Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v~ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m~ o~ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p~ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (1.1) ............
3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v˜ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m˜ o˜ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p˜ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (1.1)
Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Leida kompleksarvude summa, vahe, korrutis, jagatis, moodulid ja kaaskompleksid: 1 z1 = 3, z2 = −4i 2 u1 = 2 − 5i, u2 = 3 + i 3 w1 = 1 + i, w2 = −3 + 2i Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu trigonomeetriline kuju −→ T¨ahistame kohavektori OA pikkuse |z| = |OA| s¨ umboliga r ning −→ olgu ϕ vektori OA ja x-telje positiivse suuna vahel. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu trigonomeetriline kuju −→ T¨ahistame kohavektori OA pikkuse |z| = |OA| s¨ umboliga r ning −→
otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f(x) peab v¨ahemalt u¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on u¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f'(c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a,f(a)) ja B = (b,f(b)) asuvad x-telje suhtes samal k~orgusel
Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks. m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0). Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ). Defineerime A ja B vahelise kauguse j¨argmise valemiga:
Jagatise m¨ aramispiirkond koosneb k~oigist sellistest x X, mille korral g(x) = 0. a¨ Liitfunktsiooni m~ oiste. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f (x) m¨a¨aramispiir- konnaga Xf ja z = g(y) m¨a¨aramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funkt- siooni g avaldises f (x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja s~ oltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f (x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. T¨ahistame seda funktsiooni s¨umboliga g f . Seega v~oime kirjutada v~orduse z = (g f )(x) = g[f (x)]. Liitfunktsiooni g f m¨a¨aramispiirkond ei tarvitse kattuda f m¨a¨aramispiirkon- naga. Liitfunktsioon g f on m¨a¨aratud ainult sellistel x-i v¨a¨artustel hulgas Xf , mille korral f (x) asub funktsiooni g m¨a¨aramispiirkonnas. T~oepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨a¨artuse kohal f (x) ehk suuruse g[f (x)]
Jagatise m¨a¨aramispiirkond koosneb k~oigist sellistest x X, mille korral g(x) = 0. Liitfunktsiooni m~ oiste. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f (x) m¨a¨aramispiir- konnaga Xf ja z = g(y) m¨a¨aramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funkt- siooni g avaldises f (x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f (x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. T¨ahistame seda funktsiooni s¨umboliga g f . Seega v~oime kirjutada v~orduse z = (g f )(x) = g[f (x)]. Liitfunktsiooni g f m¨a¨aramispiirkond ei tarvitse kattuda f m¨a¨aramispiirkon- naga. Liitfunktsioon g f on m¨a¨aratud ainult sellistel x-i v¨a¨artustel hulgas Xf , mille korral f (x) asub funktsiooni g m¨a¨aramispiirkonnas. T~oepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨a¨artuse kohal f (x) ehk suuruse g[f (x)]
1.6 N¨ aide Arvutame kolmandat j¨arku determinandi 1 -1 3 0 -1 1 -1 1 0 1 0 -1 = 1 +1 +3 1 6 2 6 2 1 2 1 6 = 1(0 · 6 + 1 · 1) + 1(1 · 6 + 1 · 2) + 3(1 · 1 - 0 · 2) = 12 1.7 T¨ ahistusi Analoogiliselt edasi toimides saame defineerida k~orgemat j¨arku determinandid. Olgu aij R ning indeksid i, j = 1, 2, . . . , n. T¨ahistame n-j¨arku ruutmaatriksi A determinandi det A ehk (l¨ uhi- dalt ¨oeldes) n-j¨ arku determinandi j¨argmiselt: a11 a12 ... a1n a11 a12 . . . a1n a21 a22 ... a2n a21 a22 . . . a2n det A := det . .. := .. .. .. .. .
