Korrapärane kolmnurkne prisma · Risttahukas · S=2(ab+ac+bc) · V=abc · d = a² + b² + c² · Prisma · V=Sph · S=Sk+2Sp · Sk=nah · V=Sph · ÕPIKUST lk.141 põhiserv Kaldprisma St=Sk+2Sp Sk=pm p-ristlõike ümbermõõt, m-külgserv V=Sph Lõiked · RÖÖPKÜLIK-nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed Ülesanne 262 Rööpküliku eriliigid: · RUUT-nimetatakse nelinurka, mille lähisküljed on võrdsed · RISTKÜLIK-nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed ningnurgad on täisnurgad · ROMB-nimetatakse rööpkülikut, mille lähisküljed on võrdsed. · TRAPETS-nimetatakse nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed, kuid teised küljed ei ole paralleelsed. · Korrapärseks hulknurgaks nimetatakse kumerat hulknurka, mille on võrdsed nii küljed kui ka nurgad. a2 3
arvatud. Seda lõiku tähistatakse AB. Murdjoon - Murdjoon koosneb punkte järjestikku ühendavatest lõikudest, kusjuures kolm järjestikust punkti ei asu ühel sirgel. Hulknurk kinnine murdjoon. Nelinurk hulknurk, millel on neli nurka või neli külge. Rööpkülik nelinurk, mille 2 vastaskülge on paralleelsed. Ristkülik rööpkülik, mille üks nurk on täisnurk. Ruut ristkülik, mille lähisküljed on võrdsed. Romb rööpkülik, mille lähisküljed on võrdsed. Trapets nelinurk, mille 2 vastaskülge on paralleelsed. Ristuvad sirged kui sirged on risti selle tasandi iga sirgega. Lõikuvad sirged sirge, millel leidub ühine punkt. Paralleelsed sirged sirged, mis paiknevad ühel ja samal tasandil ja ei lõiku. Täisnurkne kolmnurk kolmnurk, mille üks nurk on täisnukr e 90 kraadi. Nürinurkne kolmnurk kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi.
Rööpküliku, ristküliku, rombi ja ruudu omadused Märgi tabelisse rist, kui antud omadus käib vastava kujundi kohta.. Omadus Rööp- Rist- Romb Ruut külik külik Vastasküljed on võrdsed Lähisküljed on võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Lähisnurgad on võrdsed Lähisnurkade summa on 180o Diagonaal poolitab vastasnurga Diagonaalid on risti Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaalid on võrdsed Diagonaalid on võrdsed ja ristuvad Antud tabelit saab kasutada tunnikontrollina, omaduste õppimiseks ja kordamiseks. Ülesannet võib laiendada joonistega, teha rühmatööks jne.
Teoreem 1: Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. • A D ABC DEF Sümbolites: C F • Joonisel: Teoreem 2: Kui ühe kolmnurga üks nurk on võrdne teise kolmnurga ühe nurgaga ja nende nurkade lähisküljed on võrdelised, siis on kolmnurgad sarnased. • A D Sümbolites: AC AB ABC DEF DF DE • Joonisel: Teoreem 3: Kui ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega, siis need kolmnurgad on sarnased. • AB BC AC k ABC DEF
7. Algarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 8. Kordarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 9. Harilikku murdu, mille lugeja on suurem või sama suur nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11. Lõikuvateks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel on üks ühine punkt. 12. Paralleelseteks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel ühised punktid puuduvad. 13. Ruuduks nimetatakse nelinurka, mille lähisküljed on võrdsed ja lähisnurgad on võrdsed. 14. Rombiks nimetatakse nelinurka, mille lähisküljed on võrdsed. 15. Naturaalarvu teguriks nimetatakse iga naturaalarvugu, millega antud naturaalarv jagub. (6: 1, 2, 3, 6) 16. Iga naturaalarvu (peale nulli), mis jagub antud arvuga, nimetatakse selle arvu kordseks. (6: 12, 18) 17. Lihtmurdu nimetatakse harilikku murdu, mille lugeja on nimetajast väiksem. 18
vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral
nimetatakse kolmnurga aluseks. Kolmnurga mediaaniks nim. Kolnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga raskuskese. Kolmnurga külje keskristsirgeks nim. Sirget, mis läbib külje keskpunkti ja on selle küljega risti. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. Kolmnurga iga nurga poolitaja jaotab nurga vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu lähisküljed. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad ühes ja samas punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunkt. Kolmnurga kesklõiguks nim. lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. Kolmnurga iga kesklõik on paralleelne ühe küljega ja võrdub poolega sellest. Kolmnurga sarnasuse tunnused: 1) kaks kolnurka on sarnased, kui ühe kolmnurga kaks külge on võrdelised teise kolnurga kahe küljega ja nende külgede vahelised nurgad on võrdsed
Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a h S = a 2 sin 1 S = d1 d 2 2 S = p r RISTKÜLIK Ristkülik on rööpkülik, mille lähisküljed on risti (nurgad on täisnurgad). Ristküliku diagonaalid on võrdsed 1 Diagonaalide lõikepunkt on ümberringjoone keskpunkt R = d 2 d = a2 +b2 Ümbermõõt: P = 2( a + b ) Pindala: S = ab 1/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE RUUT
Võrdhaarse kolmnurga omadused 3. Lõigu keskristsirge joonestamine 23.Võrdhaarse kolmnurga omadused 4. Nurga poolitamine 24.Kolmnurga alus ja kõrgus 5. Kolmnurk 25.Kolmnurga alus ja kõrgus 6. Kolmnurga külje vastasnurk ja lähisnurk 26.Täisnurkse kolmnurga pindala 7. Nurga vastaskülg ja lähisküljed 27.Kolmnurga pindala 8. Kolmnurga nurkade summa 28.Positiivsed arvud- definitsioon 9. Võrdsed kolmnurgad 29.Negatiivsed arvud- definitsioon 10.Võrdsed kolmnurgad 30.Arvtelg 11.Kolmnurga joonestamine kolme külje järgi 31.Absoluutväärtus ja vastandarv 12.Kolmn joonestamine kahe külje ja nendevahelise nurga järgi
ülesandeid nende tunnuste põhjal. Kolmnurkade sarnasus kahe nurga järgi (NN). · Teoreem 1: Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. · A D ABC DEF Sümbolites: C F · Joonisel: Kolmnurkade sarnasus kahe külje ja nende vahelise nurga järgi (KNK). · Teoreem 2: Kui ühe kolmnurga üks nurk on võrdne teise kolmnurga ühe nurgaga ja nende nurkade lähisküljed on võrdelised, siis on kolmnurgad sarnased. · A D Sümbolites: AC AB ABC DEF DF DE · Joonisel: Kolmnurkade sarnasus kolme külje järgi (KKK). · Teoreem 3: Kui ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega, siis need kolmnurgad on sarnased. · AB BC AC k ABC DEF Sümbolites: DE FE DF F
16.Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 17.Kolmnurga kõrgus on algusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 18.Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. 19.Ristkülik on tasandiline nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. 20.Ruut on nelinurk, mille kõik küljed on võrdsed. 21.Rombiks nimetatakse rööpkülikut, mille lähisküljed on võrdsed. 22.Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed (nimetatakse alusteks), kuid teised küljed ei ole paralleelsed (nimetatakse haaradeks) 23.Diagonaal on nelinurga vastastippe ühendav lõik. 24.Ringjoone kõik punktid asuvad ühel ja samal tasandil ning on ringjoone keskpunktist samal kaugusel. 25.Ringi moodustab ringjoone sees olev tasandi osa koos ringjoonega. 26.Raadius on matemaatiline lõik, mis ühendab rongjoone punkti keskpunktiga. 27
Pindala: S=ab Ümbermõõt: Ü=2(a+b) Omadused: 1. Ristkülikul on kõik rööpküliku omadused. 2. Kõik nurgad on täisnurgad 3. Diagonaalid on võrdsed 4. Ristkülikul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. 5. Ristkülikul on kaks sümmeetriatelge ja sümmeetriakeskpunkt. Ruut: Mõiste: Ruutu võib defineerida, kui a) ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed b) rombi, mille üks nurk on täisnurk c) rööpkülikut, mille lähisküljedon võrdsed ja üks nurk on täisnurk. Pindala: S=a² Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: 1. Ruudul on nii ristküliku kui ka rombi omadused 2. Ruudu küljed on võrdsed 3. Ruudu nurgad on täisnurgad 4. Ruut on korrapärane nelinurk 5. Ruudul on siseringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiusekspool külje pikkust. 6
Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on 90. 5 Pöördteoreem Eelduse ja väite äravahetamisel tekkinud lauset nimetatakse esialgse teoreemi pöördlauseks. Kui teoreemi pöördlause on tõene, siis nimetatakse seda pöördlauset pöördteoreemiks. Teoreemi Kui kujund on ruut, siis tema d: lähisküljed on võrdsed. Kui kaks sirget on paralleelsed, siis neil ühiseid punkte ei ole. 6 Kõrvunurgad ja tippnurgad Kõrvunurkadeks nimetatakse kahte nurka, millel on üks ühine haar ja mille teised haarad moodustavad sirge. Omadus: Kõrvunurkade summa võrdub sirgnurgaga. Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui neil on ühine kõrvunurk.
