y - y1 k = tan = 2 x 2 - x1 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: y - y1 = k ( x - x1 ) Algordinaat sirge ja y-telje lõikepunkti y-koordinaat. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: y = kx + b Kahe punktiga määratud sirge võrrand: y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 Sirge võrrand telglõikudes: x y + =1 a b y-teljega paralleelse sirge võrrand on x = a x-teljega paralleelse sirge võrrand on y = b Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga. Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand: x - x1 y - y1 = sx sy Nurk kahe sirge vahel: k1 - k 2 tan = 1 + k1 k 2 Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed. k1 = k2 Ristuvate sirgete tõusude korrutis võrdub -1-ga. k1·k2 = -1
Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand y y1 x x1 y P(x;y) y2 y1 x2 x1 B(x2;y2) A(x1;y1) s sx ; s y x y y1 x x1 s sy sx Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga. Näide. Koosta sirge võrrand, kui sirge sihivektor on koordinaatidega (4;-1) ning sirge läbib punkti P(3;-2). x 3 y 2 4 1 ( x 3) 4( y 2) .... y 0,25 x 1,25 y 0,25 x 1,25 Sirge üldvõrrand ...... on lineaarvõrrand kujul Ax + By + C =0,
0 x Tõusu ja ühe punktiga määratud sirge võrrand Sirge võrrandiks, kui on teada tõus k = tan ja mingi punkt A(x1; y1) sirgelt, on y - y1 = k ( x - x1 ) . y A(x1; y1) 0 x Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirgega kollineaarset (paralleelset) vektorit. Kui on teada sirge sihivektor s = ( s1 , s2 ) ja mingi punkt A(x1; y1) sellelt sirgelt, siis saab sirge võrrandi esitada kujul x - x1 y - y1 = . s1 s2 y s A(x1; y1) 0 x Sirge üldvõrrand
Kui A=B=0, siis tasand on paralleelne x-y tasandiga. Kui A=D=0, siis tasand läbib x-telge. Tasandi võrrand telglõikudes Punkti Po(xo; yo; zo) kaugus tasandist Ax+By+Cz+D=0 Kahe tasandi vastastikused asendid Olgu 2 tasandit : A1x+B1y+C1z+D1=0; ja tema normaalvektor : A2x+B2y+C2z+D2=0; ja tema normaalvektor Ühtivad tasandid = Paralleelsed tasandid || Lõikuvad tasandid =l Tasandid on risti kui Nurk tasandite vahel Sirge ruumis Sirge sihivektoriks nim iga vektorit, mis on paralleelne sirgega. Sirge kanooniline võrrand Vaatleme sirget, mis läbib punkti Mo(xo;yo;zo) ja sihivektor on . Valime sirgel suvalise punkti M(x;y;z). Moodustame vektori . Kui asendada kanoonilisse võrrandisse mingi punkti koordinaadid, siis kõik 3 suhet on omavahel võrdsed. Sirge parameetriline võrrand Parameeter t on muutuv suurus, erinevatel sirge punktidele vastab erinev t väärtus.
Joone võrrand 7.1 Sirge võrrand Sirge võrrand peaks arvatavasti olema võrrand, mis sisaldab sirge mis tahes punkti koordinaate x ja y kui muutujaid. · Läbi kahe punkti saab joonestada vaid ühe sirge. Tähendab, kui on antud kaks punkti oma koordinaatidega, peaksima saama koostada sirge võrrandi. · Sirge sihivektor. Iga vektorit, mis on paralleelne vaadeldava sirgega või asub sellel sirgel, nimetatakse sirge sihivektoriks. Järelikult on sihivektoreid lõpmatult palju ja nad erinevad omavahelt pikkuselt või suunalt (2 sihivektorit erinevad vaid arvulise kordaja poolest). Selle leidmiseks piisab kahe punkti leidmisest vaadeldaval sirgel. Nende punktidega määratud vektor ongi üks sirge sihivektor. · Punkti ja sihivektoriga määratud sirge. Antud on punkt A ja sirge sihivektor s. Läbi punkti A saab panna lõpmatult
20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kaks vektorit on kollineaarsed (a|| b), kui vektorkorrutis on 0 ( = || || sin 0°/180° = 0) Kaks vektorit asetsevad risti ( ), kui skalaarkorrutis on 0 ( = || || cos 90° = 0) Kaks vektorit on komplanaarsed, kui segakorrutis on 0 ((a × b)c = 0) 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Kui sirge s on määratud punktidega A(x1 ; y1 ) ja B(x2 ; y2 ), siis selle sirge sihivektoriks on iga (nullvektorist erinev) vektor s, mis on samasihiline (kollineaarne) vektoriga AB Vektorit, mis on risti vaadeldava sirge sihivektoriga, nimetatakse selle sirge normaalvektoriks Sirge tõus sirge tõusunurga tangens
Olgu LVS-i maatriksiks A ja süsteemi laiendatud maatriksiks B ja olgu LVSis tundmatute arvuks n. 1. Kui rank(A) ≠ rank(B), siis LVSil ei ole lahendeid. 2. Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend. 3. Kui rank(A) = rank(B) < n, siis on LVSil lõpmata palju lahendeid. 8 Sirge sihivektor sirgel fikseeritakse üks punkt ja nullvektorist erineva vektori abil antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) Sirge asendid koordinaattelgede suhtes. Kui A2 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega.
