Näiteks ruudu definitsiooni: ruut on nelinurk, mille kõik nurgad ja küljed on võrdsed eritunnus on nelinurk. 3.teoreem, pöördteoreem, teoreemi eeldus ja väide. Kui mingi lause tõesust saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil, siis seda lauset nimetatakse teoreemiks. Teoreemi tõesuse põhjandamist nimetatakse tõestamiseks. Näide: Aksioomideks nimetatakse tõdesid, millele tugineb teoreem. Teoreemis esitatud väite õigsust tõestatakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest lähtudes. Teoreemi eeldus ütleb mis on antud või teada. Teoreemi väide ütleb, mida on tarvis tõestada. Teoreemi eelduse ja väite äravahetamisel tekib esiagse teoreemi pöördlause. Kui teoreemi pöördlause on tõene on tegu pöördteoreemiga. Pöördteoreemid võib kokku võtta sõnaühendi parajasti siis abil (sümboliga )näiteks: arv lõppeb 0-iga parajast siis kui ta jagub 10-ga ja vastupidi. 4. vastuväiteline tõestusviis
f(x) + g(x) = f(x) + g(x) · TEOREEM 2: Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette; kui a = const, siis af(x) dx = a f(x) dx Selle tõestuseks saab võtta mõlemast poolest tuletised ja näidata, et nad teevad sama välja: [ af(x) dx ]'= af(x) [af(x) dx]' = a' f(x) dx + a [f(x) dx]' = 0 + af(x) = af(x) (uv)'= u'v + uv' 0 af(x) = af(x) Teoreemidest tuleneb paar kasulikku reeglit: 1 Kui f(x) dx = F(x) + C , siis kahe funktsiooni korrutise puhul: = a F(ax) + C Selle tõestuseks võtame mõlemalt poolt tuletise ja vaatame, kas need on võrdsed, parema poole puhul kasutame liitfunktsiooni tuletist, sest muud ei jää üle: a=const. · [ f(ax) dx]'= f(ax) 1 1 1 1 f (ax ) a
( f(x) dx + g(x) dx )' = (f(x) dx)' + ( g(x) dx )' = f(x) + g(x) f(x) + g(x) = f(x) + g(x) · TEOREEM 2: Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette; kui a = const, siis af(x) dx = a f(x) dx Selle tõestuseks saab võtta mõlemast poolest tuletised ja näidata, et nad teevad sama välja: [ af(x) dx ]'= af(x) [a f(x) dx]' = a' f(x) dx + a [ f(x) dx]' = 0 + af(x) = af(x) (uv)'= u'v + uv' 0 af(x) = Teoreemidest tuleneb paar kasulikku reeglit: 1 · Kui f(x) dx = F(x) + C , siis kahe funktsiooni korrutise puhul: = a F(ax) + C Selle tõestuseks võtame mõlemalt poolt tuletise ja vaatame, kas need on võrdsed, parema poole puhul kasutame liitfunktsiooni tuletist, sest muud ei jää üle: a=const. [ f(ax) dx]'= f(ax) 1 1 1 1 f (ax ) a
kirjeldavad tegelikkust või on kogemust abistavad väljamõeldised Vastus: Realism instrumentalismi vaidlus Kuidas nimetatakse teadusteooriates sisaldavaid objekte või seoseid, mida pole võimalike meeleliselt tajuda Vastus: Teoreetiline suhtust. Üks kolmest seisukohast ei ole filosoofias levinud seletus matemaatika aksioonide tõesuse kohta Vastus: Matemaatika aksioomide tõesus saadakse tuletamise kaudu aksioomidele järgnevatest teoreemidest Milline filosoof pidas oleva algeks piiritut loomust (apeiron) A) Thales B) Herakleitos C) Pythagoras D) Anaximoandros Seisukohta, mille kohaselt pole olemas midagi muud, kui tunnetava subjekti teadvusseisundid, nimetatakse: A) materialismiks B) objektiivseks idealismiks C) subjektiivseks idealismiks D) dualismiks Üks neljast ei ole epistemoloogiline tõeteooria milline? A) tõe korrespondentsiteooria B) ontoloogiline tõeteooria C) tõe koherentsiteooria
2 2 2 2 8:1 1:8 Soovitusi 2010. a matemaatika riigieksamiks valmistumiseks Matemaatika riigieksamiks valmistumine on pikaajaline ja pidev töö. Ainult siis saavutatakse eksamil soovitud tulemus. Eksamiks vajalikke teadmisi ja oskusi ei ole võimalik omandada ühe päeva või nädalaga. Eksaminandil on vaja selgeks õppida põhimõisted ning aru saada teoreemidest, valemitest ja meetoditest. Teoreemid, valemid ja lahendusmeetodid jms jäävad meelde seda paremini, mida rohkem nende kohta ülesandeid lahendatakse. Ülesandeid leiab õpikutest, erinevatest ülesannete kogudest ning kindlasti tuleks lahendada ja analüüsida eelmiste aastate riigieksamite ülesandeid. Õppematerjali eksamiks valmistumiseks leiab piisavalt. Näiteks: · T. Tõnso, A. Veelmaa ,,Matemaatika X, XI, XII klassile"; Mathema · L. Lepmann, T. Leppmann, K
