Ruutvõrratuse lahendamine 1. Lahendame võrrandi ax2 + bx + c = 0. 2. Skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c. 3. Leiame jooniselt võrratuse lahendihulga. Näide1. Lahendame võrratuse 2x2 + 7x + 3 > 0. 2x2 + 7x +3 = 0 - 7 ± 49 - 4 2 3 - 7 ± 49 - 24 - 7 ± 25 - 7 ± 5 x= = = = 22 4 4 4 -7+5 -2 - 7 - 5 - 12 x1 = = = -0,5 ja x2 = = = -3
b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni 2a 4ac - b 2 avaldisse ning leiame y väärtuse või kasutame valemit y = ). 4a Parabool läbib y-telge punktis (0 ; c). Vajadusel arvutame veel lisapunkte juurde. Näide. Skitseerime ruutfunktsiooni y = x2 - 5x + 6 graafiku. Graafik avaneb ülespoole, kuna ruutliikme kordaja on positiivne (a = 1). Graafiku skitseerimiseks leiame esmalt nullkohad, st. ruutvõrrandi x2 - 5x + 6 = 0 lahendid. Viete´i teorremi põhjal saame x1= 2 ja x2 = 3. Graafiku haripunkti leiame 2+3 nullkohtade aritmeetilise keskmisena: x h = = 2,5 ja y h = 2,5 2 - 5 2,5 + 6 = -0,25 2 ehk H(2,5; -0,25).
avanemise suuna paneb paika see, kumb tundmatutest on esimeses astmes ning millise märgiga on selle kordaja. Seda, kui lai on parabool, võime ühe joonel asuva punkti välja arvutamisega hinnata. Samas võib olla antud ka mõni muu parabooli iseloomustav suurus: fookus, juhtsirge või sümmeetriatelg. Nende poolt antud infot kombineerides saame teada parabooli haripunkti ja avanemise suuna. Näide 1 Skitseerime parabooli y2 = 6x. Võrrandist loeme välja, et parabooli haripunkt asub punktis (0; 0) (sest x-st ja y-st ei ole midagi lahutatud). Lisaks, parabool avaneb x-telje suunas (sest x on esimeses astmes) paremale (sest x-i kordaja on positiivne). Arvutame lisaks haripunktile veel ühe parabooli punkti, et joonis täpsem tuleks. Selleks anname vabalt x-le väärtuse, nt x = 6 ning arvutame võrrandist y-i väärtuse
Haar'i lainekesed j,k = ( 2)j (2j x - k) (j, k Z) leiavad kasutamist signaalide kirjeldamisel. N¨aide 7. Olgu [x] arvu x t¨ aisosa, st suurim t¨aisarv, mis ei u ¨leta arvu x. Nii funktsiooni y = [x] kui ka funktsiooni y = x - [x] m¨a¨aramispiirkond on R ja muu- tumispiirkonnad vastavalt k~oigi t¨ aisarvude hulk Z ja pooll~oik [0; 1) . Skitseerime nende funktsioonide graafikud l~ oigul [-2; 3] : 2 2 y y 1 1 -2 -1 1 x 2 3 -2 -1 1 x 2 3
Ülesanne 3 (II) 53 < 20 5 x + 52 x Tehes asenduse u = 5x , u > 0 saame ruutvõrratuse 125 < 20u + u 2 u + 20u -125 > 0. 2 Lahendame vastava ruutvõrrandi: u 2 + 20u -125 = 0, u = -10 ± 10 2 +125 = -10 ±15 u1 = -10 -15 = -25, u 2 = -10 +15 = 5. Ülesanne 3 (III) Ruutvõrratuse lahendi leidmiseks skitseerime funktsiooni v = u 2 - 20u +125 graafiku: v -25 5 u Ruutvõrratuse lahendiks loeme graafikult ruutfunktsiooni positiivsuspiirkonna: u < -25 või u > 5, kuna aga u = 5x > 0, siis vasakpoolne piirkond ( u < -25) on võõrlahendite hulk. Ülesanne 3 (IV) Parempoolsest piirkonnast saame lahendihulga, minnes tagasi esialgsele muutujale:
2. Kas funktsioon on paaris- d X või ja X paaritu? 8. Käänukohad Xk 3. Perioodilisus 9. Kumerus- ja 4. Nullkohad Xo nõgususvahemikud X ja X 5. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad 10. Asümptoodid X ja X + - 11. Toetudes andmetele 6. Ekstreemumkohad skitseerime graafiku Xe Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada Tavaliselt reaalarvude hulk Erandid: x murrujoone all ei sobi x väärtused, kus tekib jagamine 0- ga x paarisarvulise juurijaga juuremärgi all ei sobi x väärtused, mis muudavad juuritava negatiivseks x logaritmitavas - ei sobi x väärtused, mis muudavad
