10. X 19. XIX 37. XXXVII 50. L 66. LXVI 94. XCIV 100. C 305. CCCV 442. CDXLII 500. DA 695. DCXCV 1000 M 1910. MCMX 1995. MCMXCV 1999. MCMXCIX Murrud 1. Seda, mis on murrujoonest allpool nimetatakse murru lugejaks, ning seda mis on murrujoonest üleval pool nimetatakse nimetajaks. 2. Murrujoon on jagamismärk. 3. Kui jagame murru lugejat ja nimetajat ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga, siis ütleme, et me taandame murdu. 4. Kui kahel murrul on lugejad võrdsed, siis on suurem see murd, mille nimetaja on väiksem. 5. Kui kahel murrul on nimetajad võrdsed, siis on suurem see murd, mille lugeja on suurem. 6. Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. 7. Ühenimeliste murdude lahutamisel lahutatakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb samaks. 8
Valemid ja öpetusesönad MATEMAATIKA 6.klassile I poolaasta Haapsalu Linna Algkool Maren Suu Nimetaja 5 näitab, et ring on jaotatud viieks võrdseks osaks. Lugeja 3 näitab, et värvitud on 3 sellist osa. MURRU JAGAMISEKS NATURAALARVUGA KORRUTAME MURDU NATURAALARVU PÖÖRDARVUGA. SEKTORDIAGRAMM TEEMADE JÄRJEKORD: 1. Murd 21.Harilike murdude korrutamine 2. Murd 22.Lihtmurdude korrutamine 3. Lihtmurd 23.Lihtmurdude korrutamine 4. Liigmurd 24.Harilike murdude korrutamine täisarvuga 5. Segaarv 25
Algarv- algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Kordarv- positiivne naturaalarv,mis jagub peale 1 ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga. Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine 1 ja sama arvuga. Liigmurd- harilik murd mille lugeja on suurem või võrdne kui nimetaja. Lihtmurd- harilik murd. Mille lugeja on väiksem, kui nimetaja. Sirgnurk- on nurk, mille haarad moodustavad sirge. Kõrvunurgad- on nurgad, millel on 1 ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Tippnurgad- on nurgad, millel on ühine tipp ja haarad moodustavad sirged.
peame vastuses komaga eraldama. 361,20 - 2 kohta Vastuses hakkame kohti lugema arvu lõpust! 3. Korrutamine/jagamine järguühikutega: 1) 0,427 · 100 = 42,7 2) 0,1 · 34,67 = 3,467 3) 3 : 100 = 0,03 4) 0,78 : 0,001 = 780 4. Jagamine: 1) Kümnendmurru jagamisel kümnendmurruga peame teisendama jagaja naturaalarvuks ja edasi jagame kümnendmurdu naturaalarvuga. 16,9 : 0,13 = 1690 : 13 = 130 koma tuleb nihutada kaks kohta paremale 13 39 39 HARILIKUD MURRUD: 3 1 3+2 5 1 3 +2 =5 =5 =6 4 2 8 4 4 1. Liitmine/lahutamine: 5 1 10 - 7 3 8 -3 = 5 =5 a
Algarv- Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Lihtmurd- murd, mille nimetaja on lugejast suurem Liigmurd- murd, mille lugeja on nimetajast suurem või temaga sama suur Naturaalarvu tegur- iga naturaalarv, millega antud arv jagub Naturaalarvu kordne- iga naturaalarv, mis antud arvuga jagub Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist
Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Tipunurk-võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk Harilik murd-näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud Lihtmurd-lugeja on väiksem kui nimetaja Liigmurd-lugeja on suurem kui nimetaja Segaarv-koosneb täisarvust ja murdosast Algarv-1-st suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga Kordsed-kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad Naturaalarv-arv, mis saadakse loendamise teel Täisarv-arv, mis on esitatav naturaalarvude vahena; murdosata arv Ratsionaalarv-arv, mis on esitatav kahe täisarvu jagatisena Lõikuvad sirged-2 sirget, millel on ainult 1 ühine punkt Ristuvad sirged-2 lõikuvat sirget, mille vahel on täisnurk Paralleelsed sirged-sirged, mis ei oma ühiseid punkte ehk mis kunagi ei lõiku Nürinurkne kolmnurk-kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi
6 tegurid Arvu tegurid ja kordsed Arvu kordsed kõik need arvud, mis antud arvuga jagunevad; Korrutades omavahel antud arvu algarvulisi tegureid 2, 3, 5 jne, saame antud arvu uusi tegureid Nt. Arvu 30 algarvulised tegurid on 2, 3 ja 5. Lisaks on tema tegurid 6, 10, 15 ja 30, mis on saadud korrutistest 23, 25, 35 ja 235 Jaguvuse tunnused On vaja teada selleks, kui tahetakse kindlaks teha, kas üks arv jagub teisega või mitte Antud naturaalarvuga jaguvad kõik selle arvu kordsed, ükski teine arv ei jagu selle arvuga Jaguvus 2, 5 ja 10-ga Arv jagub 2ga, kui ta lõpeb paarisnumbriga, nt. arvud 14, 68, 5546, 9600 jne. Arv jagub 5ga, kui ta lõpeb 0 või 5ga, nt arvud 95, 180, 7300 jne. Arv jagub 10ga, kui ta lõpeb 0ga, nt arvud 100, 150, 890, 5000 jne. Jaguvus 3 ja 9-ga Ainult arvu kordsed jaguvad selle arvuga! Nt. arvud 12, 24, 45, 48, 69 ja 99 on arvu 3
Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga. Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Laiendamine Lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Ringjoon Selliste punktide hulk, mis asetseb võrdsel kaugusel ringjoone keskpunktist. Teravnurkne kolmnurk Kolmnurk, millel on kõik nurgad alla 90 kraadi. Nürinurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi. Nürinurk Nurk, mis on suurem kui 90 kraadi Protsent 1/100 suurusest.