29. Tunnus KKN - Kui ühe kolmnurga kaks külge ja pikema külje vastasnurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja pikema külje vastasnurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed. 30. Tunnus NN - Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. 31. Tunnus KNK (sarnasus) - Kui ühe kolmnurga üks nurk on võrdne teise kolmnurga ühe nurgaga ja nende nurkade lähisküljed on võrdelised, siis on kolmnurgad sarnased. 32. Tunnus KKK (sarnasus) - Kui ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega, siis need kolmnurgad on sarnased.
6. Kolmnurka, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 8. Kordarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on enam kui kaks tegurit. 9. Hariliku murdu, mille lugeja on nimetajast suurem, nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11. Paralleelseteks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel ühised punktid puuduvad. 12. Rombiks nimetatakse nelinurka, mille lähisküljed on võrdsed. 13. Iga naturaalarvu, millega antud arv jagub, nimetatakse antud arvu teguriks. 14. Iga naturaalarvu peale nulli, mis jagub antud arvuga, nimetatakse selle arvu kordseks. 15. Lihtmurruks nimetatakse harilikku murdu, mille lugeja on nimetajast väiksem. 16. Murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 17. Murru laiendamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja korrutamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 18
lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete
lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete
Vastus: Teise lõigu pikkus on 4a - 5 ja lõikude pikkuste summa on 7a 6. 3. Kolmnurga küljed avalduvad muutuja y kaudu järgmiselt: 2y 1, y + 2 ja 3y 4. Avalda kolmnurga ümbermõõt ja arvuta see, kui y = 12 cm. Lahendus: Kolmnurga ümbermõõt on 2y 1 + y + 2 + 3y 4 = 6y 3. Kui y = 12 cm, siis ümbermõõt on 6 * 12 3 = 72 3 = 69 cm. Vastus: Kolmnurga ümbermõõt on 6y 3 ehk 69 cm. 4. Rööpküliku lähisküljed on 4y + 6 ja 2y 4. Esimese ja teise külje vahe on 26 cm. Leia arv y ja rööpküliku ümbermõõt. Lahendus: Esimese ja teise külje vahe on 26 cm ehk 4y + 6 (2y 4) = 26, milles y väärtuseks saame 4y + 6 2y + 4 = 26; 2y = 16; y = 8. Rööpküliku ühe külje pikkus on 4 * 8 + 6 = 32 + 6 = 38 (cm) ja teise külje pikkus 2 * 8 4 = 16 4 = 12 (cm). Rööpküliku ümbermõõt on 2(38 + 12) = 2 * 50 = 100 (cm). Kontroll:
29. Tunnus KKN - Kui ühe kolmnurga kaks külge ja pikema külje vastasnurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja pikema külje vastasnurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed. 30. Tunnus NN - Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. 31. Tunnus KNK (sarnasus) - Kui ühe kolmnurga üks nurk on võrdne teise kolmnurga ühe nurgaga ja nende nurkade lähisküljed on võrdelised, siis on kolmnurgad sarnased. 32. Tunnus KKK (sarnasus) - Kui ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega, siis need kolmnurgad on sarnased. RUUT 1. Ruut on võrdsete nurkadega ja külgedega nelinurk. 2. Ruut on tasandiline geomeetriline kujund. 3. Ruutu joonestatakse pliaatsi ja joonlauaga. 4. Ruudu nurgad on täisnurksed. 5. Ruudul on kõik rombi ja ristküliku omadused. 6