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0
x2 = 0,5(1 x13) 0,4581 x3 = 0,5(1 x23) 0,4519 ... X10 x11 0,4534. Kontrolliks: 0,45343 + 2*0,4534 1 6,14 * 10-6 Näide 2) Lahendame võrrandi 2x cos x = 0 (2.0) täpsusega 10-5. 9 Skitseerime graafikule y = x ja y = cos x, millede lõikepunkti uurimisel saame ligikaudse x- teljega lõikepunkti võrrandile y = 2x cos x. Jooniselt on näha, et võrrandil (2.0) on vaid üks lahend ja alglähendiks sobib x0 = 0.5. Võrrrand on esitatav kujul x = cos(x)/2 Saame rakendada algoritmi 1.24.3. Leiame x1 = cos(0.5)/2 = 0.43879 x2 = cos(0.43879)/2 = 0.45263
2. Arvuta kujundi pindala, mida piiravad jooned x = 0; y = -2; y = 5; y = -2x + 10. Lahendus: Leiame joonte lõikepunktid. 1) Joonte x = 0; y = -2 lõikepunkt on A(0;-2). 2) Joonte y = 5 ja y = -2x + 10 lõikepunkt. Koostame võrrandisüsteemi: Joonte y = 5 ja y = -2x + 10 lõikepunkt on B(2,5; 5). 3) Joonte x = 0 ja y = 5 lõikepunkt on C(0;5). 4) Joonte y = -2x + 10 ja y = -2 lõikepunkt. Koostame võrrandisüsteemi: Joonte y = -2x + 10 ja y = -2 lõikepunkt on D(6; -2). Skitseerime graafiku: Saime trapetsi. Trapetsi pindala valem on . Leiame lõikude AD, CD, AC pikkused. a = AD = 6 pü; b = CD = 2,5 pü; h = AC = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 pü. Pindala on seega Vastus: Kujundi pindala on 29,75 pindalaühikut. 3. Arvutada võimalikult täpselt, kui suure massiga on pealt lahtine klaasist ristkülikukujuline akvaarium koos veega. Akvaariumi mõõtmed on: pikem külg 1,23 m, lühem külg 0,68 m, kõrgus 0,72 m, klaasi paksus 0,5 cm. Vee tase moodustab
Funktsioon uurimine 1. Määramispiirkond; 2. Graafiku sümmeetria; 3. Perioodilisus ( paaris või paaritu); 4. Katkevuspunktid ja pidevuspiirkonnad; 5. Nullkohad ja negatiivsus- ja positiivsuspiirkonnas; 6. Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c. Def2 Avaldist kujul F ( x ) + C, kus F ( x on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on
Võrratuse lahenditeks on muutuja need väärtused, mille korral võrratus on tõene. Võrratuse kõik lahendid kokku moodustavad võrratuse lahendihulga. Samu muutujaid sisaldavaid võrratusi nimetatakse samaväärseteks, kui neil on üks ja sama lahendihulk. Võrratuse lahendihulga kirjeldame alati nii graafiliselt kui ka piirkonnana. Ruutvõrratuse lahendamisel leiame kõigepealt ruutvõrrandi nullkohad, siis skitseerime parabooli ja siis leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant 4 Avaldist kujul a d b c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu: a b ad bc c d Arve a, b, c ja d nimetatakse determinandi elementideks. Elemendid a ja d moodustavad determinandi peadiagonaali, b ja c kõrvaldiagonaali.
Võrratuse lahenditeks on muutuja need väärtused, mille korral võrratus on tõene. Võrratuse kõik lahendid kokku moodustavad võrratuse lahendihulga. Samu muutujaid sisaldavaid võrratusi nimetatakse samaväärseteks, kui neil on üks ja sama lahendihulk. Võrratuse lahendihulga kirjeldame alati nii graafiliselt kui ka piirkonnana. Ruutvõrratuse lahendamisel leiame kõigepealt ruutvõrrandi nullkohad, siis skitseerime parabooli ja siis leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant 4 Avaldist kujul a d b c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu: a b ad bc c d Arve a, b, c ja d nimetatakse determinandi elementideks. Elemendid a ja d moodustavad determinandi peadiagonaali, b ja c kõrvaldiagonaali.