-n n a b bn = = n b a a m a = a n n m Juurte omadused. Tehted juurtega Juur korrutisest võrdub tegurite juurte korrutisega. n a1 a2 ... ak = n a1 n a2 ...n ak Juur murrust võrdub murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega. a na n =n b b , kui b0 Juurte omadused. Tehted juurtega Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. np a mp = a n m Võrdus kehtib tingimusel, kui a>0 Juure juurimisel juurijad korrutatakse ja tulemusega juuritakse antud juuritav. m n a = mn a Juurte omadused. Tehted juurtega Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemus juuritakse antud juurijaga. ( a) m m n = n am = a n a =a
· Kirjuta üks murd, mille nimetaja on 8 m · Kirjuta murd liiht- ja liigmurruna 56 3. Hariliku murru taandamine Hariliku murru põhiomadus: Kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga, siis saame selle murruga võrdse murru. Murru taandamine on murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga. Näide: (taandatud 2-ga) Murdu saab taandada ainult siis, kui tema lugejal ja nimetajal on 1-st erinev ühistegur. Kui selline ühistegur puudub, siis ei saa murdu taandada.. 5 11 Näited: , 6 8 Selliseid murde nimetatakse taandumatuteks murdudeks. Murdu saab võib taandada kahte moodi: 1) järk-järgult, valides lugeja ja nimetaja ühistegureid seni, kuni jõutakse taandumatu murruni.
Hulkade sümmeetriline vahe: elemendid, mis kuuluvad ühte või teise hulka, aga mitte mõlemasse Hulkade vahe: elemendid, mis kuuluvad esimesse hulka ja ei kuulu teise hulka Loenduv hulk: hulk, mille elementide ja naturaalarvude vahel on võimalik sisse seada üksühene vastavus Loendamatu hulk: hulk, mille elementide ja naturaalarvude vahel ei ole võimalik sisse seada üksühest vastavust (nt reaalarvud) Lõplik hulk: hulk, mis sisaldab kindla (naturaalarvuga võrdse arvu) elemente Lõpmatu hulk: hulk, mis sisaldab lõpmatult palju elemente Minimaalne Cantori normaalkuju: Cantori normaalkuju, mis koosneb vähimast võimalikust arvust hulkadest Täielik Cantori normaalkuju: CNK, kus igas ühisosa- või ühenditehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad Tühi hulk: hulk, millesse ei kuulu ühtki elementi Universaalhulk: hulk, kuhu kuuluvad kõik antud tingimustel võimalikud elemendid
Tehted juurtega: 1. n a b n a n b Juur korrutisest = tegurite juurte korrutisega. n a a 2. n Juur murrust = murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega. b n b np 3. a mp n a m Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. 4. m n a mn a Juure juurimisel juurijad korrutatakse ja tulemusega juuritakse antud juuritav. 5. a n m n a m Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemus juuritakse antud juurijaga. m
Tehted juurtega: 1. n a b n a n b Juur korrutisest = tegurite juurte korrutisega. n a a 2. n Juur murrust = murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega. b n b np 3. a mp n a m Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. 4. m n a mn a Juure juurimisel juurijad korrutatakse ja tulemusega juuritakse antud juuritav. 5. a n m n a m Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemus juuritakse antud juurijaga. m
