TEEMA: DEFINEERIMINE JA TÕESTAMINE Defineerimine mõiste täpne ja lühike määratlus Algmõiste mõiste, mida ei defineerita (punkt, sirge, tasand, ruum, hulk, arv, suurus) Ülesanne: defineeri ja õpi selgeks järgmised mõisted: 1. Lõik, murdjoon, hulknurk 2. Nelinurk, rööpkülik, ristkülik, ruut, romb, trapets. 3. Ristuvad ja lõikuvad sirged, paralleelsed sirged. 4. Täis-, nüri- ja teravnurkne kolmnurk; võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk. 5. Kolmnurga kõrgus. 6. Ring ja ringjoon, diameeter, raadius, kõõl. 7. Alg- ja kordarv, naturaalarv, täisarv. 8. Liig- ja lihtmurd. 9. Murru taandamine ja laiendamine. 10. Nurk, sirgnurk, täisnurk, kõrvunurgad, tippnurgad. 11
kokkuvõte Sirge. Kiir. Lõik. A B s Sirge s (ehk AB) Ei ole algus- ega lõpp-punkti A B t Kiir t (ehk AB) On alguspunkt,puudub lõpp-punkt A B Lõik AB On alguspunkt ja lõpp-punkt A E B Murdjoon Murdjoon koosneb lülidest. C D Sirge põhiomadus: Läbi iga kahe punkti saab tõmmata ainult ühe sirge. Nurkade liigid A a a r Nurk AOB h O tipp haar B Täisnurk Sirgnurk Teravnurk Nürinurk Nurkade mõõtmine Nurga mõõtühikuks on 1 o (kraad). Sirgnurk = 180 o
Sarnased hulknurgad Koostaja: Kadri Kivirand Juhendaja: Andres Talts Hulknurga mõiste Hulknurga moodustab tasandil olev kinnine murdjoon. Murdjooneks nimetatakse niisugust kujundit, mis koosneb punkte järjestikku ühendavatest lõikudest, kusjuures kolm järjestikust punkti ei asu ühel sirgel. Sarnasus Kahte võrdset kujundit saab asetada nii teineteise peale, et nad ühtivad. Kui kaks kujundit on ühesuguse kujuga, kuid erineva suurusega, siis need kujundid on sarnased. Reegel! KAKS HULKNURKA ON TEINETEISEGA SARNASED SIIS, KUI NENDE HULKNURKADE
Ruuduks nim. võrdsete kölgedega ja täisnurkadega nelinurka. Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed. Võrdhaarne trapets on nelinurk, mille kaks haara on paralleelsed ja võrdsed. Täisnurkne trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90o. Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning
Nurgapunktis mööda sirget tangenslõigu võrra edasi liikudes leiame aga kõvera lõpp- punkti KL. Kõvera lõpust liigutakse pikettide märkimisega mööda sirget kuni järgmise nurgapunktini, kus tuleb jällegi märkida kõvera algus ja lõpp. Põhipikettide vahele paigutatakse vastavalt vajadusele plusspiketid (reljeefi muutumise kohtades, trassiga ristuvad kraavid või teed). Kõverate mahamärkimisel on vaja murdjoon kõvera alguse ja kõvera lõpu vahel asendada kaarega. Selle toimingu tulemusena lüheneb trass mõõteliia D võrra. Oluline on, et tangenslõikudele jäävate põhipikettide vahe jääks samaks (100 m). Selleks peab enne pöördenurka paikneva piketi ja peale pöördenurka asetseva piketi vahekaugus olema 100+D m. Peale pikettide ülekandmist kõverale jääb nende vahekaugus võrdseks s
piisad õhus. Molekulid mõjutavad üksteist väga tugevate jõududega. Neid võib kohata, kui kaks siledat klaasplaati on üksteise vastas ja vesi satub nende vahele. Siis on plaate väga raske üksteisest eraldada just molekulide vaheliste tõmbejõudude tõttu. III Aineosakeste soojusliikumine Kõik osakesed maailmas on pidevas lakkamatus liikumises. Seda liikumist nimetatakse soojusliikumiseks. S. on suunalt ja kiiruselt juhuslik ehk kaootiline. Osakese liikumise trajektooriks on murdjoon. Vaatamata suurele hulgale omavahelistele põrgetele molekulid ei kulu ega deformeeru. S. esineb kõikjal: gaasides kulgemisena, vedelikes võnkumise ja ülehüpetena ning tahketes ainetes võnkumisena. Mida kõrgem on aine temperatuur, seda suurem on s-e kiirus. See liikumine lõppeks vaid siis, kui saavutataks absoluutne nulltemperatuur 0 K (kelvin) ehk -273,15°C. Üldiselt liiguvad väiksemad osakesed kiiremini. Molekulide soojusliikumise kiirus mõõdeti esmakordselt 1920 (Otto Stern)
2. 2 korda w; korrutamine 3. 7 jagatud n-ga; jagamine 4. 6 pluss p; liitmine Kliki Klikivastusele, vastusele,et etsaada saada tagasi tagasiülesande ülesandelehele lehele Näited: **Sõnadega Algebraline avaldis a a jagatud b; miinus 7 1. 7 b (NB!: murdjoon on jagamise märk) 2. r 4k r korda 4 ja k korrutis (NB!: korrutamismärki tavaliselt ei panda tähtede, nagu xy või 4k vahele. 3. 5 xy : 3z 5xy korrutis on jagatud 3z-ga 4. ( 4 n) : m 4 ja n summa jagatud m -ga Arvutada avaldise väärtus – kirjutada avaldis ümber, asendades iga muutuja vastava arvuga ning kasutades tehete märke leida selle väärtus.
