = − hüperboolne seekant. csch x = = − hüperboolne koseekant . Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid. Nii nagu hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid, on ka areafunktsioonid elementaarfunktsioonid. Areafunktsioonid on: x = arsinh y − areasiinus (funktsiooni y = sinh x pöördfunktsioon) , x = arcosh y − areakosinus (funktsiooni y = cosh x pöördfunktsioon) , x = artanh y − areatangens (funktsiooni y = tanh x pöördfunktsioon) , x = arcoth y − areakotangens (funktsiooni y = coth x pöördfunktsioon) . Järelikult kehtib valem − =1.
järgmine: Võrrandeid nimetatakse f-n y = f(x) parameetrilisteks võrranditeks. Võrranditega antud joon on ühtlasi funktsiooni y = f(x) graafikuks. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid: Hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid on: , hüperboolne siinus , hüperboolne koosinus , hüperboolne tangens , hüperboolne kotangens Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid: x = arsinh y areasiinus, x = arcosh y areakoosinus, x = artanh y areatangens, x = arcoth y areakotangens. Nii hüperboolsed triginomeetrilised funktsioonid, kui ka areafunktsioonid on elementaarfunktsioonid. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk, mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev.
Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Def. Olgu lõigul antud kaks funktsiooni ja . Kirjutame need funktsioonid süsteemina Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Hüperboolsed funktsioonid: Funktsioonide sinhx,coshx,tanhx ja cothx pöördfunktsioonid on areafunktsioonid: 7. Def. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk, mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Def. Olgu x muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saan näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates
Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Def. Olgu lõigul antud kaks funktsiooni ja . Kirjutame need funktsioonid süsteemina Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Hüperboolsed funktsioonid: Funktsioonide sinhx,coshx,tanhx ja cothx pöördfunktsioonid on areafunktsioonid: 7. Def. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk, mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Def. Olgu x muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saan näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates
Võrranditega (1.8) antud joon on ühtlasi funktsiooni y = f(x) graafikuks. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi, väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi): Matemaatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn hüperboolseid trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on: Hüperboolse siinuse ja koosinuse kaudu on defineeritud veel Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid: 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste: Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon: Üldine definitsioon on järgmine: Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist
ehk , siis saab muutujat y avaldada parameetri t kaudu. tähistades saame . Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi . Kui parameetri t muutumispiirkond on näeb süsteem välja järgmine Võrrandeid nimetatakse funktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. · Hüperboolsed funktsioonid: 1. 2. 3. 4. Hüperboolse siinuse ja koosiinuse kaudu on defineeritud veel: 5. 6. Areafunktsioonid e sinh, cosh,tanh,coth pöördfunktsioonid 7. 8. 9. 10. 7. · Järjestatud muutuv suurus Kui x väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda kumb on eelenv ja kumb järgnev. · Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon - Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a saame nimetada suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikse positiivse arvu korral saab
cosh x = (ex + e-x) | 2 - h¨uperboolne kosinus , tanh x = sinh x | cosh x = (ex - e-x) | (ex + e-x) - hüperboolne tangens , coth x = cosh x / sinh x = (ex + e-x) / (ex - e-x)- hüperboolne kotangens . Hüperboolse siinuse ja kosinuse kaudu on defineeritud veel sech x = 1 / cosh x = 2/ (ex + e-x) - hüperboolne seekant csch x =1 / sinh x = 2 / (ex - e-x) - hüperboolne koseekant . Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid: x = arsinh y - areasiinus (funktsiooni y = sinh x pöördfunktsioon) , x = arcosh y - areakosinus (funktsiooni y = cosh x pöördfunktsioon) , x = artanh y - areatangens (funktsiooni y = tanh x pöördfunktsioon) , x = arcoth y - areakotangens (funktsiooni y = coth x pöördfunktsioon) . 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Piirprotsesside x ja x - definitsioonid.
Hüperboolne koosinus y = ch x = X = (- , ) Y = [1, ) 2 Hüperboolne tangens y = th x = sh x / ch x X = (- , ) Y = (- 1,1) Hüperboolne kootangens y = cth x = ch x / sh x X = (- ,0 ) (0, ) Y = (- ,1) (1, ) y = sh x y = ch x y = th x y = cth x 6. Areafunktsioonid Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond Areasiinus y = arsh x X = Y = (- , ) Areakoosinus y = arch x X = [1, ) Y = [0, ) Areatangens y = arth x X = (- 1,1) Y = (- , )
-2 -4 -6 -8 -10 8. H¨ uperboolsete funktsioonide p¨o¨ordfunktsioone nimetatakse areafunktsioonideks (paketis SWP areafunktsioonid puuduvad). Funktsiooni y = sh x (X = R Y = R) p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse areasiinuseks ja t¨ahistatakse x = arsh y (X = R Y = R). P¨o¨orame funktsiooni y = sh x. Leiame, et y = (ex - e-x )/2 e2x - 1 = 2yex e2x - 2yex - 1 = 0 28 ex = y ± y 2 + 1.
funktsioonid: x = arsinh y - areasiinus (funktsiooni y = sinh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = arcosh y - areakosinus (funktsiooni y = cosh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = artanh y - areatangens (funktsiooni y = tanh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = arcoth y - areakotangens (funktsiooni y = coth x p¨o¨ordfunktsioon) . 22 Nii nagu h¨ uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid, on ka areafunktsioonid elementaarfunktsioonid. Toome siinkohal areafunktsioonide avaldised p~ ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu koos m¨ a¨aramispiirkondade ja v¨ a¨artuste hulkadega: ( ) arsinh x = ln x + x2 + 1 : X = R, Y = R , ( ) arcosh x = ln x + x2 - 1 : X = [1, ), Y = [0, ) , 1 1+x
funktsioonid: x = arsinh y - areasiinus (funktsiooni y = sinh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = arcosh y - areakosinus (funktsiooni y = cosh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = artanh y - areatangens (funktsiooni y = tanh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = arcoth y - areakotangens (funktsiooni y = coth x p¨o¨ordfunktsioon) . 22 Nii nagu h¨ uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid, on ka areafunktsioonid elementaarfunktsioonid. Toome siinkohal areafunktsioonide avaldised p~ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu koos m¨ a¨aramispiirkondade ja v¨ aa¨rtuste hulkadega: arsinh x = ln x + x2 + 1 : X = R, Y = R , arcosh x = ln x + x2 - 1 : X = [1, ), Y = [0, ) , 1 1+x artanh x = ln : X = (-1, 1), Y = R , 2 1-x 1 x+1
1.1.5 Hu ¨ perboolsed funktsioonid ja nende p¨ o¨ ordfunktsioonid Paele vaadeldud p~ohiliste elementaarfunktsioonide vaadeldakse matemaati- lises anal¨ uu¨sis veel nn h¨ uperboolseid funktsioone ja nende p¨o¨ordfunktsioone, nn areafunktsioone. H¨ uperboolsed funktsioonid ja areafunktsioonid avaldu- vad juba vaadeldud p~ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu. 16 H¨uperboolseteks funktsioonideks on h¨uperboolne siinus, h¨ uperboolne koo- sinus, h¨ uperboolne tangens ja h¨ uperboolne kootangens. H¨uperboolne siinus y = sh x on defineeritud kui ex - e-x
annaabi.ee 