pertseptron sobiva neuronite arvuga peidetud kihil on võimeline aproksimeerima suvalist pidevat funktsiooni ning Sontag'i teoreemi järgi, kahekihiline rekurentne närvivõrk sobiva neuronite arvuga peidetud kihil on võimeline aproksimeerima suvalist funktsiooni, millel on lõplik arv katkevuspunkte. Selleks on vaja valida ka sobivaid aktiveerimisfunktsioone ning leida optimaalseid võrgu parameetreid (kaalukoefitsiendid ja nihked). Teoreemidest on näha, et esimene samm on närvivõrgu õige arhitektuuri valik Kui probleemi lahendamisel kasutatakse otsesuunatud (peatükk 1.3.1) või tagasisidestatud (peatükk 1.3.2) närvivõrk, siis probleem seisneb peidetud kihi neuronite arvu valikus. Üldjuhul, kui neuroneid või peidetud neuronite kihte on võrgus liiga vähe, siis: · Võrgu õpetamisalgoritm ei koondu ja võrk töötab ebakorrektselt · Võrk ei reageeri aproksimeeritava funktsiooni järskvõnkumistele.
pertseptron sobiva neuronite arvuga peidetud kihil on võimeline aproksimeerima suvalist pidevat funktsiooni ning Sontag'i teoreemi järgi, kahekihiline rekurentne närvivõrk sobiva neuronite arvuga peidetud kihil on võimeline aproksimeerima suvalist funktsiooni, millel on lõplik arv katkevuspunkte. Selleks on vaja valida ka sobivaid aktiveerimisfunktsioone ning leida optimaalseid võrgu parameetreid (kaalukoefitsiendid ja nihked). Teoreemidest on näha, et esimene samm on närvivõrgu õige arhitektuuri valik Kui probleemi lahendamisel kasutatakse otsesuunatud (peatükk 1.3.1) või tagasisidestatud (peatükk 1.3.2) närvivõrk, siis probleem seisneb peidetud kihi neuronite arvu valikus. Üldjuhul, kui neuroneid või peidetud neuronite kihte on võrgus liiga vähe, siis: · Võrgu õpetamisalgoritm ei koondu ja võrk töötab ebakorrektselt · Võrk ei reageeri aproksimeeritava funktsiooni järskvõnkumistele.
Teistsuguse lähenemise järgi säilitab filosoofia iseseisvuse ka tulevikus. Kõik küsimused võib jagada kolme liiki: küsimused, millele saab anda vastuse kogemuse põhjal, kas praegu või tulevikus (nt kas Eestis elavad kauem mehed või naised mis on selle põhjuseks), ka igapäeva elu tekitab küsimusi, millele saab vastata kogemuse põhjal; küsimused, millele saab vastata deduktiivse arutlemise abil, lähtudes teoreemidest ja arutlustest (nt kohtuniku arutlused, lähtudes õiguaktidest); küsimused, millele ei saa vastata ei kogemuse ega deduktiivse arutlemise põhjal. ( nt kas elul on mõte, kas minevik eksisteerib, mis on õige ja ebaõige, mis on õnn). Kokkuvõtteks võib naljaga pooleks öelda, et kõik filosoofilised küsimused taanduvad tegelikult kahele: Mida see tähendab? See nõuab iga väite ja küsimuse puhul filosoofilist analüüsi. Kust sa tead
(26.15) Kuna valem (26.15) kehtib arenduse (26.12) iga liikme kohta, siis ka summa enese kohta, s o F^ G^ = G^ F^ , mott meelevaldsuse tõttu jäetakse ta sageli juurde märkimata ning kirjutatakse operaatorite kommutatiivsus sümboolsel kujul F^G^ = G^ F^ . Teoreemidest 1 ja 2 järgneb, et kui kaks füüsikalist suurust on samaaegselt mõõdetavad, siis neile vastavad operaatorid kommuteeruvad ja ümberpööratult: kommuteeruvad operaatorid vastavad samaaegselt mõõdetavatele füüsikalistele suurustele. Teoreem 3:Kui operaator F^ kommuteerub operaatoriga G^ ja operaatoriga H^ , kusjuures G^ ja H^ omavahel ei kommuteeru, siis operaatori F^ omaolekud on kõdunud. Olekut nimetatakse kõdunuks, kui ühele ja samale omaväärtusele vastab mitu