vedeliku voolavuse ). Soojusliikumine seisneb osakeste võnkumises ja korrapäratus liikumises. Amorfsed ained. Vedeliku soojusliikumisega sarnane, aga ,, hüppeid" toimub harvemini. Voolavus on sellest mõjutatud ( aine läheb lihtsalt pehmeks ). Gaas. Voolavad, kuid neil puudub kindel ruumala. Osakesed üksteisest kaugel. Osakeste vahel tühi ruum ( kokkusurutav ). Lahtises anumas gaas ei püsi tõmbejõud on väike. Osakeste liikumine on korrapäratu. Osakeste liikumise trajektoor on murdjoon. Ainete segunemine. Lõhnaõli lõhn levib, sest lõhnaõli osakesed segunevad õhuosakestega. Ained segunevad iseeneslikult soojusliikumise tõttu. Lahustumine vees on ka iseeneslik. Gaasis toimub segunemine kiiremini, sest osakesed on kaugemal üksteisest. Mittelahustuvad ained ei segune iseeneslikult. Kui kaks tahket ainet üksteise peale panna ning koormis peale panna, siis pika aja jooksul seguneb aine väga vähe ( tahkistes liiguvad osakesed väga harva oma koha pealt ära )
Madalama taseme (konkreetsemad) mõisted sisaldavad kõiki kõrgema (üldisema) taseme mõistet defineerivaid tunnuseid Madalama taseme mõistel on lisaks ka eritunnused, mis iseloomustavad ainult seda mõistet Tasapinnaliste kujundite esitamine defineerivate tunnuste teooria järgi tasapinnaline punktihulk kujund tasandil kinnine murdjoon hulknurk tipud küljed kolm külge neli külge nelinurk Kolmnur neli tippu k kolm tippu vastasküljed võrdsed kõik nurgad täisnurgad ristkülik ruut kõik küljed võrdsed
..1500 kW võimsusega tuuleagregaadid, kuigi on ehitatud ka eksperimentaalseid tuuleagregaate 2...3 MW. Tuuleagregaadi tunnusjoon näitab agaregaadi poolt genereeritavat võimsust sõltuvalt tuule kiirusest. Taani tuuleelektrijaama Vestas V27-225 (225 kW) võimsuse katseline sõltuvus tuule kiirusest on näidatud joonisel 3. Jooniselt on ka hästi näha, kuidas toimib 9 koormuse reguleerimine tiibade seadenurga muutmise abil (pitch regulation) (murdjoon graafiku ülaosas). Ülekandemehhanismid. Tiiviku labade joonkiirus laba otsa juures ei ole tavaliselt üle 60...80 m/s. Sellest tulenevalt sõltub tiiviku pöörlemiskiirus agregaadi võimsusest ning on tavaliselt 15...40 pööret minutis. Väiksema kiiruse korral on väiksem ka tiiviku poolt tekitatud müra. Seepärast on tuuleagregaadi üheks oluliseks elemendiks mitmeastmeline ülekandemehhanism ehk kiiruskast. 10 Kokkuvõte
levib heli. Miks lõhnad levivad aeglaselt? Korrapäratult liikuv aineosake läbib murdjoont mööda pika tee, kuid võib siiski jääda oma esialgse asukoha Aineosakese trajektoor lähedale. Osake justkui tammuks ühe gaasis on murdjoon. koha peal. Et lõhnava aine molekul jõuaks pudelisuust mõne meetri kaugusele, kulub mitu minutit. 61. Hinnata, kui palju väheneb jää sulamistemperatuur uisutaja uisutera all. Vastus lehekülg 16. 0.008 K/100 kPa. Kui suurt rõhku põhjustab uisutaja. Kui pikk on uisutera. Uisu tera läbimõõt 3 mm, uisutaja 70 kg. 62. Põhjendage lähtuvalt molekulaarsel-kineetilisest teooriast tahke aine kuju
