Ringjoone võrrand Ringjooneks nimetatakse tasandi niisugust punktihulka, mis asuvad ühest punktist (keskpunktist) võrdsel kaugusel(raadiuse kaugusel). Kui keskpunkti koordinaadid on (0;0), siis joonevõrrand on : x2+y2=r2 Kui keskpunkt on antud koordinaatidega (a;b) , siis joonevõrrand on: (x-a)2+(y-b)2=r2 Need kaks olid kanoonilised ehk tavapärased võrrandid. Ringjoone võrrandi üldkuju: x2+y2+ax+by+c=0 Näiteks: K(-2;3) r=3 (x+2)2+(y-3)2=(3)2 (x+2)2+(y-3)2=3 kanooniline võrrand X2+4x+4-y2-6y+9=3 X2+y2+4x-6y+10=0 üldvõrrand
y=(b/a)x, mis on sirge, seega resultantvõnkumine on harmooniline võnkumine mööda sirget sagedusega ning amplituudiga (a2+b2)1/2 Kui faasivahe on ±, siis võrrand võtab kuju (x/a+y/b)2=0 ja resultantvõnkumine on harmooniline võnkumine mööda sirget. Kui faasivahe on ±/2, võtab võrrand kuju (x/a+y/b)2=1, mis on ellips. Ellipsi poolteljed on võrdsed vastavate võnkumiste amplituudidega. Kui amplituudid on võrdsed, siis ellips muutub ringjooneks. 6. Hääl levib õhus pikilainena. 7. Hääl on võnkumine sagedusega 20-20 000 Hz (seda vahemikku kuuleb inimene). Alla 20 Hz jäävad helid on infrahelid ja üle 20 000 Hz ultrahelid. 8. Hääle kõrgus oleneb võnkumise kiirusest. Mida kiirem võnkumine seda kõrgem hääl. Hääle valjus oleneb sagedusest. Mida suurem on sagedus seda kõrgem on hääl. 9. Heli levimise kiirus ehk heli kiirus ei sõltu sagedusest, vaid ainult keskkonnast ja välistingimustest
13. Iga naturaalarvu, millega antud arv jagub, nimetatakse antud arvu teguriks. 14. Iga naturaalarvu peale nulli, mis jagub antud arvuga, nimetatakse selle arvu kordseks. 15. Lihtmurruks nimetatakse harilikku murdu, mille lugeja on nimetajast väiksem. 16. Murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 17. Murru laiendamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja korrutamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 18. Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka tasandil. 19. Hulka B nimetatakse hulga A osahulgaks kui iga tema element kuulub hulka A. 20. Teravnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik nurgad on väiksemad kui 90°. 21. Nürinurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille üks nurk on suurem kui 90°. 22. Üheks protsendiks nimetatakse ühe sajandiku suurust osa tervikust. 23. Rööpkulikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed.
Välisnurkade summa on 360o nar Hulknurga pindala ( S = , n-külgede arv, a-külg, r-apoteem) 2 Korrapärane kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast küljega a. 6 a 2 3 3a 2 3 Kuusnurga pindala ( S = = ) 4 2 RINGJOON, RING, SEKTOR Tasandi kõigi punktide hulka, mille kaugus fikseeritud punktist O on r, nimetatakse ringjooneks. ( r-raadius, O-keskpunkt) Tasandi kõigi punktide hulka, mille kaugus punktist O on väiksem või võrdne raadiusega, nimetatakse ringiks. Sektoriks nimetatakse ringi osa, mida piiravad ringi kaks raadiust ja nende otspunktide vahel asetsev ringjoone kaar Nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis (haaradeks on ringi raadiused), nimetatakse kesknurgaks.(nurk AOC) Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud (ringjoone lõikajad), nimetatakse piirdenurgaks.(nurkABC)
(6: 1, 2, 3, 6) 16. Iga naturaalarvu (peale nulli), mis jagub antud arvuga, nimetatakse selle arvu kordseks. (6: 12, 18) 17. Lihtmurdu nimetatakse harilikku murdu, mille lugeja on nimetajast väiksem. 18. Murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 19. Murru laiendamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja korrutamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 20. Naturaalarvu, millel on kaks tegurot nimetatakse algarvuks. 21. Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka tasandil. 22. Hulka B nimetatakse hulga A osahulgaks, kui iga tema element kuulub hulka A. 23. Teravnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, millel on kõik nurgad võiksemad kui 90kraadi. 24. Nürinurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, millel on üks nurk suurem kui 90 kraadi. 25. Üheks protsendiks nimetatakse ühesajandikku suurust osa tervikust. 26
