libisev vektor vektor, mille rakenduspunkti võib vektori mõjusirgel vabalt valida vabavektor vektor, mille rakenduspunkti võib ruumis vabalt valida Vektori koordinaadid B(x2;y2) A(x1;y1) Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis AB = (x2 – x1; y2 – y1). Vektori pikkus v Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus |v|= a 2 b2 Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks nullvektori pikkus on võrdne nulliga nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid u (a; b) v (c; d ) w u v (a c; b d ) Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega
libisev vektor vektor, mille rakenduspunkti võib vektori mõjusirgel vabalt valida vabavektor vektor, mille rakenduspunkti võib ruumis vabalt valida Vektori koordinaadid B(x2;y2) A(x1;y1) Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis AB = (x2 – x1; y2 – y1). Vektori pikkus v Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus |v|= a 2 b2 Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks nullvektori pikkus on võrdne nulliga nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid u (a; b) v (c; d ) w u v (a c; b d ) Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega
e 1+ α 2 ⃗ e n= ⃗0 e 2+ …+α n ⃗ ⃗0 nullvektoriks. Kasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saab, et nullvektori ⃗0=(α 1 , α 2 ,α 3 ,… , α n) komponendid on . Tehtud eelduse tõttu kõik need komponendid ei ole nullid, mis on vastuolu, sest nullvektori kõik komponendid on nullid. Kasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saame ruumi Rn mistahes vektori
01 . Valides nüüd ⃗ 01 , saame ⃗ 02 + ⃗ 01 = ⃗ 02 . nullvektoriks Aksioomist 1) järeldub, et viimaste võrduste vasakud pooled on võrdsed, seega ⃗ 01= ⃗ 02 , mis on vastuolus tehtud oletusega. LAUSE: Vektorruumis on igal vektoril ainult üks vastandvektor. ⃗a ⃗b ≠ ⃗c ⃗a + b⃗ =0⃗ ⃗a + ⃗c =⃗0 .
skalaarseteks suurusteks ehk skalaarideks. Suurusi mille iseloomustamiseks on vaja teada peale arvulise väärtuse ka suunda nagu jõud, kiirus jne, nim vektoriaalseteks suurusteks ehk vektoriteks. Vektori pikkus Iga vektorit võime geomeetriliselt kujutada kindla pikkuse ja suunaga sirglõiguna. Vektori pikkuseks ehk moodduliks nim vektori kui lõigu pikkust. *Vektorit, mille moodul võrdub ühega nim ühikvektoriks. Nullvektoriks nim vektorit mille alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Vektorite võrdsus Kaht vektorit nim võrdseteks kui nad on võrdse pikkusega ja samasuunalised ja vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vabavektor- see on veektorid mille alguspunkti valik ei ole millegagi kitsendatud. Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal sirgel.
nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektori koordinaatide arvutamine: Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis vektor AB = (x2-x1;y2-y1) Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks o nullvektori pikkus on võrdne nulliga o nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad o nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid 2. KINEMAATIKA Kinemaatika põhiülesanne on leida keha asukoht mistahes ajahetkel. Mehaaniline liikumine on keha asendi muutumine teiste kehade suhtes ruumis aja jooksul.
Vektorid i ja j ristuvad ühik vektorid. Ühe ühiku pikkused, teljestiku sihis. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutan lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega koordinaatide ruutude summast. Sellist vektorit, mille algus punktid on koordinaatide alguspunktis nim kohavektoriks. Kohavektori koordinaadid on samad, mis vektori lõpp koordinaadid. Sellist vektorit, mille pikkus on 0 ühikut, nim nullvektoriks. Sellist vektorit, mis on 1 ühik pikk nim ühikvektoriks.
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks 1. Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. .
abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust. See on mittenegatiivne reaalarv.Tähistus Kollineaarsed vektorid Vektoreid AB ja CD nimetatakse kollineaarseteks ehk
jne, nim skalaarseteks suurusteks ehk skalaarideks. Suurusi mille iseloomustamiseks on vaja teada peale arvulise väärtuse ka suunda nagu jõud, kiirus jne, nim vektoriaalseteks suurusteks ehk vektoriteks. Vektori pikkus Iga vektorit võime geomeetriliselt kujutada kindla pikkuse ja suunaga sirglõiguna. Vektori pikkuseks ehk moodduliks nim vektori kui lõigu pikkust. *Vektorit, mille moodul võrdub ühega nim ühikvektoriks. Nullvektoriks nim vektorit mille alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Vektorite võrdsus Kaht vektorit nim võrdseteks kui nad on võrdse pikkusega ja samasuunalised ja vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vabavektor- see on veektorid mille alguspunkti valik ei ole millegagi kitsendatud. Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal sirgel
2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti
Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1. Definitsioon. Kollineaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Kollineaarseid vektoreid tähistatakse a b .
