" kui palka ei tõsteta või tööaega ei vähendata, siis algab streik " aritmeetilise liitmise analoog loogikas. " ülemus on kohal ainult siis, kui tema auto on maja ees" ( Sümbol ' ' on siin ja edaspidi kasutusel tähenduses " on samaväärne" ) Liitlause koosseisu kuuluvat lauset nimetatakse ka osalauseks. Loogikatehted lausearvutuses Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. tehtemärk tehte nimi ja selgitus Loogikatehete definitsioonid määravad nende resultaadi kõikide operandiväärtuste kombinatsioonide korral (ehk määravad nende Ü
Disjunktsioon - VI-tehe Konjunktsioon - JA-tehe Implikatsioon - jreldamine 5. Milliseid kvantoreid on vimalik eitada? Olemasolu kvantorit 6. Millised kvantorid on olemas? Olemasolukvantor ldsusekvantor 7. Kui loogikaavaldises pole sulgudega mratud tehete jrjekorda,siis KONJUNKTSIOONI, INVERSIOONI, DISJUNKTSIOONI leidumisel tehaksekigepealt... a-inversioon b-konjunktsioon c-disjunktsioon 8. Mitu erinevat tehet kasutatakse lausearvutuses? 5 9. Loogika tehetel on olemas vrsnalised nimetused! Loogiline korrutamine - konjunktsioon Eitus - Inversioon Jreldamistehe - Implikatsioon Loogiline liitmine - disjunktsioon Loogiline lahutamine - puudub 10. Mida thendab humrgiga eksistentsikvantor? Humrk tpsustab, et leidub "tpselt 1".
topeltjaatuse seadus kontrapositsiooni seadus Morgani seadus päritolu seadus neeldumisseadus DeMorgani seadus välistatud kolmanda seadus välistatud teise seadus eeldusseadus topelteituse seadus vastuolu seadus Küsimus 3 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised kvantorid on olemas? Vali üks või enam: Lausekvantor Üldsuse kvantor Tõekvantor Normaalkvantor Olemasolu kvantor Loogikakvantor Küsimus 4 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? (sisesta arv/number: ) Vastus: 5 Küsimus 5 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Loogiline korrutamine on konjunktsioon Loogiline liitmine on disjunktsioon Järeldamistehe on implikatsioon Eitus on inversioon Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Küsimus 6
Tõene Väär Küsimus 2 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? Vali üks: hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" hüüumärk rõhutab kvantori suurt tähtsust hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? (sisesta arv/number: ) Answer: 5 Küsimus 4 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Eitus on inversioon Loogiline korrutamine on konjunktsioon Loogiline liitmine on disjunktsioon
Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast. Oluline on, et igale lausearvutusele saaks vastavusse seada tõeväärtuse, mis kirjeldab lause tegelikkusele vastava määra. Eeldame, et käsitlevad laused rahuldavad järgmisi tingimusi: · Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär · Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär
.. Mark 1 out of 1 kõige esimesena tehakse loogikaavaldises ...selle järel järgmisena tehakse ...ja viimasena tehakse Question 7 Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? Correct (sisesta arv/number: ) Mark 1 out of 1 Answer: 5 Question 8 Millised kvantorid on olemas? Correct Mark 1 out of 1 Select one or more: Loogikakvantor
..kui ka...; vahel võib konjunktsiooni tähistada ka punkt või koma. Disjunktsioon p ∨q. Või (liitlause) Lause on tõene parajasti siis, kui vähemalt üks lausetest p ja q on tõene. Lause on väär vaid siis, kui mõlemad p ja q on väärad (0). Implikatsioon p →q. Lause on väär ainult siis, kui p on tõene ja q on väär. Implikatsioon on tõene parajasti siis, kui tehte esimeselt komponendilt teisele liikudes ei teki tõekadu. Lühemalt: lausearvutuses on kasutusel materiaalne implikatsioon, mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. Ekvivalents p↔q. Loomulikus keeles on ekvivalentsi indikaatoriteks väljendid … siis ja ainult siis, kui … ; … parajasti siis, kui … ; tarvilik ja piisav tingimus; ühekorraga. Lause on tõene siis, kui oponendid on korraga tõesed või väärad. Antiekvivalents p ⊕q (välistav disjunktsioon) Emb-kumb, kas...või...