Välisnurkade summa on 360o nar Hulknurga pindala ( S , n-külgede arv, a-külg, r-apoteem) 2 Korrapärane kuusnurk koosneb kuuest võrdkülgsest kolmnurgast küljega a. 6 a 2 3 3a 2 3 Kuusnurga pindala ( S ) 4 2 RINGJOON, RING, SEKTOR Tasandi kõigi punktide hulka, mille kaugus fikseeritud punktist O on r, nimetatakse ringjooneks. ( r-raadius, O-keskpunkt) Tasandi kõigi punktide hulka, mille kaugus punktist O on väiksem või võrdne raadiusega, nimetatakse ringiks. Sektoriks nimetatakse ringi osa, mida piiravad ringi kaks raadiust ja nende otspunktide vahel asetsev ringjoone kaar Nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis (haaradeks on ringi raadiused), nimetatakse kesknurgaks.(nurk AOC) Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud (ringjoone lõikajad), nimetatakse piirdenurgaks.(nurkABC)
1. Missugustel põhjustel võib ruumi tekkida magnetväli? Liikuvad laetud osakesed, elektrivoolu olemasolu, püsimagnetid, ajas muutuv elektriväli. 2. Mida kujutavad endast püsimagnetid? Mõndade materjalide pidev omadus tõmmata külge rauast esemeid. Jagnunevad U- ja sirgmagnetiteks. 3. Mida nimetatakse magneti poolusteks? Kõigil magnetitel on paarisarv pooluseid, see on magneti piirkondi, kus tema magnetilised omadused avalduvad kõige tugevamini. Tavaliselt on pooluseid kaks, põhja- (N) ja lõunapoolus (S). Pooluste nimed on pandud selle järgi, milline pöördus vabalt rippudes Maakera vastava geograafilise pooluse poole. Nt magneti N-poolus pöördus Maa geograafilise põhjapooluse poole. 4. Millest on tingitud püsimagneti magnitilised omadused? Püsimagnetite magnetilisi omadusi võib seletada neis leiduvate ,,mikrovoolude" ühesuguse orientatsiooniga. Sellisel juhul ,,mikrovoolude" magnetväljad liitudes tugevdavad...
8. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur: 1) ristprojekteerimisel Et cos fii (väiksemvõrdne) 1, siis jääb ristprojekteerimisel lõigu moondetegur m vahemikku 0 (suuremvõrdne) m(väiksemvõrdne) 1. 2) paralleelprojekteerimisel 0 (suuremvõrdne) m < lõpmatus 9. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega - Sirgeks 2) paralleelne ekraaniga Ringjooneks 10. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? See avaldub koosnius funktsiooni kaudu. A`B`=AB cos fii, (lõigu enda ja kaldenurga koosinuse vahel.) 11. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk sirglõigu ja tema ristprojektsiooni vahle. 12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0 kuni 180 kraadi. 13
aasta septembrist on GPS-süsteemis kasutusel 31 satelliiti, mis tiirlevad oma orbiitidel maapinnast umbes 20 000 kilomeetri kõrgusel. GPS- vastuvõtja mõõdab oma asukoha määramiseks kaugusi neljast teadaolevate koordinaatidega satelliidist. Mõõtes kauguse esimesest satelliidist, määratakse vastuvõtja võimalike asukohtade kerapind. Mõõtes kauguse teisest satelliidist kitseneb vastuvõtja võimalike asukohtade hulk kahe kerapinna lõikumisel tekkivaks ringjooneks. Kolmas satelliit eraldab sellest ringjoonest kaks punkti ning neljanda satelliidi kauguse mõõtmine valib neist kahest välja "selle õige". GPS vastuvõtja asukoha määramise täpsus sõltub kahest faktorist: satelliitide koordinaatide ning vastuvõtja ja satelliitide vaheliste kauguste mõõtmise täpsusest. Iga GPS-satelliit saadab pidevalt välja keerukat pseudojuhuslikku signaali, mida vastuvõtja kasutabki mõlema parameetri väljaarvutamiseks. Teooria kohaselt liiguvad satelliidid
