Elementaarseteks funktsioonideks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et |f(x)|<= k iga X kuulub hulka A korral. Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav(monotoonselt kasvav) või mittekahanev(monotoonselt kahanev). Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x) , kui f(x)=f(-x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x), kui f(-x)=-f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Punkti E ümbruseks nimetakse arvtelje vahemikku a kuni a+E. Arvu a nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu E>0 korral
X ja f (x + T) = f (x) ja antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)=-f(x) korral.
4*(Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid) Funktsiooni
y = f (x) (x X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f -1 (y ) , mis igale arvule y Y = f (X )
seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x).
*Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav või
mittekahanev.
*Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või
kahanev.
*Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2 X korral, mis rahuldavad võrratust
x1
Funktsiooni esitusviisid 1) analüütiline esitus valemi abil * ilmutatud: arvutada punktid x ja y, graafikule kanda punktipaarid(x,y) * ilmutamata: F ( x , y )=0 . Iga xi korral lahendada Mittekasvav(monotoonselt kahanev): piirkonnas B⊂ X , kui iga
arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x), st y f (−1→) x ⇔ x (f→) y. on diferentseeruvad ka funktsioonid cf(x), f(x) + g(x), f(x)g(x) ja taiendaval eeldusel g(x) =/= 0 ka Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on f(x)/g(x), kusjuures mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f(x1) < f(x2). 1. Naidata, et hulgal X pidevate funktsioonide ruumis C(X) sobib normiks (rahuldab normi
X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f (x1) < f(x2). Kahanev funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x 1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). Monotoonne funktsioon - funktsioon, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Pöördfunktsioon - Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x=f -1 (y), mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x). Reaalmuutuja ühene funktsioon - Kui hulga X ⊂ R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y ⊂ R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ( ühene) ühe (reaal-)muutuja (reaalsete väärtustega) funktsioon f.
funktsiooni
perioodiks.
DEF 8. Funktsiooni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1X ja
x2X korral, mis rahuldavad võrratust x1
x 0 x f ( x + x ) - f ( x ) f ( x ) = lim x 0 x Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df Liitfunktsiooniks nim funktsiooni z=g(f(x)) Monotoonne funktsioon on kogu oma määramispiirkonnas kas mittekahanev(monotoonselt kasvav) või-mittekasvav Polaarraadius-punkti x,y kohavektori pikkus, punkt mis moodustatakse x-teljega positiivses suunas-polaarnurk
funktsioonid) Funktsiooni y = f (x) (x ∈ X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse 8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. funktsiooni x = f −1 (y ) , mis igale arvule y ∈ Y = f (X ) seab vastavusse arvu x ∈ X , Osajadad. Bolzano-Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu kusjuures y = f (x). ulatuses mittekasvav või mittekahanev. *Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on *Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva mittekasvav või mittekahanev. osajada. *Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas *Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim
Kui positiivsete liikmetega rea u1+ u2+...+un+... korral on suurusel n n tõkestamatul kasvamisel lõplik piirväärtus l, s.t. kui , siis 1) rida koondub, kui l<1, 2) rida hajub, kui l>1 . Kui l=1, siis teoreem ei anna vastust rea koonduvuse või hajuvuse küsimusele. 14. Rea koonduvuse integraaltunnus: vastav teoreem tõestusega (teoreem 37.2). Teoreem 37.2. Olgu rea u1+ u2+...+un+... liikmed positiivsed ja mittekasvavad, s.t. u1 u2u3... ja olgu f(x) niisugune pidev mittekasvav funktsioon, et f(1)=u1, f(2)=u2,..., f(n)=un,... . Siis kehtivad järgmised väited: 1) kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida u1+ u2+...+un+...; 2) kui nimetatud integraal hajub, siis hajub ka rida u1+ u2+...+un+... . 15. Muutuvate märkidega read: mõiste selgitus; Leibnizi teoreem tõestuseta ja selle geomeetriline illustreerimine . Muutuvate märkidega read, ehk read, mille liikmete märgid vahelduvad, s.t. read, millel on kuju u 1-u2+u3-u4+...+u2k-1-u2k+..., kus
