nende lineaarse kombinatsioonina Maatriksi astak Maatriksi astak r võrdub maatriksi lineaarselt sõltumatute reavektorite (veeruvektorite) maksimaalse arvuga. Ülejäänud reavektorid (veeruvektorid) avalduvad nende r vektori kaudu 1 0 ... 0 0 1 ... 0 En = R n× n ... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 - - a13a22a31 - a11a23a32 - a12 a21a33 A R 3×3 det A = a11a22 - a12a21 A R 2×2 Ruutmaatriksi determinant Determinant on ruutmaatriksit iseloomustav arv Pöördmaatriks AA-1 = A-1 A = E det A 0 Ruutmaatriks on regulaarne, kui Regulaarse ruutmaatriksi pöördmaatriks on sama järku ruutmaatriks. Maatriksi ja tema pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.
öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinnine. · Tuginedes maatriksarvutustele võime väita, et hulgas C kehtivad järgmised omadused: · Hulk C osutub algebralise süsteemi mõttes kommutatiivseks korpuseks. · hulk C osutub ka vektor ruumiks (baasi temas moodustavad 1 ja i). · seega i on kaldsümmeetriline maatriks · Def2: Hulka C, mille elementideks on kõik sellised (2*2) järku ruutmaatriksid, kus iga maatriksi korral peadiogonaalil paiknevad arvud on omavahel võrdsed ning kõrvaldiagonaalil asuvad arvud on teineteisest märgi poolest erinevad nim kompleksarvude hulgaks ja tema elemente nim kompleksarvudeks. · Tehetes kompleksarvudega peame meeles pidama järgmisi omadusi: · Suurust // nim kompleksarvu mooduliks ja teda arvutame valemiga: · Kehtivad omadused (1-7)
Kui determinandi mingis reas või veerus on kõik arvud nullid, siis determinandi väärtus võrdub nulliga. Omadus 9. Ruutmaatriksi A = ( aij ) R n×n determinandi A = D mis tahes reanumbrite i ja k korral kehtib võrdus kus Akj on determinandi elemendi akj alamdeterminant. Analoogselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral . Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis det( AB) = (det A) (det B) 4. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E, kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Pöördmaatriksi elementide 1 ~
Om4 + (-) = Om5 = Om6 ( ) = ( ) Om7 ( + ) = + Om8 E= Hulka, kus kehtivad nimetatud 8 arvutusseadust nimetatakse kommutatiivseks korpuseks. Samas moodustab antud hulk vektorruumi ja baasiks on arv 1, i. i = -1 = ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks. Arv i on sisu poolest ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks. Def2 Hulka C, mille elementideks on sellised ( 2 × 2) järku ruutmaatriksid, kus peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid on üksteise vastandarvud nimetatakse kompleksarvude hulgaks ja elemente kompleksarvudeks. Algebralistes tehetes kompleksarvudega tuleb arvestada järgmiste eeskirjadega: 1) = a + bi = : a = c; b = d = c + di 2) + = ( a + c) + ( b + d) i 3) - = ( a c) + ( b d) i 4) = (ac bd) + (ad + bc) i 5) / = ac + bd/ c2 + d2 + (bc ad) i / c2 + d2
Def.2-kui mistahes xV on eeskirja £ alusel vastavusse seatud kinnine.,C ; +C F=Xt*A*X (X on ruutvormi muutujate maatriks nx1) üks kindel y hulgast W, siis öeldaksem et on määratud ühene kujutus hulgast V hulka W. Hulka C, mille elementideks on kõik sellised 2x2 järku ruutmaatriksid, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning 1. £(a+b)= £(a)+ £(b) lineaarkujutuse Muutujte regulaarse teisendamise tulemusena saame esialgse
.. , ain . Arendades determinandi D^ tema k- nda rea järgi, saame: D^ = ai1 Ak1 + ai 2 Ak 2 + ... + ain Akn . Omaduse 3 põhjal D^ = 0 , sest determinandi D^ i-s rida ja k-s rida langevad kokku. Siit järeldub võrdus (5) juhul i k . Analoogselt tõestatakse valem (6). Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis det ( AB ) = ( det A ) ( det B ) . 4.Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Def. 1. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E , (1) kus E on sobivat järku ühikmaatriks.
