Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14. Määratud integraal ja selle omadused 15. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine määratud integraalis. 16. Määratud integraali rakendused. Päratud integraalid. Õppeaine jaotub kahte ossa: 1. Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9). 2
reaalne ja kaks kompleksset
2.6 Ratsionaalfunktsioonide lahutamine osamurdudeks
Olgu Qm(x)/Pn(x) ratsionaalfunktsioon, kus Qm(x) on m-astme ja Pn(x) n-astme polünoom ning
m
1). (Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata 7).(Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine). 12. (Näidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) välja arvatud lõplikus arvus punktides, siis integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator). Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) f(x) vaid punktis x=c [, ]. ()
(x 2 sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C ) = 2 x sin x + x 2 cos x + + 2 cos x - 2 x sin x - 2 cos x = x 2 cos x MURDRATSIONAALSETE AVALDISTE LAHUTAMINE OSAMURDUDEKS Ratsionaalmurruks nimetatakse kahe polünoomi jagatist: P ( x ) a0 + a1 x + + an x n = Q( x ) b0 + b1 x + + bm x m Vaatleme juhtu, kus lugejas asuva polünoomi aste on madalam, kui nimetajas asuva oma, s.t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale.
Integraalarvutus Ma¨ aramata ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aramata ¨ integraalide tabel. Muutujate vahetus ma¨ aramata ¨ integraalis. Ositi integreerimine ma¨ aramata ¨ integraalis. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Trigonomeetriliste ja huperboolsete ¨ funktsioonide integreerimine. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. Ma¨ aratud ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aratud ¨ integraal ulemise ¨ raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine ma¨ aratud
I = e x cos xdx I = e x ( sin x + cos x ) - I 2 I = e x ( sin x + cos x ) 1 I = e x ( sin x + cos x ) + C 2 MURDRATSIONAALSETE AVALDISTE LAHUTAMINE OSAMURDUDEKS Ratsionaalmurruks nimetatakse kahe polünoomi jagatist: P ( x ) a0 + a1 x + + an x n = Q( x ) b0 + b1 x + + bm x m Vaatleme juhtu, kus lugejas asuva polünoomi aste on madalam, kui nimetajas asuva oma, s.t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale.
Pn (x) . Saame kusjuures Sk(x) (k < n) on polünoomide jagamisel tekkiv jääk ja Sk(x)/Pn(x) on lihtmurd. Lause 1. Kui Qm(x)/Pn(x) on lihtmurd ja polünoomil Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x1 + an on nullkohad x1, x2, . . . , xr kordsustega k1, k2, . . . , kr (k1 + k2 + . . . + kr = n) , st polünoom Pn(x) on esitatav kujul Pn(x) = a0 (x - x1)k1 (x - x2)k2 · · · (x - xr)kr , siis Qm(x)/Pn(x) on ühesel viisil lahutatav osamurdudeks 7. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine. 8. Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = . Kui eksisteerib piirväärtus = , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on
Integreerime võrduse mõlemad pooled
Vastavalt Lagrange'i valemile
Kui x
.......................... 22 34. Määramata integraal, määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte). ............................................................................................23 35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. ..................................................................... 23 36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks. ...........................24 Osamurdude integreerimine...........................................................................................................24 37. Kirjeldada kõvertrapetsi pindala leidmist. ...............................................................................24 38. Määratud integraal ja tema omadused. .................................................................................... 24 39. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. ...........................................
∫ cf ( x ) dx=c ∫ f ( x ) dx(c ∈ R) i=1 18.Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine. n ¿ |f ( εi )|∆ xi≤ ∑ x ∈[a |f ( x )| ∆ xi , b] i=1 ¿ n n = M ∑ ∆ xi =
1 ja 2. Seega koondub raskuspunkt ratsionaalfunktsiooni St (x) , kus t < n , (5.8) Qn (x) integraali avaldamisele. Kui m < n, siis j¨a¨ ab jagamise etapp vahele, sest integreeritava funktsiooni lugeja on juba algselt v¨aiksema astmega kui nimetaja, st funktsioon on kujul (5.8). 2. Ratsionaalfunktsiooni (5.8) lahutamine osamurdude summaks. Alustame murru nimetaja teguriteks lahutamisest. Nimelt on v~oimalik t~oestada, et su- valise pol¨ unoomi Qn (x) saab lahutada teguriteks j¨argmisel kujul: Qn (x) = c · (x - a)k · . . . · (x2 + px + q)l · . . . , (5.9) milles esineb teatud l~oplik arv tegureid kujul (x - a)k erinevate konstantidega a R ja astmetega k N ning teatud l~oplik arv tegureid kujul (x2 +px+q)l eri- nevate konstantidega p, q R ja astmetega l N ning c on konstant
1 ja 2. Seega koondub raskuspunkt ratsionaalfunktsiooni St (x) , kus t < n , (5.8) Qn (x) integraali avaldamisele. Kui m < n, siis j¨a¨ab jagamise etapp vahele, sest integreeritava funktsiooni lugeja on juba algselt v¨aiksema astmega kui nimetaja, st funktsioon on kujul (5.8). 2. Ratsionaalfunktsiooni (5.8) lahutamine osamurdude summaks. Alustame murru nimetaja teguriteks lahutamisest. Nimelt on v~oimalik t~oestada, et su- valise pol¨ unoomi Qn (x) saab lahutada teguriteks j¨argmisel kujul: Qn (x) = c · (x - a)k · . . . · (x2 + px + q)l · . . . , (5.9) milles esineb teatud l~oplik arv tegureid kujul (x - a)k erinevate konstantidega a R ja astmetega k N ning teatud l~oplik arv tegureid kujul (x2 +px+q)l eri- nevate konstantidega p, q R ja astmetega l N ning c on konstant
. + x + p1 x + q1 ( x 2 + p1 x + q1 l1 ) ( x 2 + ps x + qs ) ls 1 Viies osamurdude summa ühisele nimetajale ja võrdsustades saadud lugeja S ( x) -ga. Saame q0 leida tundmatud kordajad A, B, C I liiki osamurru integraal A ln x - , kui k = 1 A (26.5) dx = ( x - ) 1- k (x - ) k A , kui k > 1
. + x + p1 x + q1 ( x 2 + p1 x + q1 l1 ) ( x 2 + ps x + qs ) ls 1 Viies osamurdude summa ühisele nimetajale ja võrdsustades saadud lugeja S ( x) -ga. Saame q0 leida tundmatud kordajad A, B, C I liiki osamurru integraal A ln x - , kui k = 1 A (26.5) dx = ( x - ) 1- k (x - ) k A , kui k > 1
5) 7.8 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine Vaatleme järgnevalt lihtsamaid juhte polünoomide P (x) ja Q(x) jagatise P (x) Q(x) integreerimisel. Siinjuures eeldame, et murd on antud taandatud kujul (lugejas olev x kõrgeim aste on väiksem kui nimetajas olev P (x) x kõrgeim aste). Põhiidee on murd Q(x) esitada osamurdude summa- na. Viimane on võimalik, kuna igat polünoomi saab esitada korrutisena liikmetest tüüpi (x - a) ja (x2 + bx + c). Anname idee näidete varal. Definitsioon 7.4 Kui polünoomi f (x) aste on väiksem polünoomi g(x) astmest, siis rat- f (x) sionaalset funktsiooni nimetatakse lihtmurruks, vastasel korral g(x) aga liigmurruks. Lihtmurru osamurdudeks lahutamise valem. f (x) Olgu lihtmurd. Kui
annaabi.ee 
