(2.15). 17. Tõestage, et pöörleva keha punkti joonkiirus on risti selle punkti raadiusvektoriga. 18. Nurkkiirenduse definitsioonvalem (2.16) ja ühik. Nurkkiirenduseks nimetatakse nurkkiiruse tuletist aja järgi 19. Mitteühtlase pöördliikumise võrrandid üldkujul (2.17). 20. Ühtlaselt muutuva pöördliikumise võrrandid (2.18), nende kehtivuse kontroll. Kontrollida iseseisvalt, et võrranditest ajalise tuletise võtmisel saame tõepoolest võrrandid. 21. Normaal- ja tangentsiaalkiirenduse arvutusvalemid (2.22), kogukiirenduse valem (2.23). Joonis koos selgitustega. Joonis kujutab summaarse kiirenduse määramist kiireneva ringliikumise korral. Aeglustuva ringliikumise korral oleks tangentsiaalkiirenduse vektor suunatud kiirusvektorile vastupidises suunas. -tihedus ,V -maht , F-resultantj õud , p-rõhk , s kaarepikkus , u kiirus 22. Newtoni I seadus. Newtoni I seadus (inertsiseadus). Kui mingile kehale ei avalda mõju teised kehad või need
r dt nurkkiirendus on joonkiiruse mooduli ajaline tuletis jagatud kaugusega pööremisteljest, mis annab meile pöörleva keha punkti tangentsiaal- ehk puutujakiirenduse, mida tähistatakse at ja mis on suunatud kiiruse sihis: dv at = . (2.20) dt Järelikult jäiga keha mitteühtlasel pöördliikumisel on selle keha punkti summaarne kiirendusvektor a normaal- ja tangentsiaalkiirenduse vektoriaalne summa: a = at + an . (2.21) Kõverjoonelise liikumise korral on tangentsiaalkiirenduse vektor suunatud kiirusvektoriga paralleelselt ja põhjustatud kiiruse mooduli muutumisest. Normaalkiirenduse vektor on suunatud trajektoori kõverusraadiuse sihis, s.t. kiirusvektoriga risti, ja põhjustatud kiiruse suuna muutumisest. dv at || v , at = dt = r 2
Punkti kiirusvektor ei anna iialgi projektsiooni binormaal- ja normaalteljele. · Mis on loomulik teljestik punkti liikumisel mööda mingit kõverjoonelist trajektoori? Loomulik teljestik koosneb tangentsiaalteljest, mis on trajektoori puutujaks, normaalteljest, mis on tangentsiaalteljega risti ja suunatud mööda kõverusraadiust kõveruse tsentrisse ja binormaalteljest, mis on nii normaal kui ka tangentsiaalteljega risti. · Kuhu on suunatud punkti normaalkiirenduse ja tangentsiaalkiirenduse vektorid? Punkti normaalkiirendus on suunatud mööda kõverusraadiust kujuteldava ringjoone tsentrisse, tangentsiaalkiirenduse vektor kiireneva liikumise korral mööda trajektoori puutujat kiirusvektori suunas ja aeglustuval liikumisel kiirusvektoriga vastassuunas. · Kirjutada valemid punkti normaalkiirenduse ja tangentsiaalkiirenduse arvutamiseks. an=v2/r at= · Kirjutada valem punkti tangentsiaalkiirenduse arvutamiseks selle punkti koordinaatide x, y ja z
kiirusvektori projektsioonid nendele telgedele (joonis!)? Loomulik teljestik koosneb tangensiaalteljest, mis on trajektoori puutujaks, normaalteljest, mis on tangensiaalteljega risti ja on suunatud mööda kõverusraadiust kõveruse tsentrisse ja binormaalteljest, mis on nii normaal- kui tangensiaalteljega risti. vt s (t ) vn 0 vb 0 Kuhu on suunatud punkti normaalkiirenduse ja tangentsiaalkiirenduse vektorid? Punkti normaalkiirenduse vektor on suunatud mööda kõverusraadiust kujuteldava ringjoone tsentrisse. Tangensiaalkiirenduse vektor on suunatud mööda trajektoori puutujat kiireneva liikumise korral kiirusvektoriga samas suunas ja aeglustuva liikumise korral kiirusvektorile vastupidises suunas. Kirjutada valemid punkti normaalkiirenduse ja tangentsiaalkiirenduse arvutamiseks. dv at s r dt s 2 an 2 r r