1.12 Juurte omadusi · Igal mittenegatiivsel reaalarvul on parajasti üks mittenegatiivne n-es juur · Negatiivsel arvul ei ole reaalarvude hulgas paarisarvulise juurijaga juurt · Igal negatiivsel arvul on reaalarvude hulgas parajasti üks negatiivne paarituarvulise juurijaga juur 4. 5. 6. 7. Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat jagada nende ühisteguriga või korrutada ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga 1.13 Juurte koondamine · Juuravaldisi, mis erinevad üksteisest ainult juure kordaja poolest või ei erine üldse, nimetatakse sarnasteks. · Koondada saab vaid summas, mille liidetavate hulgas leidub sarnaseid juuravaldisi 1.14 Astme mõiste üldistamine 1.15 Tehted astmete ja juurtega Avaldised 2.1 Ratsionaalavaldised · Ratsionaal on avaldis, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude +, -, korrutamine, jagamine ning astendamine
1) 21=7*3 2) 156=150+6=50*3+2*3=(50+2)*3=52*3 Selgita, kuidas on teises näites saadud korrutis 52*3. Nii võime toimida suuremate arvude korral peastarvutamisel. Järeldus. Arvud 21 ja 156 jaguvad 3-ga, sest neid sai väljendada arvu 3 kordsetena. Kontroll. 21 ÷ 3 = 7; 156 ÷ 3 = 52 8 5. Jaguvuse tunnused Neid on vaja tunda selleks, kui tahetakse kindlaks teha, kas üks arv jagub teisega või mitte. Antud naturaalarvuga jaguvad kõik selle arvu kordsed, ükski teine arv ei jagu selle arvuga. 5.2. Jaguvus 2, 5 ja 10-ga · Arv 2 jagub 2-ga, kui ta lõpeb paarisnumbriga. Näide. 2-ga jaguvad arvud 14, 68, 174, 966, 1042, 9600 jt. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks (nt. 22, 456, 2778). Kõik ülejäänud naturaalarvud on paaritud arvud (nt. 29, 67, 185, 1969) · Arv jagub 5-ga, kui ta lõpeb 0 või 5-ga. Näide. 5-ga jaguvad arvud 85, 170, 605, 1900, 7005 jt.
m m 4 3) n = n Näiteks: 3 84 = 3 = 24 = 16 n a m = Kn a Km Näiteks: 3 2=64 Juurijat ning juuritava astendajat võib korrutada (juure laiendamine) või jagada (juure taandamine) ühe ja sama naturaalarvuga. Näiteks: 3 2 32 = 3 2 25 = 6 22 2 = 6 22 6 15 215 = 6 217 = 6 26 26 25 = 4 6 2 5 4) m n a = mn a Näiteks: 3 5 4 = 15 4 Juurte juurimisel võime juurijad korrutada ning saadud tulemusega juurida antud juuritavat. Murru nimetaja vabastamine irratsionaalarvust 5 5 2 5 2 · = =
kongruentside puhul võib avaldise vastavad pooled omavahel korrutada. 5). Kui ak bk (mod m) siis samuti a b (mod m), ehk kui mooduli pooli on võimalik läbi jagada mingi arvuga, võib seda. 6). Kui a b (mod m) siis suvaliste täisarvude u ja v korral a + um b + vm (mod m), ehk moodulikordseid võib alati kongruentsi mõlemale poolele liita. 7). Kui ak bk (mod mk), siis a b (mod m) ehk võimalusel võib a, b ning mooduli läbi jagada mingi naturaalarvuga k. *Kokkuvõtteks: täisarvude kongruentse on hea kasutada näiteks suurte väärtustega jagamistehetes jäägi väljaselgitamiseks. [29]. Moodularitmeetika. *Moodularitmeetikat kutsutakse sageli ka ,,kella aritmeetikaks" ning see on täisarvude jaoks defineeritud aritmeetika süsteem, kus numbrid ,,teevad täisringi" pärast mingi kindla väärtuse (moodulini) jõudmist. *Moodularitmeetika moodsa lähenemise esimesteks juurutajateks olid Sveitsi matemaatik
loetelus v~ oi punkti koordinaatide puhul kasutatakse eraldajana tavaliselt koma, n¨aiteks {a, b, c} ja (x, y) . Kui hulga elementideks v~oi punkti koordinaatideks on arvud, siis v¨a¨ararusaamise v¨ altimiseks kasutatakse eraldajana semikoolonit, n¨aiteks {-2; 3; 11} ja (3; 4.5) . K¨ umnendmurrus kasutatakse eraldajana punkti. Kasutusel on j¨ argnevad arvuhulga t¨ahistused: N = {1; 2; 3; . . .} naturaalarvude hulk; k N = {n | n N m N n = k · m} = {k; 2k; 3k; . . .} naturaalarvuga k jaguvate naturaalarvude hulk; Z = {. . . ; -2; -1; 0; 1; 2; . . .} t¨ aisarvude hulk; Q = {x| x = m/n m Z n N } ratsionaalarvude hulk; I irratsionaalarvude hulk, s.o l~ opmatute mitteperioodiliste k¨umnendmurdude hulk; R = Q I reaalarvude hulk; R + positiivsete reaalarvude hulk; R- negatiivsete reaalarvude hulk; C = z | z = x + iy x R y R i2 = -1 kompleksarvude hulk; [a, b] = {x | a x b} l~ oik;