2) Mitmendal aastal pärast raiet on sellel metsatükil jälle 15000 tm puitu, kui puidu igaastane juurdekasv on keskmiselt 2%? 5.aastal 22. (2004) Teibilint paksusega 0,2 mm on keritud silindrikujulisele südamikule, mille raadius on 1 cm, teibirulli läbimõõt on 6 cm. Leidke teibilindi pikkus täpsusega 0,5 m. Näpunäide: Lähtuge sellest, et küllalt suur täpsusega võib iga rullis oleva teibikihi ristlõike lugeda ringjooneks, kusjuures iga järgmise kihi raadius on 0,02 cm võrra suurem kui eelmisel. Seega on esimeses kihis 2πcm teipi, teises kihis 2,04πcm jne. 12,5 m 23. (2006) Kaablitrassi torude ristlõige on ring diameetriga d. Torud on laotud harkide vahele nii, et esimeses kihis on üks toru ja igajärgmise kihikaks toru puudutavad eelmise kihi ühte toru. Kõige ülemises kihis on m toru. 1) Avaldage
a m Pindala: S = n n = pr 2 R2 2 S = n sin 2 n Korrapärane kuusnurk Külg võrdub ümberringjoone raadiusega a 6 = R a 3 r =m = 2 S = 3am = pr RINGJOON JA RING 2/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE Ringjooneks nimetatakse tasandil antud punktist (ringjoone keskpunktist) jääval kaugusel (ringjoone raadius) asetsevate punktide hulka. Ring on tasandi osa mida piirab ringjoon. Ümbermõõt P = 2 r = d 1 Pindala: S = r 2 = d 4 Ringjoone kõõl on lõik, mis ühendab kaht punkti ringjoonel. Kõõluga ristuv raadius poolitab kõõlu. Kui kaks kõõlu lõikuvad, siis ühe kõõlu lõikude korrutis võrdub teise kõõlu lõikude korrutisega a1a2 = b1b2
sirge sihivektorit. Sirge ja tasandi vastasikused asendid Olgu sirge s: A(xo;yo;zo); Tasand : Ax+By+Cz+D=0; Sirge asetseb tasandil s ;A Sirge on tasandiga paralleelne s|| ;A Sirge lõikab tasandit s={L} Kahe punktiga määratud sirge võrrand Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. Tähistatakse k. 6. Teist järku algebralised jooned Ringjoon Ringjooneks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus tasandi antud punktist on konstantne. Koostame ringjoone võrrandi, kui keskpunkt Q(a;b) ja raadius on r. Tähistame ringjoonel suvalise punkti M(x;y) ja arvutame selle kauguse keskpunktist, siis MQ=r. Kui keskpunkt Q(0;0), siis on ringjoone võrrand x2+y2=r Ellips Ellipsiks nim tasandi punktide hulka, mille kauguste summa tasandi kahest antud punktist on konstantne. Neid punkte nim ellipsi fookusteks (tähistatakse F 1 ja F2)
aasta septembrist on GPS-süsteemis kasutusel 31 satelliiti, mis tiirlevad oma orbiitidel maapinnast umbes 20 000 kilomeetri kõrgusel. GPS- vastuvõtja mõõdab oma asukoha määramiseks kaugusi neljast teadaolevate koordinaatidega satelliidist. Mõõtes kauguse esimesest satelliidist, määratakse vastuvõtja võimalike asukohtade kerapind. Mõõtes kauguse teisest satelliidist kitseneb vastuvõtja võimalike asukohtade hulk kahe kerapinna lõikumisel tekkivaks ringjooneks. Kolmas satelliit eraldab sellest ringjoonest kaks punkti ning neljanda satelliidi kauguse mõõtmine valib neist kahest välja "selle õige". GPS vastuvõtja asukoha määramise täpsus sõltub kahest faktorist: satelliitide koordinaatide ning vastuvõtja ja satelliitide vaheliste kauguste mõõtmise täpsusest. Iga
muutumatu. Püströöptahukas on püstprisma, mille põhitahkudeks on rööpkülikud. Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud. Reaalarvu saab esitada kümnendmurdude abil nn. lõpmatu kümnendarenduse kujul. Ring on ringjoonega piiratud kujund. Ringi raadiuseks nimetatakse ringjoone mis tahes punkti keskpunktiga ühendavat lõiku. Ringi sektoriks nimetatakse kahte osa, mille on ringi keskele tõmmatud raadius kaheks osaks jaganud. Ringjooneks nimetatakse niisuguste punktide hulka, mis asuvad võrdsel kaugusel ühest punktist. Rombiks nimetatakse nelinurka, mille kõik küljed on võrdsed. Ruutjuure võtmine on kahega astendamise pöördtehe. Igal mittenegatiivsel reaalarvul on üks aritmeetiline ruutjuur. Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand, mis on teisaldatav kujule kus a 0. Ruutvõrrandi lahendivalem on .
pooltelje OB1=OB2 pikkus on b.