Mõelge ja arvutage! Kiirendusega on veel üks vigur. Nagu loengutes kuulsite, jagatakse see kaheks komponendiks: -> normaalkiirendus on kiirenduse komponent, mis on liikumissuunaga risti (suunatud piki trajektoori normaali). -> tangentsiaalkiirendus on kiirenduse komponent, mis on suunatud piki trajektoori puutujat (ingl. tangent - puutuja). Et neid leida, peame kõigepealt leidma nurga kiirus- ja kiirendusvektorite vahel. Loomulikult skalaarkorrutise kaudu Edasi on lihtne: tangentsiaalkiirenduse saamiseks tuleb kiirendusvektori moodul (just moodul, mitte komponendid!) korrutada vektorite vahelise nurga koosinusega, normaalkiirenduse saamiseks aga sama nurga siinusega. Meie ülesande korral on see lihtne: Kontrolliks arvutage, kas nende ruutude summa annab välja kiirenduse mooduli ruudu: Näe - välja tuli! Liikumisvõrrandi koostamine Seda võib mõista kaheti: võrrandit saab "kokku panna", kui on teada kiirendus (pole tähtis, kas
liikumise suunas. Kiirendus näitab kui kiiresti muutub kiirus ajaühikus a = , dt dv x dv y dv z kiirenduse projektsioonid ax = , ay = , az = . Tasapinnalisel liikumisel dt dt dt saame kiirenduse esitada tangentsiaalkiirenduse ja normaalkiirenduse summana a = at + an . 2 2 Tangentsiaalkiirendus iseloomustab kiiruse mooduli muutumist dv ajaühikus at = . Normaalkiirendus iseloomustab kiiruse suuna muutumist dt ajaühikus an = v 2 r , kus r on trajektoori antud punkti kõverusraadius. Ühtlaselt muutuval ( ax = const ) x-telje sihilisel liikumisel, punktmassi koordinaat ja
aT R 2 v s aN Kodukiirendus on kesktõmbekiirenduse ja R aT tangentsiaalkiirenduse summa: a a N aT 38 Kulgliikumine vs pöördliikumine 39 LOENGUKURSUS UTT0080 INSENERIMEHAANIKA UTT0090 INSENERIFÜÜSIKA 6. LOENG HÕÕRE. KINEMAATIKA
dt ainult mingi punkti joonkiirus. Reegel nurkkiiruse määramiseks: parem peopesa ümber pöörlemistelje, sõrmedega pöörlemissuunas. Väljasirutatud pöial näitab nurkkiiruse suunda. Kasutatakse ka mõistet pöörlemissagedus. 1 n= , kus T on ühe pöörde tegemiseks T kulunud aeg. = 2 n Nurkkiirendus Nurk- ja tangentsiaalkiirenduse r vaheline seos r d = dt at = r d r r r = at = × r dt r r > 0 r r < 0 Dünaamika 10. N I seadus. Inertsiaalsed taustsüsteemid. Galilei relatiivsusprintsiip. N I s ehk inertsiseadus
a = lim = lim 1 + lim 2 . (2.6) t 0 t t 0 t t 0 t Kui me vaatame järjest väiksemaid ajavahemikke, siis punkt B läheneb A-le, võrdhaarse kolmnurga DAE tipunurk läheneb nullile, kolmnurga alus DE on peaaegu risti mõlema haaraga. Seega valemis (2.6) pärast viimast võrdusmärki esimene piirväärtus defineerib kiirenduse kiirusega ristuva komponendi normaalkiirenduse a n , teine liige aga kiirusesihilise komponendi tangentsiaalkiirenduse a : a = a n + a . (2.7) Vastavalt kiiruse muudu komponentide kohta öeldule kirjeldab a kiiruse mooduli muutumist, selle projektsioon kiiruse vektori suunale arvutatakse kui kiirusevektori mooduli tuletis aja järgi: dv a = = v . (2.8) dt
