Elektrokeemia 5 Elektroodipotentsiaalid Galvaanielemendi v~oib m~ottes jagada kaheks osaks, anoodi ja katoodi pooleks, ja omistada kummalegi neist elektroodipotentsiaali nii, et E g = E 2 - E1 Selgub, et elektroodipotentsiaalid on konstantsed s~oltumata sellest, milliste paaridena me elektroode kombineerime eri galvaanielementideks. Kuna galvaanielementides esinevad elektroodid alati paaridena (katood ja anood), ei ole v~oimalik m¨a¨arata elektroodide "absoluutseid" potentsiaale, vaid alati suhtelisi mingi teise elektroodi suhtes. YKI0020 Keemia alused Toomas Tamm 2011 S 2011/2012 18. Elektrokeemia 6 Vesinikelektrood Elektroodipotentsiaalide skaala kokkuleppeliseks nullpunktiks loetakse vesinik- elektroodi potentsiaali: Pt 11
kuks ringjoone alumine pool. Kolmandaks funktsiooni anal¨ uu ¨tiliseks esitusviisiks on funktsiooni para- meetriline esitusviis. Parameetrilise esitusviisi korral ei ole kaks muutujat x ja y omavahel otseselt v~ordusega seotud, vaid on seotud l¨abi kolmanda muutuja, nn parameetri t. Parameetrilise esitusviis on u ¨ldjuhul x = (t) y = (t) Parameetrilisel kujul on v~oimalik esitada k~oiki funktsioone. Funktisooni y = x2 parameetriliseks esitusviisiks on x=t y = t2 Funktsiooni x2 + y 2 = r2 parameetriliseks esitusviisiks on x = r cos t y = r sin t 3 Selles esitusviisis on parameetriks t joonisel n¨aidatud nurk. y
sulgudega. N¨aiteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
sulgudega. N¨aiteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨ arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨ argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
t¨apsemalt selle konsultatsiooniprotsessi toetava infos¨ usteemi eesm¨argid on j¨argmised: • Saada u¨levaadet kliendi andmetest. T¨apsemalt peab teadma, kas klient k¨ ulastab esimest korda v˜oi mitte, kas tema andmed on andmebaasis olemas ja kui on, kas need on t˜oesed. • Saada u ¨levaadet klientide esialgsete soovidest. T¨apsemalt peab olema v˜oimalik teha selgeks mida klient soovib ja kelle v˜oi mille jaoks. N¨aiteks, kui klient soovib o˜mmelda endale seelikut, siis peab teadma saama kus klient soovib soovitava toodet kasutada, mis stiili (k.a. l˜oige) ja v¨arvi ta eelistab v˜oi mis p˜ohjusel ta soovib seelikut. Antud informatsioon annab disainerile v˜omaluse pakkuda erinevaid variante. N¨aiteks, kui kliendil on olemas kangat¨ ukk 70cm. Kliendi arvamusel kangast j¨atkub seeliku o˜mblemiseks
M¨argi kuju, h¨aa¨ldus ja kasutusviis annavad k~oik samaaegselt omapoolse panuse m¨argi t¨ahendusele. L¨ahtun ka sellest, et ei eksisteeri mingeid u ¨ldisi reegleid kirjeldamaks, kuidas kolm p~ohikomponenti just teatud m¨argi t¨ahenduse kehtestamisel osalevad, kogu protsess on ajaliselt muutuv ning ilma ajalooliste teadmisteta konkreetse m¨argi kohta, ei ole v~oimalik seda ka kirjeldada. 1 [Kanji1000, p.21] toob samuti esile nimetatud neli kanji p~ ohiomadust. Kuna aga [Kanji1000] kasutab s¨unkroonilist k¨asitlusviisi, on v~ oimalik normeerimise kaudu vaadelda m¨argi t¨ahendust kui autonoomset omadust. 9 T¨ahenduste paljusus on ajaloolise arengu loomulik tulemus, see ei
f(x) - f(x1)/ x - x1 0. See v~orratus j¨a¨ab kehtima ka siis, kui me v~otame temast piirv¨a¨artuse protsessis x x1. Seega tuletise definitsiooni p~ohjal F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 J¨argnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades v~orratuse positiivse arvuga x - x1 saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. V~otame piirv¨a¨artuse: F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 V~orratused n¨aitavad, et f'(x1) 0 ja f'(x1) 0. See on v~oimalik vaid siis, kui f'(x1) = 0. Seega on lemma t~oestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab k¨asitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse
Paneme t¨ahele, et saadud valemis k~oik funktsiooni v¨aa¨rtused esinevad kahekordselt, va funtsiooni v¨aa¨rtused integ- reerimisl~oigu otspunktides y0 = f (a) ja yn = f (b). 2 N¨ aide 12. Arvutame trapetsvalemi abil x2 dx. 0 N¨aide on valitud nii, et seda integraali oleks v~oimalik ka t¨apselt arvutada ja trapetsvalemi abil saadud tulemustega v~orrelda. Newton-Leibnizi valemi 2 2 2 x3 8 j¨argi x dx = = = 2, (6). 0 3 0 3 Arvutame sama integraali trapetsvalemi abil, jagades integreerimisl~oigu 2-0 [0; 2] neljaks osal~oiguks, st v~ottes n = 4. Siis u
n=0 Sellele reale seame vastavussse maatriksastmerea f (x) = an An n=0 20 II. Maatriksarvutus ning u ¨tleme, et f (A) on funktsiooni f (x) v¨a¨artus kohal A. Vaiki- misi eeldame, et rida f (A) koondub samuti. Seega, funktsiooni f (x) arendame (kui v~oimalik) koonduvasse astmeritta, seej¨arel asendame muutuja x maatriksiga A. N¨ aiteid M~onedele elementaarfunktsioonidele vastavad maatriksread: An eA := n! n=0 (-1)n A2n+1 sin A :=
ja kinnistamiseks sobivad teatmikud [2] ja [6] ning metoodiline materjal [9] . Opik ~ [12] on abiks lineaaralgebraga seotud probleemide lahendamisel. Opikust ~ [18] leiate numbrilised meetodid. M~olema peat¨ uki l~opus on u¨lesanded, mis enamikus on varustatud vastustega, kusju- ures m~ oningatele u ¨lesannetele on lisatud n¨apun¨aide sobiva lahendusmeetodi valikuks. ¨ Ulesandeid esitatud teooria kohta on v~oimalik leida ka u ¨lesandekogudest [1], [8], [14] ja ~oppevahendist [16] . Matemaatikapaketid MATLAB, MAPLE, MATHCAD, MATH- EMATICA [10] jpt v~ oimaldavad kinnistada selles kursuses omandatut. Oppevahendi ~ koostamisel on kasutatud paketti "Scientific WorkPlace 3.0", l¨ uhendatult SWP. T¨anan dotsente A. L~ ohmust ja F. Vichmanni, kes abistasid autorit paljude kasulike m¨arkustega k¨ asikirja vormistamisel.
= X + (-1)(µX) = X - µX = ( - µ)X = X - µX. Lugejal soovitame toodud t~oestuste puhul igal sammul leida eestpoolt viide, miks ta kehtib. Lisaks soovitame viia m~one omaduse t~oestus l¨abi, kasutades maatriksi kirjapanekuks detailsemat kuju (1.1). 14 1.4. Maatriksite korrutamine. Omadused Osutub, et igasuguste m~o~otmetega maatrikseid ei saa korrutada. See on v~oimalik siis, kui esimese maatriksi veergude arv on v~ordne teise maatriksi ridade arvuga. Definitsioon 1.15. Maatriksite X M at(p, q) ja Y M at(q, r), kus x11 x12 . . . x1q y11 y12 . . . y1r x x22 . . . x2q y21 y22 . . . y2r X = 21 , Y = , ................... ..................
= λX + (−1)(µX) = λX − µX =⇒ (λ − µ)X = λX − µX. ♠ Lugejal soovitame toodud t˜oestuste puhul igal sammul leida eestpoolt viide, miks ta kehtib. Lisaks soovitame viia m˜one omaduse t˜oestus l¨abi, kasutades maatriksi kirjapanekuks detailsemat kuju (1.1). 14 1.4. Maatriksite korrutamine. Omadused Osutub, et igasuguste m˜o˜otmetega maatrikseid ei saa korrutada. See on v˜oimalik siis, kui esimese maatriksi veergude arv on v˜ordne teise maatriksi ridade arvuga. Definitsioon 1.15. Maatriksite X ∈ M at(p, q) ja Y ∈ M at(q, r), kus x11 x12 . . . x1q y11 y12 . . . y1r x x22 . . . x2q y21 y22 . . . y2r X = 21 , Y = , ................... ...
= at2 + bt + c, 52 5 KONSTRUKTSIOONID ... kus n n n a = a2i , b = −2 ai b i , c = b2i . i=1 i=1 i=1 See on ruutkolmliige, mis rahuldab v˜orratust f (t) ≥ 0 iga t ∈ R korral. See on v˜oimalik vaid siis, kui tema diskriminant on mittepositiivne, st b2 − 4ac ≤ 0 ehk b2 ≤ 4ac. Siit j¨areldubki p¨arast a, b ja c v¨a¨artuste asendamist ja arvuga 4 taandamist v˜orratus (5.4). Teoreem 5.21 Kui topoloogiliste ruumide (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) topoloogiad on tekitatud meetrikatega d1 , . . . , dn , siis nende ruumide otsekorrutise X = X1 × · · · × Xn topoloogia T on tekitatud meetrikaga d, kus n
¨ ⇒ 寧 寧 M ARKIS 安 RITUAALI 金文 源 ⇒ 女 103 1 vaikne, rahulik, t¨uu¨ ne j¨aa¨ ma 2 maha rahunema, stabiliseeruma 4 kuidagi, kuidagimoodi 3 murem˜otetest vabanema, rahule 5 kuidas k¨ull—pole v˜oimalik (ms) 堂 ¨ OKE LO ¨ 11 SAGEDUS B . KANJI SHOHO 768 -1 222 ✄ しょう まど
annaabi.ee 