Juhtimise ülesandeks on saavutada nõutavat süsteemi dünaamikat, mida kirjeldab etalonmudel (reference model): Reference model: {r(t),d(t)}, kus r(t) on seadesuurus (juhtimissüsteemi sisend) ja d(t) on soovitav juhitava süsteemi väljund. Närvivõrk peab arvutama sellise juhtimissisendi u(t), et juhitav süsteem jälgiks etalonmudeli poolt määratud soovitava trajektoori: lim ( ) − ( ) = 0 →∞ d t y t t . Tehisnärvivõrkude teoreetilised alused – Üks tähtsamatest teoreemidest närvivõrkude teooriast on Stone-Weierstrassi teoreem, mis tõestab mitmekihiliste pertseptronide võimelisust aproksimeerida suvalist pidevat funktsiooni. Tänu sellele nad on rakendatavad paljude probleemide lahendamiseks (modelleerimiseks, juhtimiseks, ennustamiseks jne). Stone-Weierstrassi teoreem- teoreem väidab ainult seda, et teoreetiliselt eksisteerivad niisugused ideaalsed võrgu parameetrid, et ta aproksimeerib antud funktsiooni mis tahes etteantud täpsusega
Gödeli enda filosoofilised vaated kaldusid matemaatilisse platonismi: ta suhtus täisarvudesse kui objektidesse, mis on tegelikult olemas ning millel on teatud kindlad omadused sõltumata sellest, kas ja millises ulatuses me neid omadusi aksiomatiseerida ja tõestada suudame. Predikaatarvutuse täielikkus ja aritmeetika ning keerulisemate sßuteemide mittetäielikkus on küll kõige kuulsamad, kuid kaugeltki mitte ainsad 20. sajandi loogika fundamentaalsetest teoreemidest, mille autoriks on Gödel. Oma elu jooksul jõudis Gödel publitseerida aukartustäratava hulga artikleid ning käsitleda pea kõiki loogikavaldkondi. 2.5.6 Automaadid, programmeerimine ning lahenduvus Tuhandeid aastaid on lisaks sõrmedele kasutatud arvutamise juures abiks arvutuspulki, arvelaudu jm. Selliseid abivahendeid ei saa nimetada arvutusmasinateks, sest arvutamise meetodid pidid olema ikkagi kasutaja peas. Esimesed mehaanilised arvutusmasinad leiutati Euroopas 17
oltumatuse t~ottu on tegemist baasiga. 11.3 Teoreem vektorite arvust baasalamsu ¨ steemides VS-i k~ oikides baasalams¨ usteemides on u ¨hepalju vektoreid. T~oestus. Teame, et VS-i lineaarne kate on vektorruum. V¨ aide j¨ a- reldub teoreemidest 11.2 ning 22. 11.4 Vektorisu ¨ steemi astak VS-i astakuks nimetatakse vektorite arvu tema baasalams¨ usteemis. M¨ arkus Selle definitsiooni korrektsus on garanteeritud teoreemiga 11.3. 11.5 Teoreem vektorisu ¨ steemi astakust VS-i astak v~ ordub selle s¨ usteemi lineaarse katte m~ o~otmega.
Lausearvutus: Teoreemid sõnastatakse tavaliselt kujul: ,,Kui A, siis B". Teoreemi osa A, mis on seotud sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks, ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks. Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null. Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lause: ,,Kui kolmnurga küljed on võrdsed, siis on ta nurgad võrdsed"(kehtib).
hulgas K. Siis leidub selline t0 ∈ I, et l(t0 ) ∈ K. Seejuures t0 = 0 ja t0 = 1 seoste (8.20) t˜ottu. Defineerime kujutuse s : I −→ X reegliga r(t) = l(tt0 ). Kuna l on pidev, siis ka r on pidev. Seejuures r(0) = l(0) = x ja r(1) = l(t0 ). Seega on ¨hendav tee ning (x; l(t0 )) ∈ σ ja l(t0 ) ∈ K. r punkte x ja l(t0 ) u See on vastuolus varem saadud seosega l(t0 ) ∈ K. J¨arelikult l(I) ⊂ K ning l on punkte x ja y u ¨hendav tee ka ruumis K. Teoreemidest 8.8 ja 8.10 j¨areldub, et topoloogilise ruumi X iga lineaarse sidususe komponent sisaldub mingis sidususe komponendis. 8.4 Lokaalselt lineaarsed sidusad ruumid Leidub topoloogilisi ruume, milles sidususe ja lineaarse sidusu- se komponendid langevad omavahel kokku. Sellisteks ruumi- deks on k¨aesolevas alapunktis vaadeldavad lokaalselt lineaar- selt sidusad ruumid. Definitsioon 8.8 Topoloogilist ruumi X nimetatakse lo- kaalselt lineaarselt sidusaks ruumiks, kui tema iga punkti
annaabi.ee 