47 8.3. Joonpinnad Joonpind tekib sirge liikumisel, kui ta lõikab igas oma asendis ühte või mitut juhtjoont . 8.3.1. Laotuvad joonpinnad Kõikidest joonpindadest osutuvad laotuvateks pindadeks ainult joonpinnad ja neistki ainult silindriline ja kooniline. Silindriline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab etteantud juhtjoont j ja jääb paralleelseks etteantud sirgega s (sihisirgega) (joon. 48). Kui juhtjooneks on murdjoon, saame prismalise pinna. 24 Kooniline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab antud juhtjoont j ja läbib antud punkti T (tippu) (joon.49). Kui juhtjoon on murdjoon, saame prismalise pinna. j T s s
8) ↵ (käsust väljumine) Märkus. Käsku PLINE saab kasutada ka mis tahes keerukamate kõverate joonestamiseks, näiteks evolvent, parabool, lemniskaat, kardioid jt. Selleks arvutatakse või tuletatakse kõvera punktid või nendee koordinaadid, mille järgi joonestatakse sirglõikudest (mida lühemad, seda parem) koosnev liitjoon ning käsu PEDIT / F või PEDIT / S abil muudetakse sirglõike ja teravaid nurki sisaldav murdjoon sujuvaks kõverjooneks. Seejuures tuleb arvestada, et mõnel juhul võib selliselt silutud joonel olla sees antud liiki joonele mitte eriti iseloomulikud kohad. Selliste ebamäärasuste vähendamiseks on soovitatav kriitilistes kohtades punktide vahekaugused võtta suhteliselt väikesed. * * * PEDIT – Liitjoone muutmine Liitjoone korrastamiseks ja muutmiseks on käsk PEDIT, mis kuulub AutoCADi selliste
Aspect] Valikuvõimalused on: Spacing(x) võresamm kasutatud ühikutes, vaikimisi senikasutatud samm ON taastab eelmise võresammu väärtuse OFF lülitab koordinaatvõrgustiku välja Snap võresammuks tuleb 1 (kui käsku SNAP ei ole kasutatud) või võresamm saab võrdseks SNAP-sammuga Aspect X- ja Y- telgede suunas erinevad võresammud 3 LINE sirgjoone joonestamine LINE on joon, mis koosneb sirglõikudest ehk lihtsalt murdjoon. Seda käsku saab välja kutsuda kahte moodi: 1) Viies hiirekursori joonestamise (DRAW) ikoonjadal ikoonile LINE ( ) ja vajutades hiire vasakule klahvile 2) Kirjutades käsuribale LINE Kui kirjutada käsuribale: LINE Kuvatakse tekst Specify first point of the line (määra kindalks joone alguspunkt või selle koordinaadid). Märkides ära joone alguspunkti kas hiire vasaku klahviga kuvaril või sisestades käsuribal punkti koordinaadid ( 2 , 3),
lennukikandja teki pindalaks saadakse 21,789,343,247 ruutmillimeetrit, muidugi kui pole kasutatud teaduslikke ühikuid ega täpsuse piiranguid. 2) O ↵ Select objects: (valida jooniselt mingi objekt; see objekt võib olla mis tahes kinnine või lahtine kujund, kuid AutoCADi seisukohalt peab ta moodustama ühe objekti; kui see nõue pole täidetud, näiteks valiti LINE abil joonestatud kinnine murdjoon, siis vastab arvuti, et valitud objekt ei oma pindala: Selected object does not have an area) {objekt} ↵ Area = AAA.aa, Perimeter = PP.pp Märkus: Kui rakendada käsku AREA / O liitjoone kohta, on võimalik leida liitjoone pikkust (seda tegi arvuti juba kolmurga arvuttamisel). Laia liitjoone pikkus arvutatakse tema teoreetilise keskjoone järgi. Näide 4 25