5. Suhet e=c/a nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks. Kuna 0c
aasta septembrist on GPS-süsteemis kasutusel 31 satelliiti, mis tiirlevad oma orbiitidel maapinnast umbes 20 000 kilomeetri kõrgusel. GPS- vastuvõtja mõõdab oma asukoha määramiseks kaugusi neljast teadaolevate koordinaatidega satelliidist. Mõõtes kauguse esimesest satelliidist, määratakse vastuvõtja võimalike asukohtade kerapind. Mõõtes kauguse teisest satelliidist kitseneb vastuvõtja võimalike asukohtade hulk kahe kerapinna lõikumisel tekkivaks ringjooneks. Kolmas satelliit eraldab sellest ringjoonest kaks punkti ning neljanda satelliidi kauguse mõõtmine valib neist kahest välja “selle õige”. GPS vastuvõtja asukoha määramise täpsus sõltub kahest faktorist: satelliitide koordinaatide ning vastuvõtja ja satelliitide vaheliste kauguste mõõtmise täpsusest. Iga GPS-satelliit saadab pidevalt välja keerukat pseudojuhuslikku signaali, mida vastuvõtja kasutabki mõlema parameetri väljaarvutamiseks
Saime sin , . (6) temal. Ilmselt siis (s, ) = 0. Sama tulemuse saame valemi (6) abil, sest siis Viimane valem on rakendatav ka siis, kui sirge on paralleelne tasandiga või asub hoopis · 0 sin , 0 , 0. 31. Ringjoon ja ellips Definitsioon. Ringjooneks nimetatkse kõigi selliste punktide P(x; y) hulka, mis asuvad kindlal kaugusel r fikseeritud punktist K(x0; y0). P(x; y) asub ringjoonel parajasti siis, kui d(K; P) = r (kaugus K ja P vahel on r). Kauguse definitsioonist saame ringjoone võrrandi Punkti K(x0; y0) nimetatakse ringi keskpunktiks ja kaugust r nimetatakse ringi raadiuseks. Näide: Leida järgmise ringjoone raadius ja keskpunkti koordinaadid: Lahendus: Eraldame täisruud x-i järgi: 2 2
Arvud A ja B sirge üldvõrrandis on sirge sihivektori koordinaadid. Kui sirge võrrand on Ax + By + C = 0, siis selle sirge sihivektor on s (B; A) © Allar Veelmaa 2014 29 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium RINGJOONE VÕRRAND Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka tasandil. Kui ringjoone keskpunkt on O(0; 0) ja raadius r, siis selle ringjoone võrrand on x 2 + y 2 = r2 r Näiteks ringjoone x2 + y2 = 25 raadius r = 5. Kui ringjoone võrrand on x2 + y2 = 0, siis r = 0 ja ring- joone asemel on tegemist punktiga. Kui ringjoone keskpunkt on O(x1; y1) ja raadius r , siis ringjoone võrrand on
kus punkti x ∈]a; b[ u ¨mbruste baasiks on vahemikud ]x− ; x+ [⊂]a; b[ ja punkti [a] = [b] u¨mbruste baasi moodustavad hul- gad b−a {[a]}∪]a; a + [∪]b − ; b[, kus 0 < < . 2 ¨ Uleminekut l˜oigult X = [a; b] faktorhulgale X ∗ v˜oib piltlikult illustreerida j¨argmiselt: l˜oik [a; b] on painutatud ringjooneks, kleepides otspunktid a ja b kokku. T¨apsemalt ¨oeldes, faktor- ruum X ∗ on hom¨oomorfne u ¨hem˜o˜otmelise sf¨a¨ariga S1 . Ruu- mide X ∗ ja S1 hom¨oomorfsus X ∗ ≈ S1 saavutatakse hom¨oo- morfismiga g : X ∗ −→ S1 , kus 2π(x − a) 2π(x − a) g([x]) = ( cos ; sin ). b−a b−a N¨aide 5.9 Defineerime kujutuse f : Sn −→ B(θ; 1) n-
annaabi.ee 