võetakse üle kogu ruumala ning r on tükikese dV kaugus teljest. Integraali saab leida ainult korrapäraste kehade puhul. · Pöörlemisvektorite avaldamine vektorkorrutisena. Pöörleva keha mingi punkti joonkiirus (tangensiaalkiirus): , kus on vaadeldava punkti kohavektor, aga pöörlemistsentri kohavektor. Samasugused valemid saame teha ka pöörleva keha suvalise punkti nihke ning tangentsiaalkiirenduse tarbeks. · Inertsimomendi, impulssmomendi (pöördimpulsi) ja pöörlemisenergia valemid (tuletusega, punktmassi abil). Inertsimoment: Keha Inertsimomendi avaldis Õõnes silinder või peenike rõngas (raadius R), I=mR2 sümmeetriatelje suhtes
(2.6) t 0 t t 0 t t 0 t Kui me vaatame järjest väiksemaid ajavahemikke, siis punkt B läheneb A-le, võrdhaarse kolmnurga DAE tipunurk läheneb nullile, kolmnurga alus DE on peaaegu risti mõlema haaraga. Seega valemis (2.6) pärast viimast võrdusmärki esimene piirväärtus defineerib kiirenduse kiirusega ristuva komponendi normaalkiirenduse a n , teine liige aga kiirusesihilise komponendi tangentsiaalkiirenduse a : a = a n + a . (2.7) Vastavalt kiiruse muudu komponentide kohta öeldule kirjeldab a kiiruse mooduli muutumist, selle projektsioon kiiruse vektori suunale arvutatakse kui kiirusevektori mooduli tuletis aja järgi: dv
kiirendusele vastab nurkkiirendus Nurkiirenduse avaldis: ,cet jäiga keha pöörlemisel punkti kaugus pöörlemisteljest ei muutu siis r=const ja me võime kirjutad: . Nurkkiirendus on on joonkiiruse mooduli ajaline tuletis jagatud kaugusega pöörlemisteljest, mis annab pöörleva keha punkti tangentsiaal ehk puutujakiirenduse,tähis on at. Järelikult jäiga keha mitteühtlasel pöördliikumisel on selle keha punkti summaarne kiirendusvektor a (vektor) normaal- ja tangentsiaalkiirenduse vektoriaalne summa. paralleelselt, normaalkiirendusevektor on kiirusvektoriga risti. Kuna tangentsiall ja normaalkiirenduse vektorid on omavahel risti, siis summaarse kiirenduse moodul= Pöördenurga, nurkkiiruse ja nurkkiirenduse vektorid. Pöördenurga vektoriks nim pöördliikumise korral niisugust vektorit, mille moodul võrdub läbitud pöördenurgaga ja mis on suunatud piki pöörlemistelge, määratakse kruvi reegli abil-
Arvutada selle punkti kiirus, normaal-, tangentsiaal- ja täiskiirendus ajahetkel t = 15 s. Antud: R 1m t1 = 10 s t2 = 15 s m v 100 s v0 0 Leida: an = ? normaalkiirendus ehk kiirendus, mis on suunatud ringjoone keskpunkti; at = ? tangensiaalkiirendus ehk kiirendus, mis iseloomustab pöörlemiskiiruse kasvu või kahanemist; ar = ? täiskiirendus ehk resultantkiirendus. Lahendus: Tangentsiaalkiirenduse võib leida kiiruse muudu ja ajavahemiku jagatisena v 0 100 m at 10 2 t 10 s Leiame, milline on punkti kiirus ajahetkel 15 s 27 m v 2 v 0 a t t 0 10 15 150 s Seeaga normaalkiirendus hetkel 15 s on leitav seosest 2
nurkkiirendus on joonkiiruse mooduli ajaline tuletis jagatud kaugusega pööremisteljest, mis annab meile pöörleva keha punkti tangentsiaal- ehk puutujakiirenduse, mida tähistatakse a t ja mis on suunatud kiiruse sihis: dv at = . (2.20) dt Järelikult – jäiga keha mitteühtlasel pöördliikumisel on selle keha punkti summaarne r kiirendusvektor a normaal- ja tangentsiaalkiirenduse vektoriaalne summa: r r r a = at + a n . (2.21) Kõverjoonelise liikumise korral on tangentsiaalkiirenduse vektor suunatud kiirusvektoriga paralleelselt ja põhjustatud kiiruse mooduli muutumisest. Normaalkiirenduse vektor on suunatud trajektoori kõverusraadiuse sihis, s.t. kiirusvektoriga risti, ja põhjustatud kiiruse suuna muutumisest. r r dv a t || v , at = dt = εr r 2
annaabi.ee 