lim ( F ( Pi ) xi = F ( x, y ) dx , Olgu S=ai positiivsete liikmetega rida, kusjuures a1a2a3 ... Peale päripäeva selle olgu f(x) niisugune pidev ja mittekasvav funktsioon, et f(1)=a 1, n 0 D L f(2)=a2, f(3)=a3,... i =1 L Greeni valem F ( x, y )dx +G ( x, y )dx = [F ( x, y ) -G ( x, y )]dxdy
korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f(x1) > f(x2). tõkestatud. Monotoonseks fun-ks nim. fun-ni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev Hulga (null kriipsuga) X R vähimat ülemist tõket nim-kse hulga X ülemiseks rajaks ja (monotoonselt kasvav fun-n) või mittekasvav (monotoonselt kahanev fun-n). tähistatakse sup X. Rangelt monotoonseks fun-ks nim. fun-ni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või Hulga X R suurimat alumist tõket nim-kse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse inf kahanev. X. Funkt-ni y=f(x), x X pöördfunktsiooniks nim
Funktsioon on kahanev y'(x)0 Vastavalt Rolle'i teoreemile leidub vähemalt üks niisugune Kui y'(x)<0 funktsioon on kahanev Funktsioon on punkt c (a,b), et G'(c)=0 mittekasvav y'(x)0 G'(c)=f'(c)(g(b)-g(a))-(f(b)-f(a))g'(c)=0 Teoreem 1 (Rolle'i teoreem) f'(c)(g(b)-g(a))=(f(b)-f(a))g'(c)
com), Toomas Sarv 20 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle'i teoreem (tõestusega). Definitsioon 1 Vaatleme funktsiooni y = f (x) vahemikus (a, b) Olgu x1 < x 2 , x1 , x 2 (a, b) 1) kui f ( x1 ) < f ( x2 ) f ( x) on kasvav; 2) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekahanev; 3) kui f ( x1 ) > f (x2 ) f ( x) on kahanev; 4) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekasvav. Olgu f (x) kasvav vahemikus (a, b) x = x 2 - x1 Sel juhul on sama märgiga y = f ( x 2 ) - f ( x1 ) y y > 0 lim = y' 0 x x 0 x Funktsioon on kasvav y ' ( x) 0 Kui y ' ( x) > 0 funktsioon on kasvav y y ' = lim >0 x 0 x y
com), Toomas Sarv 20 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle'i teoreem (tõestusega). Definitsioon 1 Vaatleme funktsiooni y = f (x) vahemikus (a, b) Olgu x1 < x 2 , x1 , x 2 (a, b) 1) kui f ( x1 ) < f ( x2 ) f ( x) on kasvav; 2) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekahanev; 3) kui f ( x1 ) > f (x2 ) f ( x) on kahanev; 4) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekasvav. Olgu f (x) kasvav vahemikus (a, b) x = x 2 - x1 Sel juhul on sama märgiga y = f ( x 2 ) - f ( x1 ) y y > 0 lim = y' 0 x x 0 x Funktsioon on kasvav y ' ( x) 0 Kui y ' ( x) > 0 funktsioon on kasvav y y ' = lim >0 x 0 x y
an = 0 33. Positiivsete arvridade võrdlusteoreemid majoranttunnus Olgu antud positiivsete liikmetega read ai ja bi ja, kusjuures aibi, st teine rida majoreerib ehk on esimese rea majorant. Kui majoreeriv rida bi koondub, siis koondub ka ai integraaltunnus Olgu S=ai positiivsete liikmetega rida, kusjuures a1a2a3 ... Peale selle olgu f(x) niisugune pidev ja mittekasvav funktsioon, et f(1)=a1, f(2)=a2, f(3)=a3,... Siis kehtivad järgmised väited 1) kui f ( x)dx 1 koondub, siis S koondub 2) kui f ( x)dx 1 hajub, siis S hajub 34. Arvrea koonduvuse d´Alembert´i tunnus Teoreem: Kui positiivsete liikmetega rea u1+u2+u3+...+un+... (n+1)-se liikme ja n-nda liime ja n-nda liikme suhtel on n tõkestamatul kasvamisel (lõplik) piirväärtus l, s.t. kui
~ x1 < x2 , kehtib vorratus f (x1 ) > f (x2 ). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 23 / 25 Funktsioon Definitsioon (Monotoonne funktsioon) Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma ma¨ aramispiirkonnas ¨ on mittekahanev (monotoonselt kasvav ~ mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). funktsioon) voi Definitsioon (Rangelt monotoonne funktsioon) Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma ma¨ aramispiirkonnas ¨ ~ kahanev. on kasvav voi ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 24 / 25 Funktsioon
annaabi.ee 