Millest tuleb nimetus SUMMA MOODULIGA 2 ? u tähenduses "välistav VÕI" ehk igapäevane sidesõna "VÕI" siiski erineb veidi i t temale omistatud / defineeritud tähendusest lausearvutuses. t Selle loogikatehte (funktsiooni f6 ) väärtus osutub võrdseks operandide s Kõnekeeles ei koostata/kasutata VÕI-lauset nii, et mõlemad (VÕI-ga seotud) n aritmeetilise summaga, millele on rakendatud moodulit 2 : väited/laused on samaaegselt tõesed. I (0+0) mod 2 = 0 mod 2 = 0
Miks neid nimetatakse elementaarseteks? Nendeks on inversioon, konjuktsioon ja disjunktsioon. Nad on elementaarsed, kuna ei ole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi lihtsaimad. Mis on lausearuvutsvalem? Lausearvutus valemi definitsioon. Nii liht kui ka liitlausete formaalseid esitusi nimetatakse lausearvutusvalemiteks.+ Definitsioon: Lihtlause formaalne tähis, näiteks A ja üksik tõeväärtuskonstant 0 või 1 on valem. Lausearvutuses kasutatavate loogikatehete definitsioonid, tõeväärtustabelina. Inversioon Konjuktsioon Disjunktsioon Implikatsioon Ekvivalents A B ~A A&B AvB A->B A<->B 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
väär. See tõeväärtus võib meile mitte teada olla, kuid see peab väitel olema. Me võime arutleda ka nii, et postuleerime samale väitele erinevaid tõeväärtusi, ent siis tuleb need arutluslõigud üksteisest lahus hoida, nt nii, et nüüd vaatleme võimalust, kus väide p on väär, ja sellest tuleneb ... , nüüd vaatleme võimalust, kus väide p on tõene, ja sellest tuleneb .... Kuigi keeles väljendatud lause üksnes väljendab tõest või väära väidet, on lausearvutuses sõnad ,,lause", ,,väide" ja ka ,,proposit-sioon" sünonüümidena käsutusel ning alati peetakse silmas ikkagi seda objekti, mis on tõene või väär, st propositsiooni. Lausearvutuse ehk lauseloogika (propositional calculus, propositional logic, sentential calculus) töötas välja G. Boole (1815-1864). Lauseloogika moodustab koos predikaatloogikaga nn klassikalise loogika, mille konstrueerimisel on arvesse võetud
¯2 w x2 x1 w ¯1 x2 x i t Loogikaavaldis sarnaneb lausearvutuses kasutatavale lausearvutusvalemile t 0 0 s ning ta defineeritakse analoogiliselt: 0 1 n
väär. See tõeväärtus võib meile mitte teada olla, kuid see peab väitel olema. Me võime arutleda ka nii, et postuleerime samale väitele erinevaid tõeväärtusi, ent siis tuleb need arutluslõigud üksteisest lahus hoida, nt nii, et nüüd vaatleme võimalust, kus väide p on väär, ja sellest tuleneb ... , nüüd vaatleme võimalust, kus väide p on tõene, ja sellest tuleneb .... Kuigi keeles väljendatud lause üksnes väljendab tõest või väära väidet, on lausearvutuses sõnad ,,lause", ,,väide" ja ka ,,proposit-sioon" sünonüümidena käsutusel ning alati peetakse silmas ikkagi seda objekti, mis on tõene või väär, st propositsiooni. Lausearvutuse ehk lauseloogika (propositional calculus, propositional logic, sentential calculus) töötas välja G. Boole (1815-1864). Lauseloogika moodustab koos predikaatloogikaga nn klassikalise loogika, mille konstrueerimisel on arvesse võetud
konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. 4 sidumiskonstruktsiooni seovad igaüks kahte lauset (binaarsed Ekvivalentsitehte märgina kasutatakse ka sümbolit ~ (~ ≡ ↔) loogikatehted) ja 1 tehe on rakendatav üksikule lausele (unaarne loogikatehe) VÕI-tehte märgina kasutatakse ka sümbolit + (+ ≡ ∨) LOOGIKATEHTED lausearvutuses ülesanded: Olgu antud järgnevad lihtlaused (väited): S — on suvi tehtemärk tehte nimi ja selgitus O — väljas on soe ¯¯ loogiline eitus e. inversioon V — vihma sajab