3. Vektorid ja on komplanaarsed parajasti siis kui nende segakorrutis 4. Vektorid ja moodustavad paremkäe kolmiku, kui nende segakorrutis on positiivne ja moodustavad vasakkäe kolmiku, kui nende segakorrutis on negatiivne. 27. Sirged 1) Vaatleme sirge kolmemõõtmilseses ruumis. Sirge on määratud mingi punktiga A(ax; ay; az), mille ta läbib (st A ), ja vektoriga = , millega on see sirge paralleelne, st (seda vektorit nimetatakse sirge (sx; sy; sz) 0 sihivektoriks). Olgu X (x; y; z) sirgel paiknev suvaline punkt. Et vektor , siis leidub mingi arv , et Definitsioon. Võrrandit , nimetakse sirge parameetriliseks vektorvõrrandiks. Vektorite liitmise definitsiooni kohaselt Seega Kuna , siis
Kui vektor r-r1 on paralleelne vektoriga s ja paralleelsete vektorite vektorkorrutis on 0, siis s(r- r1)=0, so sirge vektorvõrrand. Võrrandeid x-x1/s1= y-y1/s2= z-z1/s3 nim sirge kanoonilisteks võrranditeks ruumis. X-x1/s1=y-y1/s2 on sirge kanoonilinr võrrand tasandil. Kahe antud punkti läbiva sirge võrrand Ruumis on antud 2 punkti M1(x1,y1,z1) ja M2(x2,y2,z2). Et leida võrrandit sirgele mis läbib punkte M1 ja M2 tarvitseb võtta punkti M1 alguspunktiks ja vektor M1M2 sirge sihivektoriks. X-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1 kahte antud punkti läbiva sirge võrrandid ruumis. Y- y1=k(x-x1)- võrrand sirgele, mis läbib antud punkti ja on antud tõusuga. Nurk kahe sirge vahel Nurk kahe sirge vahel on võrdne nurgaga nende sirgete sihivektorite vahel. Kui antud 2 sirget siis on vastavalt definitsioonile on nende vaheline nurk võrdne nurgaga sihivektorite s=(s1 s2 s3) ja r=(r1 r2 r3) vahel. =s1r1+..../ s1² + s2² + s... r1...
kaugus 14. Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserva a ja külgserva b kaudu avalda üht külgserva ja püramiidi kõrgust läbiva lõike pindala. 15. Võrdhaarse trapetsi aluste pikkuste suhe on 0,75. Trapetsi kesklõigu pikkus võrdub trapetsi kõrgusega h = 7 m. Leia trapetsi ümberringjoone pikkus. 16. Leia hüperbooli y = puutujad, mis on paralleelsed sirgega y = -x. 17. Sirge s läbib punkte A(1; 2; -3) ja B(0; -1; 1). Sirge t läbib punkti C(-1; 0; 1) ning sihivektoriks on a = (1; 0; 4). Koosta sirgete s ja t võrrandid ning tee kindlaks sirgete vastastikune asedn. 18. Lihtsusta ( sin + cos - 1)( sin + cos + 1) 4( sin 30° - sin 45° sin )( cos 60° + cos 45° cos tan ) 19. Aritmeetilise jada neljanda, kaheksanda, kaheteistkümnenda ja kuueteistkümnenda liikme summa on 500. Leia esimese 19 liikme summa. 20. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid oleksid kolme võrra väiksemad ruutvõrrandi
x y ( z1 + z 2 ) = x yz1 + x yz 2 (x ) yz = x(y) z = xy(z) =( xyz) Segakorrutise koordinaadid parema käe ristkoordinaatide kaudu: SIRGE VÕRRAND:Sirge võrrandid: Poolus suvaline punkt O E Punkti kohavektor pooluse O suhtes - nimetatakse vektorit OX Joonis: Vektorite liitmise definitsiooni kohaselt OX =OA +AX. Tähistame sirge s fikseeritud punkti A ning suvalise punkti X kohavektoreid edaspidi lühemalt: a :=OA, :=OX. Sirge sihivektor Sirge sihivektoriks nimetatakse sirge suvalise 2 erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on s. Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingi sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t. s = , kus AB s. Joonis: Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1,A2) nimetatakse sirge s : A1x1 + A2x2 + A3 = 0 normaalvektoriks. Koordinaattelg - Sirget, mis läbib reeperi alguspunkti O ja mille sihivektoriks
· Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor. · Skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Ristseisu tunnused: · Skalaarkorrutis on 0 · Vektorkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutistega. Komplanaarsuse tunnused: · Segakorrutis on 0 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nim selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Sirge võrrand tasandil: Kanooniline võrrand - ehk - sirge s kanooniline võrrand tasandil või ka sirge võrrand sihivektrori ja punkti järgi. Üldvõrrand - Sirge tõusuks nim selle sirge tõusunurga tangensit. Sirge tõusunurk on alati 0* ja 180* vahel.
(14.6) 14.3 Sirge vektorvõrrandid Sirget saab klassikaliselt määrata kahe ette antud puntki abil. Tavaliselt kasutatakse järgmist võimalust: sirgel fikseeritakse üks punkt A ja null- vektorist erineva vektori s abil antakse sirge siht. Tähistame sirget tähega l. Olgu sirge suvaline punkt tähistatud tähega X l, siis punkte A ja X ühendab vabavektor AX E. Definitsioon 14.6 Nullist erinevat vektorit s E nimetatakse sirge l sihivektoriks. Definitsioon 14.7 Võrrandit l = {X | AX = ts, t R} (14.7) nimetatakse sirge l parameetriliseks vektorvõrrandiks. 130 14.4. Definitsioon 14.8 Võrrandit l = {X | OX = OA + ts, t R} (14.8)
annaabi.ee 