korrapärane hulknurk. 42. Kraad ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 43. Kuup 1. risttahukas, mille kõik servad on võrdsed. 44. Kõõl joone kaht punkti ühendav lõik. 45. Lineaarfunktsioon kahe suuruse x ja y vaheline seos kujul y = ax + b ; ax on lineaarliige, b vabaliige; graafik on sirge. 46. Lineaarvõrrand võrrand, milles tundmatud on ainult esimeses astmes. 47. Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul ax2+bx=0 või hoopis kujul ax2=0. 52. Murdvõrrand võrrand, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 53. Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud 1, 2, 3, ... 54
· Rrombide hulk on osa rööpkülikute hulgast, st iga romb on ka rööpkülik 20. Soo- ja liigimõiste sisude vaheline kuuluvusseos, näide- · Rööpküliku omaduste hulk on osa rombi omaduste hulgast (iga rööpküliku omadus on ka rombi omadus). 21. Definitsioonidele püstitatud nõuded- · Definitsioon peab olema adekvaatne, st vastav defineeritavale objektile. 21..1. Ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed, nimetatakse ruuduks. (+) 21..2. Rööpkülikuks nimetatakse hulknurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed. (-) 21..3. Mittelõikuvaid sirgeid nimetatakse paralleelseteks. (-) 21..4. Definitsioon ei tohi sisaldada surnud ringi. Defineeriv pool ei tohi toetuda mõistele, mida defineeritakse. 21..5
4) Koostage ristküliku ABCD ümberringjoone võrrand. ___________________________________________________________________________ 7 Lahendus. 1) Sirge CD tõus k1 = 1 . Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed sirge AB tõus on k 2 = 1 . Sirge AB võrrand: y - 3 = 1 ( x - 4) AB : x - y - 1 = 0 . Kui punkt B asub x -teljel, siis B(1; 0). Ristküliku lähisküljed on risti, s.t sirgete BC ja AD tõusud: k 3; 4 = -1 . Sirge AD võrrand: y - 3 = -1 ( x - 4) AD : x + y - 7 = 0 Sirge BC võrrand: y - 0 = -1 ( x - 1) BC : x + y - 1 = 0 x - y + 7 = 0 x = 0 Punkti D koordinaadid: 2x = 0 D (0; 7) x + y - 7 = 0 y = 7 x - y - 1 = 0 x = -3 Punkti C koordinaadid: 2 x = -6 C (-3; 4)
tähendusega. (45) kolmnurga mediaan GEOMEETRIA *lõik (või selle *lõigu pikkus), mis ühendab *kolmnurga tippu ja *vastaskülje *keskpunkti; *kolmnurga 108 Terminoloogia kolm *mediaani lõikuvad ühes *punktis. Vt ka *kolmnurga mediaanide lõikepunkt • медиана треугольника vastasküljed GEOMEETRIA *nelinurga kaks *külge, millel puudub ühine *tipp. Vt ka *lähisküljed • противолежащие стороны Sarnaste mõistete kooskõlalist esitamist saab täielikult tagada ainult süstemaatilise terminitöö abil, kus näiteks aine olekud või ettevõtlusvormid on mõistesüsteemi pildi peal kõrvuti ja koostajal korraga silma all, mis aitab neid korraga ja ühtmoodi käsitleda. Kui (või kuna) koostaja terve sõnastiku kohta mõistesüsteemi joonistada ei jaksa, siis palju on kasu ka kahtlasematel juhtudel (näiteks ettevõtlus-
annaabi.ee 