11 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium RUUTVÕRRATUSED Võrratust, mis esitub kujul ax2 + bx + c > 0, kus a ≠ 0, nimetatakse ühe muutujaga ruutvõrratuseks. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, ≥ või ≤. Ruutvõrratusi on üldjuhul mõistlik lahendada järgmise skeemi järgi: a) Lahendame võrrandi ax2 + bx + c = 0 b) Skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c c) Leiame jooniselt võrratuse lahendihulga. Vaatleme mõningaid näiteid, lahendame võrratused a) x2 – 2x – 3 > 0 b) x(x + 1) ≥ 0 c) –x2 – 2x > 0 d) x2 + 2x + 3 < 0 e) x2 + 4x + 4 ≥ 0 f) x2 – 4x + 4 < 0 a) b) L ;1 3; L ;1 0; © Allar Veelmaa 2014
vahemikus, kus f ( x) 0 ja kahanev vahemikus, kus f ( x) 0 . Seega tuleb leida funktsiooni tuletis ning seejärel lahendada võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 . Kuna on tegemist kuupfunktsiooniga, siis võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 kujutavad ruutvõrratusi. Ruutvõrratuse lahendamiseks toimime järgmiselt: 1) leiame vastava ruutfunktsiooni nullkohad, st võrrandi f ' ( x) 0 lahendid; 2) arvestades ruutliikme kordaja märki ja leitud nullkohti skitseerime ruutfunktsiooni graafiku (parabooli); 3) leiame jooniselt ruutfunktsiooni positiivsus- või negatiivsuspiirkonna. 2) Etteantud lõigus funktsiooni suurima (vähima) väärtuse leidmiseks arvutame funktsiooni väärtused vastaval ekstreemumkohal, st f x max , kui küsitakse funktsiooni suurimat väärtust või f x min , kui küsitakse funktsiooni vähimat väärtust, ja lõigu otspunktides. Leitud funktsiooni väärtuste
=- 2 x x IV. Ekstreemumid ( x ) = 2 1 x Kasvamis- ja kahanemispk f '(x)>0 V. Käänupunktid (x ) = nx n n -1 Kumerus- ja nõgususpunktid f ''(x)>0 VI. Skitseerime f-ni graafiku [ u ( x ) + v( x ) ] = u ( x ) + v ( x ) 102. Ekstreemumite määramine teise tuletise abil I. Leiame f-ni tuletise f '(x) II. Leiame f-ni tuletise 0-kohad f '(x)=0 III. Leiame f-ni teise tuletise f ''(x) IV. Asendame esimese tuletise 0-kohad teise tuletisse KUI f ''(x1)<0 => kohal x1 on maksimum f ''(x1)>0 => kohal x1 on miinimum 103. Ekstreemumülesanded 12. klass 104. Tõenäosus Kindel p () = 1 Võimatu p (0/ ) = 0
Laias kursuses võib õpetaja graafiku ette anda ja lasta joone võrrandi ära arvata. Näiteks allpool toodud - 0,5 9 hüperboolide (joonis 8 ja 9) korral saame, et y = ja y = . Vajalikud andmed tuleb x x õpilasel lugeda jooniselt, arutledes enne, milliseid fakte üldse vaja läheb. Joonis 8 Joonis 9 Analoogselt saab käituda ka parabooliga: kõigepealt skitseerime graafiku valemi järgi, siis analüüsime, milliseid andmeid on vaja, et valemit joonise järgi tuletada. Ühiselt arutledes jõutakse järeldusele, et valemis y = ax 2 + bx + c kordajate a, b ja c määramiseks vajame kolme punkti koordinaate. Võtame (joonis 10) punktid A(-1;4), B(1;0) ja C(2;4) ning asetame Joonis 10 saadud koordinaadid võrrandisse. Saame 3 muutujaga kolmest võrrandist koosneva süsteemi
Võrratuse lahendid moodustavad reaalarvude huga mingi piirkonna. 4.3 Ühe muutujaga lineaarvõrratusesüsteemid Kui otsime selliseid arve, mis rahuldaksid samaaegselt mitut võrratust, tuleb meil lahendada nendest võrratustest koosnev võrratusesüsteem. Selleks lahendatakse iga võrratus eraldi. Lahendihulgaks on süsteemi kuuluvate võrratuste lahendihulkade ühisosa. 4.4 Ruutvõrratused Üldkuju on Lahendamiseks lahendame ruutvõrrandi, skitseerime graafiku ja leiame graafikult, kus on funktsiooni väärtused pos ja neg 4.5 Intervallmeetod Võrratuse a(x-a1)(x-a2)...(x-an)>0 (kus a>0) lahendamiseks kanname kõigepealt vastava funktsiooni nullkohad arvteljele. Niimoodi jaguneb arvtelg lõplikuks arvuks intervallideks, millest igaühes funktsioon säilitab oma märgi + või -. Tõmbame läbi nullkohtade abijoone, alustades paremalt ülalt. Seejuures abijoon lõikab x-telge, kui nullkoht on paarituarvulise
laeng, intensivsus). ehk * dq = ( - ). Selle deltafunktsiooni normiks on k (x )dx = 1 -k ehk funktsiooni ühikuline pindala S = 1. Pindala all eksisteerib funktsioon ja viimane võrdus kehtib ainult seal, kus funktsioon ei ole null. Skitseerime normeeritud kvntmehhaanilise omafunktsiooni deltafunktsiooni Joonis 4 Normeeritud omafunktsioon deltafunktsioonina. 25. Funktsioonide süsteemi täielikkus Kvantmehhaanikas kasutatavate operaatorite kohta peame esitama täiendava nõude, mis garanteeriks superpositsioonilise seose kehtivuse mistahes oleku ja operaatorile vastava füüsikalise suuruse omaolekute vahel. Selleks peame nõudma, et mistahes olekufunktsioon oleks arendatav antud operaatori
annaabi.ee 
