1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus...
Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja f * (P)dS = f * (P)dS + f * (P)dS = f (P)dS m d geomeetriline sisu Vn = f ( P)dS = lim Vn = lim f ( pi , y)dy xi + lim = Kahemõõtmelises hulgas DR2 määratud funktsiooni f(x,y) integraalsummaks antud piirkonnas D nimetatakse summat D D 4. Kahekordse in...
un+qun+q2un+...-see rida on positiivse teguriga q>1 geomeetriline rida. Järelikult ta koondub. Sellest järeldub: Tõestus2: Olgu L>1. siis võrdusest limnun+1/un=L (kus L>e) järeldub see, et alates teatud järjenumbrist N, (n>=N) korral kehtib võrratus un+1/un>1 ehk un+1/un, iga n>=N. See tähendab, et alates järjenumbrist N+1 rea liikmed kasvavad ja seetõttu rea üldliige ei lähene nullile. Rida hajub 35. Arvrea koonduvuse Cauchy tunnus (sten) 36. Arvrea koonduvuse integraaltunnus 37. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus Vahelduvate märkidega rida on rida kujul a1a2+a3a4, ..., kus ai>0 Leibnitzi tunnus Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et a1>a2>a3>a4>... ja nlim an = 0 , siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea esimest liiget 38. Astmeread. Abeli teoreem Abeli teoreem...
-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfu...
2. Kui l > 1, siis rida s hajub. 2. Kui l = 1, siis jääb küsimus rea s koonduvusest lahtiseks. Leibnitzi tunnus. Kui vahelduvate markidega rea a1- a2 +a3- a4 +a5 -... liidetavad on sellised, et kehtivad võrratus a1 > a2 > a3 > ja lim i ai = 0 siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea esimest liidetavat. Integraaltunnus . Olgu s = a i=1 i positiivsete liidetavatega rida, kusjuures a1 a2 a3 ..... Peale selle olgu f(x) mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi f(1) = a1 , f(2) = a2 , f(3) = a3 , : : : : Siis kehtivad jargmised väited: 1. Kui paratu integraal 1...
Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et n n 0 . Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendmurdarendus ja see on alati perioodiline, tähistatakse Q Irratsionaalarvud mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud. Tähistus I Reaalarvud hulk R, koosneb k...
Eksisteerigu f ( x ) dx , iga l ( - , b ] korral, siis defineerime päratu integraali l piirkonnas (,b] seosega b b f ( x)dx = lim f ( x)dx. (8) - l - l Kui eksisteerib lõplik piirväärtus seoses (7) (seoses (8)), siis nimetame vastavat päratut integraali koonduvaks, vastasel korral hajuvaks. 3.3. Rea koonduvuse integraaltunnus . Teoreem 24. Kui positiivse rea u n korral u n = f (n) ,ja f on pidev monotoonselt n =1 kahanev funktsioon piirkonnas [ a, ) , siis vaadeldav rida ja päratu integraal...
xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis....
1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus...
a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) . Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Tõkestatud hulga X elemend...
valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read....
13. Cauchy tunnus: vastav teoreem tõestuseta (teoreem 37.1). Teoreem 37.1. (Cauchy tunnus). Kui positiivsete liikmetega rea u1+ u2+...+un+... korral on suurusel n n tõkestamatul kasvamisel lõplik piirväärtus l, s.t. kui , siis 1) rida koondub, kui l<1, 2) rida hajub, kui l>1 . Kui l=1, siis teoreem ei anna vastust rea koonduvuse või hajuvuse küsimusele. 14. Rea koonduvuse integraaltunnus : vastav teoreem tõestusega (teoreem 37.2). Teoreem 37.2. Olgu rea u1+ u2+...+un+... liikmed positiivsed ja mittekasvavad, s.t. u1 u2u3... ja olgu f(x) niisugune pidev mittekasvav funktsioon, et f(1)=u1, f(2)=u2,..., f(n)=un,... . Siis kehtivad järgmised väited: 1) kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida u1+ u2+...+un+...; 2) kui nimetatud integraal hajub, siis hajub ka rida u1+ u2+...+un+... . 15...
Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. 2. Integraaltunnus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu integraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Integraaltunnus: Olgu positiivsete liikmetega rida, kusjuures Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1...
Võrdlustunnus: Kui ∑ vn koondub, siis ∑ un koondub; kui n=1 n=1 ∞ ∞ ∑ un hajub, siis ∑ vn hajub n=1 n=1 ∞ ∞ Integraaltunnus : Kui ∫ f ( x ) dx koondub, siis ∑ un koondub; Kui 1 n=1 ∞ ∞ ∫ f ( x ) dx hajub, siis ∑ un hajub. 1 n=1 30.Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus) u1 ≥ u2 ≥u 3 ≥ u4 ≥ … lim un=0 n →∞...
Kahe muutuja funktsioonid (definitsioon, määramis-ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näited). 2. Nivoojoone mõiste (definitsioon, näited ja omadused). 3. Kolme muutuja funktsioon (definitsioon, näited). 4. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Tõlgendus – mida näitab osatuletis? Kuidas leida osatuletisi? 5. Ekstreemumid (lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon). 6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? 10. Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi (nt veahinnang). 11. Gradient (definitsioon, omadused ja tähistuse...
1. Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine. Muutujavahetus päratus integraalis (𝒌 = 𝟐𝒋 ). Integraaltunnus : Olgu 𝒔 = ∑∞ 𝒊=𝟏 𝒂𝒊 positiivsete liikmetega rida, kusjuures 𝒂𝟏 ≥...
Vektorruum Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks üle reaalarvude hulga R, kui sellel hulgal on defineeritud lineaarsed tehted: hulga V elementide liitmine ja korrutamine skalaaridega nii, et on täidetud järgmised tingimused: hulk V on kinnine elementide liitmise suhtes ja hulk V on kinnine skalaariga korrutamise suhtes Vektorruumi 1) leidub nullelement omadused 2) iga elemendi a korral leidub tema vastandelement a 3) (a+b)+c=a+(b+c) 4) a+b=b+a 5) k(a+b)=ka+kb 6) (k+l)a=ka+la 7) (kl)a=k(la) 8) 1a=a Vektorruumi Vektorruumi alamruumiks nimetatakse vektorruumi V mittetühja alamhulka U, alamruum kui U on vektorruumi V tehete suhtes vektorruum üle...
. . . . 143 6.3 Ridade koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.1 Võrdluslaused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.2 Cauchy ja d’Alembert’i koonduvustunnus . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3.3 Leibnizi koonduvustunnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3.4 Integraaltunnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.5 Cauchy kondensatsiooniprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.6 Abeli ja Dirichlet’ koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.4 Ridade ümberjärjestused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.5 Funktsionaalread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . ....