Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted.
Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused.
Parameetrilised jooned.
Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik
m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m-
m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja
arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks . m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm .
s¨
Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse
v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 =
b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis
Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0).
Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 , . . . , am )
ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ). Defineerime A ja B vahelise kauguse j¨argmise valemiga: |AB| = (a1 - b1 )2 + (a2 - b2 )2 + . . . + (am - bm )2 . (6.1)
¨
Uhe- kahe- ja kolmem~o~otmelisel juhul v~ordub valemiga (6.1) antud kaugus punk -
tide A ja B vahele t~ommatud sirgl~oigu pikkusega.
Kauguse omadused. 1. A = B siis ja ainult siis kui |AB| = 0. 2. |AB| = |BA|. 3. |AB| |AC| + |CB|.
Parameetrilised jooned ruumis Rm . Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud m funkt-
siooni x1 = 1 (t), x2 = 2 (t), . . . , xm = m (t). Vaatleme nende funktsioonide
v~orranditest moodustatud s¨ usteemi x1 = 1 (t) x2 = 2 (t) (6.2) ... xm = m (t) , t [T1 , T2 ] .
S¨ usteem (6.2) m¨a¨ arab iga t [T1 , T2 ] korral u ¨he kindla ruumi Rm punkti P = ¨
(x1 , x2 , . . . , xm ). Uldiselt vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨ artustele erinevad
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA| |AB| |AC|+|CB| · Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi x1 = 1(t)
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA| |AB| |AC|+|CB| · Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi x1 = 1(t)
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahulda
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y)
Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001. 3 5. G. N. Berman, Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuse u ¨lesannete kogu. Moskva, 1977 (vene keeles). N¨adalas toimub 2 tundi loenguid ja 2 tundi harjutusi. Loengus esitatakse uus materjal, mida harjutustunnis kinnistatakse u ¨lesannete lahendamisega.
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m
Kõik kommentaarid