Kui lõpptulemus, iseseisvumine, juba äratuntav on, siis vaadatakse minevikku läbi selle kitsa vaa- tepilu ning nähakse seal sihiteadliku iseseisvumissoovi märke, mida tol ajal üldse ei osatud tähele panna, sest neid lihtsalt polnud. Eestile on selliseks vaatepiluks 24. veebruar 1918. Kui sellele tagasi vaadata, siis tundub arengutee iseseisvumisele petlikult loogilise ja sihikindla projektina. Kuni 1917. aasta hilissügiseni seisid Eesti parteid selle eest, et Venemaa muutuks föderat siooniks ning Eesti oleks autonoomne liikmesriik sellise Venemaa koosseisus. See oli kõik - veel ei püütud Venemaast eralduda. Alles pärast seda, kui bolševikud olid Petrogradis võimu haaranud ja vasakäärmuslaste terror ka Eestis kasvanud, asusid kõik parteid, välja arvatud Nõukogude Venemaaga kokkujäämist soovinud enamlased, iseseisvuse väljakuulutamist toetama. Parteide otsuste näol oli tegemist poliitilise seisukohaga, aga
1942.a.alates oli Messiaen Pariisi konservatooriumi professor. Tema kuulsamad õpilased on P.Boulez, K.- H.Stockhausen, I.Xenakis jt. Messiaeni muusika kolm allikat on religioossus, eksootika ja panteism. Tema muusikat iseloomustab modaalsus st. muusika aluseks on tema enda loodud helilaadid ja rütmid, millede eeskujuks on gregooriuse koraalid, antiik-kreeka luulerütmid ja india rütmid. Heliread ja rütmivõtted on talle omase tehnika abil ühendatud keeruliseks konstrukt- siooniks. Seda on ta selgitanud raamatus "Minu helikeele tehnika" 1944. Messiaeni helikeel on täielikult väljenduslikkuse teenistuses: ta muusika tugineb sageli religioossetele kujutluspiltidele ja sümbolitele. Üle 40 aasta jäädvustas ja uuris ta linnulaulu ning kasutas seda oma teostes. Erinevalt "konkreetsest muusikast" kasutas ta seda materjali mitte otse tsiteerides, vaid nn. moduste e. mudelitena (muutis registreid, tempot jne. ) Turangalila-sümfoonia 1946-48 Sanskriti k
1942.a.alates oli Messiaen Pariisi konservatooriumi professor. Tema kuulsamad õpilased on P.Boulez, K.- H.Stockhausen, I.Xenakis jt. Messiaeni muusika kolm allikat on religioossus, eksootika ja panteism. Tema muusikat iseloomustab modaalsus st. muusika aluseks on tema enda loodud helilaadid ja rütmid, millede eeskujuks on gregooriuse koraalid, antiik-kreeka luulerütmid ja india rütmid. Heliread ja rütmivõtted on talle omase tehnika abil ühendatud keeruliseks konstrukt- siooniks. Seda on ta selgitanud raamatus "Minu helikeele tehnika" 1944. Messiaeni helikeel on täielikult väljenduslikkuse teenistuses: ta muusika tugineb sageli religioossetele kujutluspiltidele ja sümbolitele. Üle 40 aasta jäädvustas ja uuris ta linnulaulu ning kasutas seda oma teostes. Erinevalt "konkreetsest muusikast" kasutas ta seda materjali mitte otse tsiteerides, vaid nn. moduste e. mudelitena (muutis registreid, tempot jne. ) Turangalila-sümfoonia 1946-48 Sanskriti k
= 4t + 2 sin 2t = + 2. 0 0 5.5 Ositi integreerimine Olgu u(x) ja v(x) l~oigul [a; b] diferentseeruvad funktsioonid. Sellisel juhul nende korrutise difrentsiaal d(uv) = udv + vdu. Punkti 4.1. j¨arelduse 1.6 p~ohjal on diferentsiaali d(uv) u ¨heks algfunkt- siooniks uv. Integreerides viimast v~ordust rajades a-st b-ni, saame b b b uv = udv + vdu, a a a millest b b b