tes. Seega on k~oikide paaritute funktsioonide graafikud s¨ummeetrilised koor- dinaatide alguspunkti suhtes. 1+x N¨aide 1.8. Uurime, kas funktsioon y = ln on paaris v~oi paaritu. 1-x -1 1+x 1-x 1+x T¨ahistame f (x) = ln ja leiame f (-x) = ln = ln = 1-x 1 - (-x) 1-x 1+x - ln = -f (x). 1-x Saime, et x X korral f (-x) = -f (x), st funktsioon on paaritu. Kehtivad j¨argmised v¨aited. 7 y 1 - 32 - 2
Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja). b Vaatleme m¨a¨aratud integraali ∫ f ( x ) dx . Teeme integraali all a asenduse valides uueks muutujaks u, mis s˜oltub x-st j¨argmisel viisil: u = ϕ(x). Eeldame, et ϕ on ¨uks¨uhene ja diferentseeruv. T¨ahistame ϕ p¨o¨ordfunktsiooni ψ-ga. Siis x = ψ(u). Paneme kirja dx funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: du = ψ’(u). Korrutades seda v˜ordust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Kasutades valemeid neid valemeid saame integraali all suurused x ja dx asendada vastavate u-st s˜oltuvate suurustega. Erinevalt m¨a¨aramata integraalist, tuleb m¨a¨aratud integraali korral lisaks
50 J¨areldub vahetult puutepunkti ja sulundi definitsioon- ist. 60 Kuna int(A) ⊂ A ⊂ cl(A), siis X cl(A) ⊂ X A ⊂ X int(A) ja hulk X cl(A) on lahtine ning hulk X int(A) on kinnine. Teoreemi 3.1 omaduse 10 ja k¨aesoleva teoreemi 3.2 Hulga sulund 29 omaduse 10 p˜ohjal X cl(A) ⊂ int(X A) ⊂ X A, X A ⊂ cl(X A) ⊂ X int(A). (3.1) T¨ahistame G = int(X A). Siis G on hulk ruumist X, mille korral A ⊂ X G ⊂ cl(A). Siit hulga X G kinnisuse ning omaduse 10 t˜ottu cl(A) = X G, G = X cl(A) ehk int(X A) = X cl(A). T¨ahistame F = cl(X A). Siis F on kinnine hulk ruumist X, mis seoste (3.1) t˜ottu rahuldab seoseid int(A) ⊂ X F ⊂ A. Hulga X F lahtisuse ja teoreemi 3.1 omaduse 3.1 t˜ottu X F = int(A), F = X int(A) ehk X int(A) = cl(X A). Omadus 60 on t˜oestatud.
p puhul |xn+p - xn | < , kui n > n0 . T~oestust vt [5], lk 108110. N¨aide 4. Jada (n + 1)2 /2n2 piirv¨a¨artuse arvutamisel t~odeme, et nii murru lugeja kui ka nimetaja l¨ ahenevad l~ opmatusele. K~oneleme, et on tegemist m¨ a¨arama- tusega t¨ uu¨pi "l~ opmatus jagatud l~opmatusega" ja t¨ahistame = v~oi . Selle m¨a¨arama- tuse avamiseks teeme kindlaks selle murru lugejas ja nimetajas oleva pol¨unoomi astme. M~olema pol¨unoomi aste on n2 ning maksimaalne neist astmetest on samuti n2 . Jagame murru lugejat ja nimetajat maksimaalse astmega n2 (murru v¨a¨artus ei muutu!). Peale murru l¨abijagamist l¨ aheneb lugeja u¨hele ja nimetaja kahele. Seda asjaolu t¨ahistame
P Q a xk-1 xk b x valem ei ole rakendatav. Sellisel puhul kasutatakse m¨a¨aratud integraali ar- vutamiseks ligikaudseid meetodeid. Vaatleme k¨aesolevas punktis neist u ¨hte, nn trapetsvalemit. Trapetsvalemi tuletamiseks jaotame integreerimisl~oigu [a; b] n v~ordse pik- ¨ osal~oigu pikkus on sellisel juhul h = b - a . T¨ahistame kusega osal~oiguks. Uhe n jaotuspunktid x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., xk = a + kh, ..., xn = a + nh = b ja arvutame nendes jaotuspunktides funktsiooni v¨a¨artused y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), ..., yk = f (xk ), ..., yn = f (xn ). Vertikaalsed sirged x = xk , k = 1, 2, ..., n - 1 jaotavad k~overtrapetsi ¨ abBA n k~overtrapetsiks P QRS
lõiguks ehk seotud vektoriks. Seotud vektorit alguspunktiga X ja lõpp-punktiga Y tähistame edaspidi abil. Kõigi seotud vektorite hulka tähistame abil. Seotud nullvektor Seotud vektor, mille algus ja lõpp-punkt langevad kokku Seotud vektori pikkus Seotud vektori pikkuseks, tähis | |, nimetame teda määrava lõigu XY pikkust, s.t. | | := |XY |. Vastandvektor Seotud vektorit nimetame seotud vektori vastandvektoriks. Seotud vektori vastandvektorit t¨ahistame abil, s.t. - := . Kollineaarsed seotud vektorid Kui kaks vektorit on omavahel paralleelsed OMADUSED: 1) Refleksiivsus - iga seotud vektor on kollineaarne iseendaga. 2) Transitiivsus - kui seotud vektor on kollineaarne teise seotud vektoriga ja teine oma korda kolmandaga, siis on ka esimene seotud kolmandaga. 3) Sümmeetria - kui üks seotud vektor on kollineaarne teise seotud vektoriga, siis teine seotud vektor on kollineaarne esimesega
annaabi.ee 