Hulgas ei pea aga olema ühtegi elementi. Sellised hulgad kerkivad esile väga tihti ning väga erinevates olukordades. Näiteks, kui A on võrrandi x2 + 1 = 0 reaalarvuliste lahendite hulk, siis hulgas A ei ole ühtegi elementi. Näiteks, kõigi reaalarvude x hulk, mis rahuldavad võrratust x2 < 0, on samuti tühi hulk. Definitsioon Tühjaks hulgaks nimetatakse hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi. Lõplikud ja lõpmatud hulgad Kui hulgas on mingi naturaalarvuga võrdne arv elemente, siis nimetatakse seda hulka lõplikuks. Kuna tühjas hulgas pole ühtegi elementi, siis loetakse ka tema tavaliselt lõplikuks. Hulka, mis ei ole lõplik (ega tühi), nimetatakse lõpmatuks hulgaks. Näiteks, ja on lõpmatud hulgad. Lõpliku hulga A korral tähistame sümboliga |A| hulgas A olevate elementide arvu ja nimetatame seda hulga A võimsuseks. Kui A = {1, 2} ja B = {1, 2, {1, 2}, }, siis |A| = 2 ja |B| = 4. Samuti || = 0. Osahulk Definitsioon
gime arvude leidmisest, kas mõtleme naturaalarve, täisarve, reaalarve, komp- leks-arve? 180 Kui kirjeldame võrrandi abil mõnda elulist olukorda, määrab seesama olukord lahenditele antavad tingimused. võrrandi teisendAMINE Näiteks kui meil on otsitavaks muutujaks inimeste arv, oleks tore, kui tegemist oleks naturaalarvuga. Samuti oleks meid üllatanud, kui kaaslase vanus oleks osutu- nud nullist väiksemaks. Samas kui otsitavaks on sõbra sõidukiirus, võiks see vabalt olla mistahes positiivne reaalarv. Kui lahendame võrrandeid oma lõbuks, võime täiesti ise otsustada, milliste arvu- dega ennast piirame. Näiteks kahe muutujaga lineaarvõrrandi korral on mõistlik end piirata reaalarvudega – nii saame ilusa vastavuse sirgetega tasandil [lk 184].
kujul: n on algarv, kus n∈ N. See üldistatud kujul esitatud objekt ei ole lause, sest sellele ei anna interpretatsioon tõeväärtust enne, kui fikseeritakse muutuja n väärtus. Vastavalt igale konkreetsele naturaalarvule saame objektist „n on algarv” lause, millel on tõeväärtus, nt n = 2 puhul saame tõese lause, n = 3 puhul tõese lause, n = 4 puhul väära lause jne. See tähendab, et uuritav objekt seab iga naturaalarvuga vastavusse ühe kindla tõeväärtuse. Sellised struktuurid on funktsioonid. Ülalpool konstrueeritud objekt ,,n on algarv" on funktsioon, mis kujutab iga naturaalarvu mingiks kindlaks tõeväärtuseks. Predikaatloogikas nimetatakse sellist ühekohalist (unaarset) funktsiooni ühekohaliseks ehk unaarseks predikaadiks. Antud näites on unaarse predikaadi määramispiirkonnaks ehk lähtehulgaks naturaalarvude hulk, sihthulgaks on tõeväärtuste hulk
kujul: n on algarv, kus n N. See üldistatud kujul esitatud objekt ei ole lause, sest sellele ei anna interpretatsioon tõeväärtust enne, kui fikseeritakse muutuja n väärtus. Vastavalt igale konkreetsele naturaalarvule saame objektist ,,n on algarv" lause, millel on tõeväärtus, nt n = 2 puhul saame tõese lause, n = 3 puhul tõese lause, n = 4 puhul väära lause jne. See tähendab, et uuritav objekt seab iga naturaalarvuga vastavusse ühe kindla tõeväärtuse. Sellised struktuurid on funktsioonid. Ülalpool konstrueeritud objekt ,,n on algarv" on funktsioon, mis kujutab iga naturaalarvu mingiks kindlaks tõeväärtuseks. Predikaatloogikas nimetatakse sellist ühekohalist (unaarset) funktsiooni ühekohaliseks ehk unaarseks predikaadiks. Antud näites on unaarse predikaadi määramispiirkonnaks ehk lähtehulgaks naturaalarvude hulk, sihthulgaks on tõeväärtuste hulk
annaabi.ee 
