( 4 + 3i ) : (5 + 2i ) = = = = + i (5 + 2i ) (5 + 2i )(5 - 2i ) 29 29 29 Kompleksarvu geomeetriline esitus: Kompleksarve ei ole võimalik kujutada ühel teljel nii nagu reaalarve, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud). Seega kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt: Reaaltelg ja (x-telg) Imaginaartelg (y-telg) Kompleksarvu moodul: Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks. Punktile P vastava kompleksarvu moodul z = 2 2 + 32 = 13 Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a2 + b2 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju: Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi. Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast a ja b nurga
veerunumbrit. 3) vektori cpikkus saadakse vektori pikkuse ||||korrutamisel arvu c Geomeetriline kujut. moodul. Maatriks on n-ndat järku ruutmaatriks, kui tema ridade arv absoluutväärtusega |c| X reaaltelg m võrdub tema veergude arvuga n. c || , ||c||=|c|*|||| Y immaginaartelg Elemendid a11, a22, ..., amn asuvad maatriksi A Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks Iga kompleksarvu x iy saab xy-tasandil kujutada peadiagonaalil ja elemendid a1n, a2n-1, ..., am1 asuvad teheteks
Hüperbooli kanooniline võrrand: Hüperbooli omadused: · On sümmeetriline x-telje, y-telje ja koordinaatide alguspunkti suhtes. · Lõikab x-telge A1(-a,0) ja A2(a,0) · Ei lõiku y-teljega. · Assümtootideks nim sirgeid, millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Assümtoote on 2. . x=a, x=-a; y=-b, y=b. Hüperbooli ekstsentrilisus Risthüperbooliks nim hüperbooli, mille reaal-ja imaginaartelg on võrdsed a=b. 2a- reaaltelg (a-reaalpooltelg) 2b- imaginaartelg (b-imaginaarne pooltelg) Parabool Parabooliks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus antud punktist ja antud sirgest on võrdne. Mainitud punkti nim parabooli fookuseks ja sirget parabooli juhtsirgeks. Fookuste kaugus juhtsirgest tähistatakse p ja nim parabooli parameetriks. F(0; p/2) fookuse koordinaadid y= -p/2 juhtsirge võrrand 2p- fokaallaius Paraboolil, mille sümmetriatelg on x-telg, mille haripunkt on punktis (0,0), mille juhtjooneks
v˜onkumisi. Fraktalid. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Fraktaalsed struktuurid Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu geomeetriline kuju K˜oige lihtsam on kompleksarvu ette kujutada geomeetriliselt. On antud reaaltelg ja sellega risti olev imaginaartelg ning iga kompleksarvu jaoks peame kasutama parameetrit a ja b (punkti z koordinaati (a, b)), kus a on v˜oetud reaalteljelt ja b imaginaarteljelt. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu algebraline kuju Definitsioon Kompleksarvu z esitusviisi z = a + bi nimetatakse kompleksarvu z
võrranditega nimetatakse hüperbooli juhtsirgeteks. Teljed Lõigu AB pikkust nimetatakse hüperbooli reaalteljeks. Nimetame telge CD imaginaarteljeks Poolteljed Nelja lõiku AO, OB ja CO, OD ning nende pikkusi a ja b nimetame hüperbooli pooltelgedeks 13 Asümptoodid Sirgeid s1, s2, mis on määratud võrranditega nimetatakse hüperbooli asümptootideks Reaaltelg Lõigu AB pikkust nimetatakse hüperbooli reaalteljeks. Parabool Parabooliks nimetatakse tasandilist joon, mille iga punkt P asub võrdsel kaugusel sirgest l ja punktist F, st parabooli iga punkt P rahuldab tingimust r = d, kus r on kaugus punktide P ja F vahel, d on punkti P kaugus sirgest l. Parabooli kanooniline võrrand Parabooli fookus Punkti F nimetatakse parabooli fookuseks Sümmeetriateljed Sirge, mis läbib punkti F ja on risti sirgega l, on parabooli sümmeetriatelg
· Punktile P vastava kompleksarvu moodul · Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus- · Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud) · Kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt 13.1. Reaaltelg ja (x-telg) 13.2. Imaginaartelg (y-telg) · Kuidas võrrelda kompleksarve? Pole järjestatud hulk. Aga ikkagi ... 14. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju- · Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi · Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast reaalosa a ja imaginaarosa b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning asendame algebralisel kujul antud kompleksarvu. · a + bi = r (cos + i sin ) Saame:
r etteantud raadius. r = |AX| r = [(x-a)2+(y-b)2]1/2 (x- a)1 + (y-b)2 = r2 ringjoone vôrrand. 26. Hüperbool (mõiste, kanooniline võrrand). Hüperbool teist järku joon, mille iga punkti kauguste vahe fookustest on absoluutväärtuselt konstantne. X(x;y) suvaline punkt joonel; |r1r2| = 2a! |F1F2| = c. | |F1X| - |F2X| | = 2a | [(x+c)2 + y2]1/2 - [(x-c)2 + y2]1/2 | = 2a lihtsustades (c2 a2 =täh b2): x2/a2 y2/b2 = 1 hüperbooli (kanooniline) vôrrand. |A1A2| = 2a reaaltelg (vôrrandis +märgiga); |B1B2| = 2b imaginaartelg. c > a; = c/2 > 1. Asümptoodid jooned, millele hüperbool läheneb lôpmatult: 1) y = -(b/a)x. 2) y = (b/a)x. 27. Parabool (mõiste, kanooniline võrrand). Parabool teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud (juht) joonest vôrdsetel kaugustel. d punkti X(x;y) kaugus juhtjoonest; F(p/2; 0) juhtjoone vôrrand x = -p/2 x + p/2 = 0. d
Hüperpooli keskpunkt - Ristreeperi alguspunkt ehk pooluse O paigutatud lõigu F1F2 keskpunkti. Hüperbooli imaginaarsed e ebatipud punktid B1(0,-b) ja B2(0,b) Hüperbooli tipud - A1(-a, 0), A2(a, 0) , leitakse hüperbooli kanoonilisest võrrandist asenduste x1 = 0 ja x2 = 0 teel. Hüperbooli harud 2 tükki, millest hüperbool koosneb. Hüperbooli sümmeetriateljed- kanoonilise reeperi baasivektorite poolt määratud koordinaatteljed on hüperbooli sümmeetriatelgedeks. Hüperbooli reaaltelg (imaginaartelg) Hüperbooli samal sümmeetriateljel asuvat tipupaari (ebatipupaari) poolt välja eraldatud lõik ja tema pikkus. Hüperpooli poolteljed Lõike A1O,OA2,B1O ja OB2 ning nende pikkusi a ja b nimetame hüperbooli pooltelgedeks. Lõike A1O,OA2 ja nende pikkust a nimetame hüperbooli reaalseks poolteljeks ehk reaalpoolteljeks ning lõike B1O,OB2 ja nende pikkust b nimetame hüperbooli imaginaarseks poolteljeks ehk ebapoolteljeks.
S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust lim 𝑆𝑛 siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. on kogu reaaltelg. Üldistades Fourier' teisendust mitme muutujaga diferentsiaalvõrranditele määramispiirkonnaga Rn, saab 𝑛→∞ Uurime rea ∑∞ 𝑛 𝑘=1 1 = 1 + 1+. . . +1+. . . koonduvust. Et 𝑆𝑛 = ∑𝑘=1 1 = 𝑛 siis lim 𝑆𝑛 = lim 𝑛 = +∞ , seega see rida on hajuv
Leiame kahe kompleksarvu korrutise. Selleks korrutame liikmeti läbi ja arvestame võrdust 1: Enne kompleksarvude jagatise defineerimist defineerime kaaskompleksarvu mõiste. Definitsioon. Kompleksarvu z = a+ib kaaskompleksarvuks nimetatakse arvu . Kaaskompleksarvude omadused: Kompleksarvude jagatise leidmisel korrutakse ja jagatakse nimetaja kaaskompleksarvuga: Kompleksarve saab kujutada geomeetriliselt komplekstasandil, seejuures x-telg on reaaltelg, y-telg on imaginaartelg. Kompleksarvule z = a + bi seame vastavusse () punkti A(a, b) ning kohavektori = (a, b) ; s.t. z = a + bi , = (a, b). Niisiis geomeetriliselt kompleksarv z = a + bi näeb välja selliselt: Sellist tasandit, millel on kujutatud kompleksarvud, nimetatakse komplekstasandiks. Vaatleme, kuidas saab geomeetirliselt tõlgendada kaaskompleksarvu mõiste ning algebralised tehed kompleksarvudega.
𝑠𝑘 𝑠𝑘 puhul, mille määramispiirkonnaks on kogu reaaltelg. Üldistades Fourier' teisendust mitme muutujaga defineerime ühe muutuja funktsiooni kujul u(t) := f(x(t)), kus 𝑥𝑘 (𝑡) ≔ 𝑎𝑘 + 𝑡 = 𝑎𝑘 + 𝑡 cos 𝑎𝑘 ja 𝑥𝑘′ (𝑡) ≔ =
proportsioonid ja kolmnurgad Sel juhul ei ole meil küll rangelt enam funktsioon, vaid loetleme lihtsalt kõik sirge ning siinusfunktsiooni lõikepunktid ja neid on palju! Arkustangens Tangensiga on selles suhtes lihtsam lugu, et ta võib võtta kõiki reaalarvulisi väär- tusi. Seega on tangensi pöördfunktsiooni ehk arkustangensi määramispiirkonnaks kogu reaaltelg. Probleem, et tangensfunktsioon on mitmes kohas sama väärtusega, muidugi säi- lib. Seega tuleb ka arkustangensi kui funktsiooni määramiseks välja valida üks kin- del piirkond. Mõistlik valik on näiteks , aga sobiks ka mõni teine. Arkustangensit tähistatakse arctan(�). Tähistustest Nobeli auhinna võitjale füüsik Richard Feynmanile ei meeldinud trigonomeetri- liste funktsioonide tähistused sugugi. Talle tundus, et tähendab kolme arvu s,
annaabi.ee 
