p˜ohilistest elementaarfunktsioonidest l˜opliku arvu aritmeetiliste
tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja
liitfunktsiooni moodustamise teel.
Jada piirv¨a¨artus
Definitsioon 1
Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on
naturaalarvude hulk N.
{x0,x1,x2,...}{xn}n2N {xn}
Definitsioon 2
Arvu a nimetatakse jada {xn}(l˜oplikuks) piirv¨a¨artuseks, kui iga
_>0 korral leidub N 2N, et iga n >N korral kehtib v˜orratus
|xn −a|
Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C - konstant, 5. d(u/ v)= (vdu-udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. T~oestus
ritud). 14.6 Lause (vektori normeerimine) a Olgu a = o. Siis on vektor |a| u ¨hikvektor. T~ oestus. T~oepoolest, arvutame a 1 1 = a = |a| = 1 |a| |a| |a| 34 V. Vektorruumid 15 Schwarzi v~orratus ja vektoritevaheline nurk Karl Hermann Schwarz (1843-1921), saksa matemaatik. 15.1 Schwarzi v~ orratus Teoreem 32. Olgu V eukleidiline ruum. Siis |(a|b)| |a||b| a, b V T~ oestus. Iga R korral peab kehtima (a - b|a - b) 0. Kasutades skalaarkorrutise omadusi 1 - 3, saame (a - b|a - b) = 2 (a|a) - 2(a|b) + (b|b) 0 Kui a = o, siis v~orratus ilmselt kehtib. Olgu a = o ning v~
nimetatakse summat u · v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + um vm . (6.6) Afiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis, nimetatakse eu- kleidiliseks ruumiks. Seega on Rm eukleidiline ruum. Vektorite skalaarkorrutis rahuldab j¨argmist seost, mida nimetatakse Cauchy- Schwartzi (ehk Cauchy-Bunjakovski) v~orratuseks: |u · v| |u| |v| . (6.7) Antud v~orratus muutub v~orduseks, kui u ja v on samasuunalised. T~oepoolest, kui v = u ja > 0, siis l¨ahtudes skalaarkorrutise definitsioonist u · v = u · (u) = u1 u1 + u2 u2 + . . . + um um = (u21 + u22 + . . . + u2m ) = |u|2 = |u| |u| = (6.8) = |u| |u| = |u| |v|. Vektori ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) suunalist nullpunkti l¨abivat sirget nimetatakse k-1 ×
Katkevuspunktide liigitus. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim xa- f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim xa- f(x) = lim xa+ f(x) = lim xa f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim xa- f(x) ei võrdu lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hu¨ppepunktiks (hu¨ppekohaks). 2. Kui v¨ahemalt u¨ks u¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim xa- f(x) v~oi lim xa+ f(x) puudub v~oi ei ole l~oplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (Lu¨hemalt: teist liiki katkevuspunktid on k~oik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) 15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid. Uhepoolselt pidevad funktsioonid
Matemaatiline analüüs I (Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu
Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, Parempoolse piirväärtuse kirjutusviis on või f(x) b kui xa+. kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). 21. Tõestada funktsiooni piirväärtuse aritmeeiliste tehetega seotud omadused *Kasvavad ja kahanevad fun. Olgu D funktsiooni f määramispk alamhulk. Valime Kui on olemas lõplikud piirväärtused lim f(x) ja lim g (x), siis hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib v orratus x1 < x2.Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x 1 ja x2 võrratuse märk ei muutu,stsiis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x 1 ja x2 v orratuse m ark muutub vastupidiseks, st f(x 1) > f(x2),siis on f kahanev hulgas Lause 1. Jada koonduvusest järeldub selle tõkestatus D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t ouseb, kahanemispiirkonnas aga Lause 2
Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib v~ordus f (-x) = -f (x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib v~ordus f (x + C) = f (x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨a¨aramispiir- konna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib v~ orratus x 1 < x2 . Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v~orratuse m¨ark ei muutu, st f (x1 ) < f (x2 ), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v~orratuse m¨ark muutub vastupidiseks, st f (x1 ) > f (x2 ), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t~ouseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Konstantne funktsioon
Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib v~ordus f (-x) = -f (x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib v~ordus f (x + C) = f (x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨a¨aramispiir- konna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib v~orratus x1 < x2 . Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v~orratuse m¨ark ei muutu, st f (x1 ) < f (x2 ), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v~orratuse m¨ark muutub vastupidiseks, st f (x1 ) > f (x2 ), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t~ouseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Konstantne funktsioon
a¨ korral, st sin(cx + cT ) = sin(cx). J¨arelikult peab cT = 2k (k Z) T = 2k/c (k Z) ja v¨ahim positiivne arv, mis rahuldab tingimust sin(cx + cT ) = sin(cx) on T = 2/c. Seega on funktsioon y = sin(cx) perioodiline, kusjuures perioodiks on T = 2/c. Definitsioon 8. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks pi- irkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, mis rahuldavad v~orratust x1 < x2 , kehtib v~orratus f (x1 ) < f (x2 ). N¨aites 9 on esitatud kasvav funktsioon. Definitsioon 9. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, mis rahuldavad v~orratust x1 < x2 , kehtib v~orratus f (x1 ) > f (x2 ). N¨aidetes 4 ja 5 on esitatud kahanevad funktsioonid. 15 Definitsioon 10. Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma m¨ a¨
Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . (3.17) Loetleda() diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 5. d (u/v ) = vdu-udv/v2 , kui v = 0. 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tostada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus
liste ruumide (Xi , Ti ), i ∈ I, otsekorrutise X = X1 × · · · × Xn topoloogia T baasiks ruumide Xi lahtiste hulkade Ai ∈ Ti otsekorrutised A1 × · · · × An . Kui Bi (xi ) on punkti xi ∈ Xi u ¨mbruste baas, siis punkti x = (x1 ; . . . ; xn ) u ¨mbruste baas on B(x) = { U1 × . . . × Un | U1 ∈ B1 (x1 ), . . . , Un ∈ Bn (xn ) }. Meetriliste ruumide otsekorrutise vaatlemiseks t˜oestame Lemma 5.1 Mis tahes reaalarvude a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn jaoks kehtib v˜orratus n n n 2 ( ai b i ) ≤ ( a2i ) ·( b2i ). (5.4) i=1 i=1 i=1 T˜oestus. Vaatleme funktsiooni n n n n 2 2
Teoreemid 3 ja 4 v~oimaldavad leida vastavalt funktsiooni kasvamispiir- konna X ja kahanemispiirkonna X N¨aide. Leiame funktsiooni y = x2 e-x kasvamis- ja kahanemispiirkonna. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = R. Leiame tuletise y = 2xe-x - x e = xe-x (2 - x). Teoreemi 3 j¨argi saame kasvamispiirkonna tingimu- 2 -x sest xe-x (2 - x) > 0 ja teoreemi 4 p~ohjal kahanemispiirkonna tingimu- sest xe-x (2 - x) < 0. Et iga x R korral e-x > 0, siis esimene v~orratus on samav¨a¨arne v~orratusega x(2 - x) > 0 ja teine samav¨a¨arne v~orratusega x(2 - x) < 0. Esimese v~orratuse lahendihulk on funktsiooni kasvamispiirkon- naks X = (0; 2) ja teise v~orratuse lahendihulk funtksiooni kahanemispiir- konnaks X = (-; 0) (2; ). 3.9 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ¨ Definitsioon 1. Oeldakse, et funktsioonil on punktis x1 lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub selline u¨mbrus (x1 -; x1 +), et iga x (x1 -; x1 +)
annaabi.ee 