vasallidel; Riia, Tallinna ja Tartu linnadel. Talupoegadel osavõtuõigust mõistagi polnud (näiteks Soomes ja Rootsis oli). Igal seisusel oli maapäeval otsustamisel üks hääl ja otsused pidid olema ühehäälsed. Maapäeva teke tähistas senisest feodaalsest anarhiast õiguslikult korrastatuma sei-susteriigi teket, kuid järgmist sammu ühtse tsentraliseeritud riigi loomise teel ei astutud. Vana-Liivimaa jäi omavahel väga lõdvalt seotud riigikeste konföderat-siooniks. Narva ja Ivangorod (Jaanilinn) pildistatuna põhjakaarest. Maailmas on vähe kohti, kus tsivilisatsioonide vastasseis ja kooseksisteerimine nõnda kujukalt on materialiseerunud. Need kaks hindlust seisavad juba sajandeid Euroopa ja Venemaa, Lääne ja Ida piiril. RAHVUSVAHELISE OLUKORRA MUUTUMINE. Alates 14.-15. sajandi vahetusest muutus rahvusvaheline olukord Vana-Liivimaa ümber tundmatuseni. Seni omavahel lakkamatult vaenutsenud Taani, Norra ja Rootsi-Soome
muusikuks. Ta oli silmapaistev helilooja, organist ja õpetaja. sündis Avignonis, Messiaeni muusika kolm allikat on religioossus, eksootika ja panteism. Tema muusikat iseloomustab modaalsus st. muusika aluseks on tema enda loodud helilaadid ja rütmid, millede eeskujuks on gregooriuse koraalid, antiik-kreeka luulerütmid ja india rütmid. Heliread ja rütmivõtted on talle omase tehnika abil ühendatud keeruliseks konstrukt- siooniks. Seda on ta selgitanud raamatus "Minu helikeele tehnika" 1944. Messiaeni helikeel on täielikult väljenduslikkuse teenistuses: ta muusika tugineb sageli religioossetele kujutluspiltidele ja sümbolitele. Üle 40 aasta jäädvustas ja uuris ta linnulaulu ning kasutas seda oma teostes. Erinevalt "konkreetsest muusikast" kasutas ta seda materjali mitte otse tsiteerides, vaid nn. moduste e. mudelitena (muutis registreid, tempot jne. ) 1953 "Lindude ärkamine" klaverile orkestriga
i on suurem teisest arvust j , s.o. i > j . Vaadeldes permutatsioonis (2.1) k~oiki arvupaare (1 , 2 ), (1 , 3 ), . . . , (1 , n ), (2 , 3 ), . . . , (2 , n ), . . . , (n-1 , n ), saame kokku lugeda inversioonide arvu antud permutatsioonis. Inversiooni- de arvu permutatsioonis (2.1) t¨ahistame I (1 , 2 , . . . , n ) abil. Definitsioon 2.2. Permutatsiooni nimetatatakse paarispermutat- siooniks (paarituks permutatsiooniks), kui tema inversioonide arv on paa- risarv (paaritu arv). Teoreem 2.2. Kui permutatsioonis ¨ ara vahetada kaks elementi, siis permutatsioon muudab paarsust. T~oestus. T~oestame esmalt teoreemi, kui permutatsioonis vahetatavad arvud on k~orvuti, s.o. permutatsioonist 1 . . . i i+1 . . . n saame permutatsiooni 1 . . . i+1 i . . . n .
αi on suurem teisest arvust αj , s.o. αi > αj . Vaadeldes permutatsioonis (2.1) k˜oiki arvupaare (α1 , α2 ), (α1 , α3 ), . . . , (α1 , αn ), (α2 , α3 ), . . . , (α2 , αn ), . . . , (αn−1 , αn ), saame kokku lugeda inversioonide arvu antud permutatsioonis. Inversiooni- de arvu permutatsioonis (2.1) t¨ahistame I (α1 , α2 , . . . , αn ) abil. Definitsioon 2.2. Permutatsiooni nimetatatakse paarispermutat- siooniks (paarituks permutatsiooniks), kui tema inversioonide arv on paa- risarv (paaritu arv). Teoreem 2.2. Kui permutatsioonis ¨ ara vahetada kaks elementi, siis permutatsioon muudab paarsust. T˜oestus. T˜oestame esmalt teoreemi, kui permutatsioonis vahetatavad arvud on k˜orvuti, s.o. permutatsioonist α1 . . . αi αi+1 . . . αn saame permutatsiooni α1 . . . αi+1 αi . . . αn .
