Juhuslik suurus-Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust X, kui iga x R korral eksisteerib tõenäosus P(X < x) Pidev juhuslik suurus-Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitteloenduvalt lõpmatu (st väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks Poissoni jaotus-Diskreetse juhusliku suuruse X esinemise tõenäosus ajaühikus on Poissoni jaotuse järgi. Normaaljaotus-Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda kirjeldavad kaks parameetrit µ ja s 2. Tähistatakse N(µ, s 2). Tihedusfunktsioon-Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks,tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: 1) Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0. 2) Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega.
Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Def. komar'de z1 C ja z2 C vahex z1 - z2 on summa z1 + (-z2). Kompleksarvude lahutamisel lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. NB! i2 = -1 => i= RJ-1 . Korruta (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 - b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) ; Def Komar z = a+ib kaaskompleksarvux nimetatakse arvu .z = a- ib. Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegeldus reaaltelje suhtes. JagamineDef. Kompleksarvu z = a + ib moodul |z| defineeritakse valemiga |z| = RJ(a2 + b2) Geomeetriliselt on kompleksarvu moodul teda komplekstasandil kujutava vektori pikkus.Kuna a2 + b2 = |z|2 , siis kehtib võrdus zz = |z|2. Seda võrdust kasutatakse kompleksarvude jagatise leidmiseks. Kompleksarvude z1 C ja z2 C jagatis z1/z2 leitakse avaldisest z1/z2= = z1z2/ z2 z2 ehk üldjuhul on jagatise valemix a1 + ib1/ a2 + ib2 = a1a2 + b1b2 /a22 + b22+ i(b1a2 - a1b2 / a22 + b22). Trigonom
asuva punkti (a, b) kaugust nullpunktist. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kaaskompleksarv Definitsioon Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu z¯ = a − bi. Kaaskompleksarv z¯ asub arvuga z nullpunktist v˜ ordsel kaugusel ning z ja z¯ on s¨ ummeetrilised reaaltelje suhtes. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Tehted kompleksarvudega Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis nende v˜ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse j¨argmiselt: Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid
Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Def. komar'de z1 C ja z2 C vahex z1 - z2 on summa z1 + (-z2). Kompleksarvude lahutamisel lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. NB! i 2 = -1 => i= RJ-1 . Korruta (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 - b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) ; Def Komar z = a+ib kaaskompleksarvux nimetatakse arvu .z = a- ib. Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegeldus reaaltelje suhtes. JagamineDef. Kompleksarvu z = a + ib moodul |z| defineeritakse valemiga |z| = RJ(a2 + b2) Geomeetriliselt on kompleksarvu moodul teda komplekstasandil kujutava vektori pikkus.Kuna a2 + b2 = |z|2 , siis kehtib võrdus zz = |z|2. Seda võrdust kasutatakse kompleksarvude jagatise leidmiseks. Kompleksarvude z1 C ja z2 C jagatis z1/z2 leitakse avaldisest z1/z2= = z1z2/ z2 z2 ehk üldjuhul on jagatise valemix a1 + ib1/ a2 + ib2 = a1a2 + b1b2 /a22 + b22+ i(b1a2 - a1b2 / a22 + b22). Trigonom
väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas jaotusfunktsiooni F(x,y) saab esitada valemina või tabeli abil, milles loetletakse tihedusfunktsiooni abil. Kui leidub niisugune juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja funktsioon f(x,y), et siis nimetatakse seda nende omandamise tõenäosused. juhuslikku vektorit pidevaks, funktsiooni Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib f(x,y) aga selle juhusliku vektori omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda tihedusfunktsiooniks.Kui jaotusfunktsioon F(x, kirjeldavad kaks parameetrit µ ja s 2. y) on pidev ja kaks korda diferentseeruv, siis Tähistatakse N(µ, s 2). juhusliku vektori tihedusfunktsioon f(x,y) Ta on sümmeetriline, kelluka kujuline. avaldub jaotusfunktsiooni F(x,y) teist järku Normaaljaotuse tihedusfunktsioon avaldub. segatuletise kaudu: F(x,y)=62/6x6yF(x,y)
See on ka korrutise z1 z2 u ¨ldvalem. 5 Kaaskompleksarv ja konjugeerimine 5.1 Kaaskompleksarvu m~ oiste Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarv on z := a - bi. Funkt- siooni z z , s.t kaaskompleksarvu leidmist nimetatakse (komp- leksseks) konjugeerimiseks. N¨ aide (2 + 3i) = 2 - 3i, (-2 - 3i) = -2 + 3i jne. 5.2 T~ olgendusi Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegel- dus reaaltelje suhtes. Maatriksesituses ilmselt z = z T . 5.3 Konjugeerimise omadusi 1) (z ) = z 2) (z1 ± z2 ) = z1 ± z2 3) (z1 z2 ) = z1 z2 4) Re z = 12 (z + z ), Im z = 1 2i (z - z) 8 V. Kompleksarvud 6 Moodul 6.1 Mooduli m~ oiste Kompleksarvu z = a + bi moodul |z| defineeritakse valemiga |z| := a2 + b2
1.3 taktikestus valjendatav Nyquisti rajade piires valemiga T = Nii saab kokku valemi Järelikult on z-pooluste. Mis omavad väikest faasinurka , ka taktiintervall palju väiksem võnkeperioodist, seega ühte võnkeperioodi mahub palju taktiintervalle. Mida suuremaks kasvab faasinurk, seda hõredamalt paiknevad diskreedid võnkeperioodi piires. Nyquisti piiril = (18O°)) mahub seega igasse võnkeperioodi parajasti 2 diskreeti. Z-tasandil paiknevad Nyquisti piirile vastavad poolused reaaltelje negatiivesel poolel. Seega esineb diskreetaja süsteemides olukordi, kus reaalpoolustele vastab võnkuv siirdeprotsess. Siirdeprotsessile z=0 korral ei ole analoogi pidevaja süsteemides. Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub järgneva valemi alusel u(k) --> u(z) x H(z) = y(z) -> y(k). Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(k) leitakse kujutis u(z) Z-teisenduse tabeli alusel. Järgnevalt leitakse väljundmuutuja kujutis
1.3 taktikestus valjendatav Nyquisti rajade piires valemiga T = Nii saab kokku valemi Järelikult on z- pooluste. Mis omavad väikest faasinurka ψ, ka taktiintervall palju väiksem võnkeperioodist, seega ühte võnkeperioodi mahub palju taktiintervalle. Mida suuremaks kasvab faasinurk, seda hõredamalt paiknevad diskreedid võnkeperioodi piires. Nyquisti piiril ψ = π(18O°)) mahub seega igasse võnkeperioodi parajasti 2 diskreeti. Z-tasandil paiknevad Nyquisti piirile vastavad poolused reaaltelje negatiivesel poolel. Seega esineb diskreetaja süsteemides olukordi, kus reaalpoolustele vastab võnkuv siirdeprotsess. Siirdeprotsessile z=0 korral ei ole analoogi pidevaja süsteemides. Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub järgneva valemi alusel u(k) —> u(z) x H(z) = y(z) -> y(k). Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(k) leitakse kujutis u(z) Z-teisenduse tabeli alusel. Järgnevalt leitakse väljundmuutuja kujutis