on järgmise vektori alguspunktiks; vektor, mis on suunatud murdjoone alguspunktist lõpppunkti on antud vektorite summa. See on hulknurgareegel vektorite liitmiseks. · Liitmisel kehtib assotsiatiivsuse seadus 6.5 Vektori lahutamine · Sama sihi, pikkuse, kuid erineva suunaga vektorid on vastandvektorid. · Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks, tähistatakse sümboliga 0. · Kahe vektori lahutamise saab asendada lahutatava vektori vastandvektori liitmisega. 6.6 Vektori korrutamine arvuga · Vektor, mille pikkus on 1, on ühikvektor. · Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes · distributiivsus arvude liitmise suhtes · distributiivsus vektorite liitmise suhtes. · Arvu k ja vektori a 0 korrutiseks nimetatakse vektorit ka, mille pikkus 6.7 Vektori koordinaadid
pikkuselt võrdsed. erineda võivad alguspunktid. geomeetrilised vektorid on samasihilised ehk kollineaarsed, kui nad asuvad kas ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suund ja pikkus võivad olla erinevad). tähistus a|| b. Samasihilised vektorid a ja b võivad olla kas samasuunalised (tähistus a b) või vastassuunalised (tähistus a b). Vektorit, mille alguspunkt ühtib selle vektori lõpp-punktiga, nimetatakse nullvektoriks. Kahte vektorit, mis erineved teineteisest vaid suuna poolest, nimetatakse vastandvektoreiks. 14. Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt). vektori korrutamine arvuga: vektori korrutamisel arvuga suureneb tema pikkus võrdeliselt (siht ei muutu). kui kordaja on negatiivne, muutub vektor vastassuunaliseks. Geomeetrilise vektori a korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit a, mis rahuldab tingimusi:
Näide. Leiame vektorite a = (3; –2) ja b = (4; 5) summa. a + b = (3 + 4; –2 + 5) = (7; 3) Näide. Leiame vektorite a = (3; –2), b = (4; 5) ja c = (–7; –3) summa. a + b + c =(3 + 4 – 7; –2 + 5 – 3) = (0; 0). Vektorit koordinaatidega (0; 0) nimetatakse nullvektoriks. Vektorite geomeetrilisel liitmisel näeb pilt välja nii: summavektor © Allar Veelmaa 2014 22 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium NULLVEKTOR. VASTANDVEKTOR. VEKTORITE VAHE
Iga vektorit iseloomustab tema siht, suund ja pikkus. Vektori pikkust tähistatakse . Definitsioon. Kahte geomeetrilist vektorit ja loetakse võrdseiks ja kirjutatakse , kui need vektorid on kollineaarsed ( ), samasuunalised ja ühepikkused . Vektorite võrdsuse definitsioonist järeldub, et iga vektorit võib kanda ruumi mistahes punkti. Definitsioon. Vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku nimetatakse nullvektoriks. Tähistame nullvektorit Definitsioon. Vektorite ja summaks nimetatakse vektorit ja tähistatakse B A C Siit tuleneb reegel vektorite liitmiseks: Vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite
See võrratus kehtib iga reaalarvu 𝜆 korral. Valime 𝜆 = . Pärast lihtsaid 𝑘=0 𝑎𝑘 koordinaatideks. Ruumi Rn elementi 0 = (0, . . . , 0) nimetatakse nullvektoriks ehk lihtsalt nulliks. Rõhutame, et nii ruumi 𝑎 ⃗⃗2
2 Lõiku, millel on fikseeritud alguspunkt, s.t. suund, nimetatakse suu- natud lõiguks ehk seotud vektoriks. Seotud vektorit alguspunktiga X ja lõpp-punktiga Y tähistame edaspidi XY abil. 114 13.1. Suunatud lõikude hulk Definitsioon 13.3 Seotud vektorit XX, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku, nime- tatakse seotud nullvektoriks. Märkus 13.4 Joonisele seotud vektori kandmisel joonistame teda määrava lõigu, tä- histame ära tema otspunktid. Et eristada lõigul algus- ja lõpp-punkti, kujutame seda lõiku noole abil, mis määrab temal suuna. Noole kõrvale kirjutame seotud vektori tähise. Definitsioon 13.4 Kõikide seotud vektorite hulka tähistame vastavalt E3 , E2 ja E1 abil, ühtse tähisena E. Definitsioon 13.5 Seotud vektori XY pikkuseks |XY | nimetame teda määrava lõigu XY pikkust.
annaabi.ee 