leid, omadusi ja rakendusi, nimetatakse diferentsiaalarvutuseks. Definitsioon 5.5 Me nimetame funktsiooni f diferentseeruvaks punktis x, kui leidub lõplik tuletis f (x). 5.3 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuleti- sed Märkus 5.2 Olgu funktsioonil f lõplikud tuletised hulga X igas punktis x. Siis vas- tavus x f (x) määrab funktsiooni f , mida nimetatakse funktsiooni f tuletisfunktsiooniks. Näiteks, funktsiooni y = x2 , x R tuletisfunkt- siooniks on sirge y = 2x. Konstandi tuletis on alati null, (Const) = 0. 49 PEATÜKK 5. FUNKTSIOONI TULETIS JA DIFERENTSIAAL Astmefunktsiooni tuletis. (x ) = · x-1 , = 0. Toome eraldi välja järgmised: 1 1 1
Uhel asustusalal elavad sama liiki organis- seva eluta keskkonnaga okosiisteemi. Nditena mid moodustavad populatsiooni. Seega jagu- v6ime nimetada ir1-rte r,'eekogr-r: oja, j6ge, tiiki voi neb liik populatsioonideks. N2iiteks r.ihes tiigis jArve. Okosristeem on isereguleerul. stisteem, ujuvad karpkalad on selle liigi tiheks populat- millesse kuultu ate populatsioonide koosseis ja siooniks. Populatsioon ongi organismile jiirg- arvukus sdilib pikerna aja jooksui stabiilsena. 1.3. Teac nev eluslooduse organiseerituse tase. Populat- sioonisiseselt v6ib tiiheldada mitmesuguseid feadlas. --
¨ (Uhesel) funktsioonil ei saa aga mitut v¨a¨artust olla. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib v¨ahemalt u ¨ks y-teljega paralleleelne sirge, mis l~oikab funktsiooni graafikut mitmes punktis. 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funkt- sioonid. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunkt- siooniks, kui iga x X korral kehtib v~ordus f (-x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib v~ordus f (-x) = -f (x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib v~ordus f (x + C) = f (x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨a¨aramispiir- konna alamhulk
¨ (Uhesel) funktsioonil ei saa aga mitut v¨a¨artust olla. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib v¨ahemalt u ¨ks y-teljega paralleleelne sirge, mis l~oikab funktsiooni graafikut mitmes punktis. 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funkt- sioonid. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunkt- siooniks, kui iga x X korral kehtib v~ordus f (-x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib v~ordus f (-x) = -f (x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib v~ordus f (x + C) = f (x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨a¨aramispiir- konna alamhulk
alamruumina ruumis R3 . T¨ahistame p = (0; 0; 1) ∈ S2 . Ka X = S2 {p} on alamruum ruumis R3 . Ruumi X punkti x ¨mbruste baasi moodustavad lahtiste kerade B(x; r) = { y ∈ u R3 | d(y, x) < r } u ¨hisosad hulgaga X. Pannes ruumi X punk- tile x = (x1 ; x2 ; x3 ) vastavusse ruumis R3 punkte p ja x l¨abiva sirge ja x1 x2 -tasandi l˜oikepunkti g(x), mida vaatleme punk- tina ruumist R2 , saame hom¨oomorfismi g : S2 {p} −→ R2 . Hom¨oomorfismi g nimetatakse stereograafiliseks projekt- siooniks ja x1 x2 g(x1 ; x2 ; x3 ) = ( ; ). 1 − x3 1 − x3 5.4 Faktorruum Vaatleme topoloogilist ruumi (X, T ). Olgu hulgal X antud ekvivalentsiseos σ. Siis tekib faktorhulk X/σ, mille elemen- 48 5 KONSTRUKTSIOONID ... tideks on ekvivalentsiklassid [x], kus [x] koosneb punktiga x ∈ X ekvivalentsetest ruumi X punktidest. Hulga X ja tema
¨hest haru y = - r2 - x2 , saame Diferentseerides teist u 1 x y =- · (-2x) = - . 2 2 r -x 2 - r 2 - x2 M~olemal juhul klapib tulemus ilmutamata kujust leitud tuletisega. N¨aide 2. Leiame y , kui sin(x + y) + cos(xy) = 0. V~orduse vasakul pool on kaks liitfunktsiooni. Esimeses on v¨aliseks funkt- siooniks siinus ja seesmiseks x + y, teises v¨aliseks funktsiooniks koosinus ja seesmiseks xy. Arvestades sellega, et y on x funktsioon, leiame v~orduse m~ole- malt poolt tuletise x j¨argi, cos(x + y) · (1 + y ) - sin(xy) · (y + xy ) = 0. P¨arast sulgude avamist saame cos(x + y) + y cos(x + y) - y sin(xy) - xy sin(xy) = 0 ehk y [cos(x + y) - x sin(xy)] = y sin(xy) - cos(x + y), millest y sin(xy) - cos(x + y)
See poleks küll eriti kena masin, aga igati lubatud. Samas kui nõuame, et ka saadud reaalfunktsioonil säiliks pidevus, on laienduseks täpselt üks võimalus: kõik augud tuleb täita funktsiooni piirväärtuste abil. See trikk võimaldabki meil tihti alustada ühe funktsiooni defineerimist ratsionaal- arvudel ning alles lõpus pidevuse abil reaalarvudele üle minna. Näiteks saime täp- selt selle triki abil laiendada astendamise ilusaks pidevaks eksponentsiaalfunkt- siooniks [lk 280]. Täpselt sama meetod aitab meid veel ka näiteks ristküliku pind- alade defineerimisel tükeldamise meetodil [lk 362]. 319 tuletis tuletis Rahvaarv on riigi seisukohalt tähtis näitaja – ta mõõdab mõne rahva suurust ja vägevust, meie puhul küll vist pigem väiksust ja haavatavust. Siin on viimase poole
annaabi.ee 