Vonkumiste suhteliselt aeglase sumbuvuse korral saab vonkumisperioodi Tp määrata. Järelikult on z-poolustel mis omavad väikest faasinurka ψ, ka taktiintervall palju väiksem võnkeperioodist, seega ühte võnkeperioodi mahub palju taktiintervalle. Mida suuremaks kasvab faasinurk, seda hõredamalt paiknevad diskreedid võnkeperioodi piires. Nyquisti piiril ψ = π(18O°)) mahub seega igasse võnkeperioodi parajasti 2 diskreeti. Z-tasandil paiknevad Nyquisti piirile vastavad poolused reaaltelje negatiivesel poolel. Seega esineb diskreetaja süsteemides olukordi, kus reaalpoolustele vastab võnkuv siirdeprotsess. Siirdeprotsessile z=0 korral ei ole analoogi pidevaja süsteemides. Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub järgneva valemi alusel u(k) -> u(z) x H(z) = y(z) -> y(k). Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(k) leitakse kujutis u(z) Z-teisenduse tabeli alusel. Järgnevalt leitakse väljundmuutuja kujutis
Seega geomeetriliselt tähendab kompleksarvude liitmine vastavate kohavekotrite liitmist. Analoogiliselt saab näidata, et kompleksarvude lahutamine kujutub geomeetriliselt kohavektorite lahutamist. 17. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Vaatleme komplekstasandil nullist erinevat kompleksarvu z = a + ib vektorina. Selle vektori pikkust tähistatakse r =|z| ja nimetatakse kompleksarvu mooduliks. Nurka kompleksarvu tähistava vektori ja reaaltelje positiivse suuna vahel tähistame = arg z ja nimetame kompleksarvu argumendiks. Siis a = r cos ; b = r sin : Saame kompleksarvule z= a + bi kuju (1) kus r =|z| ja tan , arctan , 0 2. Valem (1) on tuntud kompleksarvu trigonomeetrilise kuju all. Näide. Esitame kompleksarvu 1 3 trigonomeetrilisel kujul:
Kasutame selleks Lauses 1 esitatud tingimust. Et 2 y = f (x0 + x) - f (x0 ) = (x0 + x)2 - x20 = 2x0 x + (x) , siis 2 lim y = lim 2x0 x + (x) = 0, x0 x0 st funktsioon x2 on pidev punktis x0 . Et punkt x0 on suvaline reaalarv, siis funktsioon x2 on pidev reaaltelje igas punktis. Lause 2. Funktsioon f (x) on pidev punktis x0 parajasti siis, kui see funktsioon on punkti x0 u ¨mbruses esitatav kujul f (x) = f (x0 ) + (x), kus (x) on l~ opmata v¨aike suurus piirprotsessis x x0 . T~ oestus j¨ areldub Lausest 1.6.8, arvestades funktsiooni pidevuse definitsiooni. Lause 3. Kui funktsioonid f1 (x) ja f2 (x) on pidevad punktis x0 ning
Seega, lubades ruutvõrrandi lahendiks ka uut leiutist , oleme laiendanud arvusüsteemi. Üllataval kombel piisab sellest laiendusest mitte ainult peatüki algu- ses toodud võrranditele, vaid tegelikult absoluutselt kõikidele polünoomvõrrandi- tele [lk 266] lahendite leidmiseks! Imaginaararv i ja komplekstasand Irratsionaalarvude lisamisel toppisime reaaltelje kõik augud täis. Kuhu need komp- leksarvud siis mahtuda võiksid? Märkame, et isegi kui tõmbame paberile ühe aukudeta sirge, jääb paberile veel ruumi kui palju – sirgest üles ja alla jääb mõlemale poole tühjus. Kompleksarvud täidavad kogu selle tühjuse, nad täidavad arvudega terve paberilehe. Nii on kompleksarvud mingis mõttes kahemõõtmelised arvud: võib öelda, et neil
(15.2) Märkus 15.2 Moodul |z| 0 on reaalarv ja see kujutab endast komplekstasandil asuva punkti (a, b) kaugust nullpunktist. Definitsioon 15.6 Kompleksarvu z = a + b i kaaskompleksarvuks (kaaskompleksiks) ni- metatakse kompleksarvu z¯ = a - b i. (15.3) Märkus 15.3 Kaaskompleksarv z¯ asub arvuga z nullpunktist võrdsel kaugusel ning z ja z¯ on sümmeetrilised reaaltelje suhtes. On kerge kontrollida, et 1. |z| = |¯ z |, 2. z · z¯ = (a + b i) · (a - b · i) = a2 + b2 = |z|2 . 15.4 Tehted kompleksarvudega Olgu antud kompleksarvud z1 = a1 + b1 i ja z2 = a2 + b2 i. Siis nende võrdus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse järgnevalt: 1. z1 = z2 a1 = a2 ja b1 = b2 ; 2. z1 ± z2 = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 ) i; 3. z1 · z2 = (a1 a2 - b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 ) i;
annaabi.ee 