c) Siim, kes ei ole kitarrist, on lokkispeade vahel d) solist ja kitarrist on kõrvuti Vastus: liikmed järjekorras on: Rein- trummar, Kalle- pianist, Siim- solist, Paul- kitarrist 291. Iga järgmise rea elemendid on saadud eelmise (ülemise) rea elementidest teatud eeskirja arvestades. Joonista puuduvad kujundid. Vastus: 292. Kuidas lõigata see ristkülik kaheks osaks nii, et tükkidest saaks kokku panna ruudu? Lõikejoon on murdjoon. Vastus: 293. Jaota ristkülik neljaks ühesuguseks osaks nii, et igas osas olevate arvude summa oleks 35. Vastus: 294. Tõsta 2 tikku ära nii, et võrdus kehtiks. Vastus: 295.Mitu ruutu ja kolmnurka on pildil? Vastus: 11 ruutu ja 20 kolmnurka 296. Asenda kõik kastikesed ühe ja sama numbriga nii, et saadud seitsmekohaline arv jaguks 9-ga. Leia 2 võimalust. Vastus: 2 või 5
Leidub siingi käske, mille täitmine toob graafilise ekraani auto- maatselt ette (`ZOOM, `PAN jne.). 5. Joonestamiskäsud Joonestamiskäske on sobiv käivitada rippmenüü Draw valikutest või ikoonilatilt Draw. Kõige tüüpilisem jooniseelement on nähtavasti sirglõik, milledest saab moodustada katke- matu murdjoone. Viimase joonestamiseks tuleb käivitada käsk LINE. Sellise murdjoone iga sirgjooneline lüli on iseseisev jooniseelement ja murdjoon ise on alati null-laiusega. Käsu LINE käivitamisel küsib AutoCAD esmalt viibaga Specify first point: joone lähtepunkti. Pärast lähtepunkti teatamist ilmutatakse viip Specify next point or [Undo]. Nüüd saab teata- da sirglõigu lõpp-punkti. Punktide sisestamise kohta võib vaadata ka lisast 1. Järgmise lüli lõpp-punkt joonestatakse samal viisil. Alates kolmandast lülist ilmutatakse viip Specify next point or [Close/Undo]
y B Pk-1 yk-1 Pk yk A a xk-1 xk x b Joonis 5.15. K~overjoon ja sellesse joonestatud murdjoon ¨ st xk = xk - xk-1 > 0. Uhendame punktid Pk-1 ja Pk (k = 1, 2, . . . , n) sirgl~oikudega. Nii tekib murdjoon P0 P1 . . . Pk-1 Pk . . . Pn . T¨ahistades murd- joone k-nda l¨uli pikkuse sk , saame murdjoone pikkuseks summa n sk . (5.10) k=1
[a, b] = Ii , Ii ∩ Ij = ∅ (i 6= j) i=1 ning I1 , . . . , In on sellised intervallid, et h (x) = Ai x + Bi (x ∈ Ii ) , kus Ai ja Bi on iga i = 1, . . . , n puhul konstantsed kordajad. Lihtne on veenduda, et tükiti lineaarne funktsioon h on pidev parajasti siis, kui ta graafik on pidev murdjoon. y y = f (x) y = h(x) 0 a x1 x2 x3 b x Joonis 3.10: Pideva funktsiooni f lähendamine tükiti lineaarse funktsiooniga h. Lause 3.32 Olgu f lõigus [a, b] pidev funktsioon. Siis leidub iga ε > 0 jaoks lõigus [a, b] pidev tükiti
Kuigi meie tõestasime siin ainult, et kahe arvu aritmeetiline keskmine on suurem geomeetrilisest keskmisest, siis tegelikult kehtib väide mistahes paljude arvude võrratus kohta. Suvalise mittenegatiivse arvu aritmeetiline keskmine on suurem kui geomeetriline keskmine. Seda on siiski juba pisut keerulisem tõestada. Lühim murdjoon Lõpetame peatüki ühe väga lihtsa geomeetrilise võrratusega. See väidab, et kahe punkti vahelistest murdjoontest on vähima pikkusega neid punkte ühendav sirg- lõik. Sellest võrratusest järeldub kohe näiteks tuntud kolmnurga võrratus: kolmnurga iga kahe küljepikkuse summa on pikem kui kolmas külg. See lihtne väide osutub järelikult üsna sisukaks. 200 201
annaabi.ee 