6. Maatriksi defnitsioon ja tähistused. Lineaarsed tehted maatriksitega ja nende omadused. K - korpus; m, n - positiivsed naturaalarvud; (mxn)-maatriks üle korpuse K - m-realine ja n-veeruline skalaaride tabel; K(mxn) - kõigi (mxn)-maatriksite hulk üle korpuse K (mxn)-maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit A = ||aij|| = (aij R iga i ja j korral) Erikujulised maatriksid: 1. ruutmaatriksid (m=n) 2. diagonaalmaatriks (m=n; aij = 0 ij) 3. skalaarmaatriks (m=n; aij = 0 ij; a11 = a22 = ... = ann) Lineaarsed tehted maatriksitega A = ||aij|| Kmxn; B = ||bij|| Kmxn; c K 1. liitmine: A + B = ||cij|| Kmxn; cij = aij + bij i,j 2. skalaariga korrutamine: cA = ||dij|| Kmxn; dij = caij i,j Samad omadused kui vektorite korral, kus = A, = B, = C, V = Rnxm 7. Maatriksite korrutamine. Korrutamise omadused ja seos lineaarsete tehetega. A = ||aij|| Kmxn; B = ||bjk|| Knxp
Defineerime n-j¨ kaudu arendusvalemiga a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n det A := . .. .. .. .. := a11 A11 + a12 A12 + · · · + a1n A1n . . . an1 an2 . . . ann Seega det on funktsioon, mis igale ruumaatriksile A seab arendus- det valemi abil vastavusse kindla arvu, A - det A. Teisiti ¨oeldes, funktsiooni det argumendiks on ruutmaatriksid ja v¨a¨artusteks ar- vud. 1.10 N¨ aide (u ¨ lesanne) Vastavalt determinandi definitsioonile 4 3 -5 0 2 0 -5 3 0 -5 3 2 0 -5 = 4 0 -2 3 - 3 1 -2 3 1 0 -2 3 1 -3 4 0 -3 4 0 1 -3 4 3 2 -5 3 2 0 -5 1 0 3 - 0 1 0 -2
Omadus 2. Maatriksi A pöördmaatriksi pöördmaatriks ( A-1 ) langeb kokku maatriksiga A: -1 -1 Tõestus. Selleks, et kehtiks ( A ) = A , peab kehtima AA -1 = A -1 A = E . See võrdus on aga rahuldatud, kuna A-1 on A pöördmaatriks. Omadus 3. Ühikmaatriks on iseenda pöördmaatriksiks: E -1 = E . Tõestus. Kehtib, kuna EE = E. Omadus 4. Kui A ja B on sama järku regulaarsed ruutmaatriksid, siis on regulaarne ka AB, kusjuures ( AB)-1 = B -1 A-1. Tõestus. Selleks tuleb näidata, et ( AB )( B -1 A-1 ) = ( B -1 A-1 )( AB ) = E. Tõepoolest ( AB )( B -1 A-1 ) = A( BB -1 ) A-1 = AEA-1 = AA-1 = E. Analoogiliselt kehtib ka teine võrdus. Omadus 5. Kui maatriks A on regulaarne ja c 0 , siis on regulaarne ka cA, kusjuures (cA) -1 = c -1 A-1.
3. Lineaarvõrrandisüsteemi mõiste, lahend, süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 4. Kronecker'i-Capelli teoreemi sõnastus. Cramer'i peajuht. 5. Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Süsteemi üld- ja erilahend. Homogeenne lineaarvõrran- disüsteem. Triviaalne lahend. PEATÜKK 2. PÖÖRDMAATRIKS. LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMID 2.1 Maatriksi pöördmaatriks Antud alapeatükis eeldame, et maatriksid on n-järku ruutmaatriksid kujul a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n A= 31 a a 32 a33 · · · a3n , n N. . . . .. . .. .. .. ..
skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA. Erinevalt arvude korrutamisest on maatriksite korrutamisel oluline tegurite järjekord: AB BA. Pole raske tõestada, et A E = EA = A, kus A on ruutmaatriks, E ühikmaatriks (sama suurusega kui A). Näide 6 : b11 b12 a11 a12 a13 × b21 b22 = a 21 a 22 a 23 2 x 3
skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA. Erinevalt arvude korrutamisest on maatriksite korrutamisel oluline tegurite järjekord: AB BA. Pole raske tõestada, et A E = EA = A, kus A on ruutmaatriks, E ühikmaatriks (sama suurusega kui A). Näide 6 : b11 b12 a11 a12 a13 × b21 b22 = a 21 a 22 a 23 2 x 3
.. ... ... ... ... ai1 ai2 ... aij ... ain ... ... ... ... ... ... am1 am2 ... amj ... amn Maatriksi dimensiooni märgitakse ka tähekombinatsiooniga dim. Näiteks, kui dim A = 2 × 3, siis maatriksil A on 2 rida ja 3 veergu. Kui ridade arv ja veergude arv on võrdsed, m = n, on tegemist ruutmaatriksiga. Näiteks järgmised maatriksid on ruutmaatriksid: 23 2 4 5 9 2 14 6 0 MAJANDUSMATEMAATIKA I Maatriksid 59
annaabi.ee 