xy (ONU(x,y) zu ((ISA(z,y) EMA(z,y)) & (ISA(u,z) EMA(u,z)) & (ISA(u,x) EMA(u,x)) & MEES(x))) (38% õigeid vastuseid) 2. Kui mu abikaasa mind petab, siis jätan ta maha või hakkan ka ise teda petma. Mina ei peta oma abikaasat kunagi kui tema mind ei peta. Ma ei jäta kunagi oma abikaasat maha enne, kui mul pole juba kedagi teist silmapiiril. Isegi uue kaaslase otsimist võib pidada petmiseks. Kas selliste põhimõtetega inimene saab maha jätta truu abikaasa? Tõestada lausearvutuses. tuletusreegleid kasutades. Tähistame: Mu abikaasa petab mind - A Ma jätan ta maha -M Hakkan ka ise teda petma - I Otsin uut kaaslast -O (1) A (MI) (2) ¬A ¬I (3) ¬O ¬M (4) O I (5) ¬A (6) M - Hüpotees (7) ¬I 2), 5), MP (8) (OI)&(IO) 4), Bic (9) OI 8), Simp (10) ¬I ¬O 9), Contra (11) ¬O 7), 10), MP (12) ¬M 3), 11), MP (13) M & ¬M 6), 12) Conj - VASTUOLU
Vasturääkivus: Kui E=0, siis I=1. 3.2.3. Mõned inimesed ei ole ustavad. (tõene) 3.2.4. Mõned loomad on mõistuslikud. (1) 3.2.5. Mõnedel muutustel pole mingit põhjust. (1) Lahendades on kasulik teada, et seda tüüpi ülesannetes on vaid 8 erinevat võimalust: 16_fl_i-v L4. LAUSEARVUTUS Lausearvutuse töötas välja George Boole (1815-1864). Lausearvutuses käsitletakse ainult selliseid lauseid (propositsioone), millega saab vastavusse seada tõeväärtuse (ik truth-value). Klassikaline loogika on kahevalentne (bivalent): iga lause tõeväärtus saab olla vaid tõene (true), või väär (false). (Kursuse lõpus tutvume ka mitmevalentsete loogikatega, kuid nendegi käsitlus eeldab kahevalentse loogika valdamist ja kasutamist.). Tõeväärtuse levinumad tähistused (3 varianti): tõene: t, T, või 1; väär: v, F või 0.
Edaspidi vajame nendest arvusüsteemidest kõige rohkem kahendsüsteemi. Kuna kahendnumbrid 0 ja 1 on kasutusel ka loogikaväärtuste tähistustena, siis Võtame suvalise 2ndarvu: 1011010 1001112 eesmärgiga viia see arv leiab kahendsüsteem rakendust ka lausearvutuses, loogikaalgebras ja kõikjal 8ndkujule ja seejärel ka 16ndkujule. Ü mujal, kus tegeletakse 1-de ja 0-de kogumikega ehk kahendkoodidega . T võimalik oleks teisendada 2nd 10nd 8nd kuid see oleks asjatu töö T
Küsimus 7 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Milliseid kvantoreid on võimalik EITADA? Vali üks või enam: tõekvantorit ühtegi kvantorit ei saa eitada lausekvantorit olemasolu kvantorit Küsimus 8 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Milliste loogikatehete jaoks on operandide järjekord oluline? Vali üks või enam: implikatsioon inversioon konjunktsioon distributsioon disjunktsioon ekvivalents Küsimus 9 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? (sisesta arv/number: ) Vastus: 5 Küsimus 10 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Märgista järgnevas loetelus need nimed, mis loogikaseaduste hulgas tõepoolest eksisteerivad: Vali üks või enam: välistatud teise seadus kontrapositsiooni seadus välistatud kolmanda seadus vastuolu seadus päritolu seadus Morgani seadus eeldusseadus topelteituse seadus DeMorgani seadus neeldumisseadus topeltjaatuse seadus ARVUSÜSTEEMID Küsimus 1 Õige Hinne 1,00 / 1,00
ühe antud toimingu. - Toimingute p ja q implikatsioon on toiming p → q, mille agent sooritab parajasti siis, kui pole nii, et ta sooritab esimese ja ei soorita teist toimingut. - Toimingute p ja q ekvivalents on toiming p q, mille agent sooritab parajasti siis, kui ta sooritab mõlemad antud teod või jätab need mõlemad sooritamata. Tehete järjekord on deontilises loogikas sama, mis lausearvutuses. (vt käesoleva materjali p 14) ! 13/14 38. DEONTILISTE OTSUSTUSTE LOOGILINE RUUT. kohustuslikkus O lubatus P keelatus F neutraalsus I Modaalsuse kohustuslik seosed loogilises ruudus: Kui p on kohustuslik, siis on see lubatud: O(p) → D(p). Kui p on kohustuslik, siis ei ole see keelatud: O(p) → ¬F(p).
ühe antud toimingu. - Toimingute p ja q implikatsioon on toiming p q, mille agent sooritab parajasti siis, kui pole nii, et ta sooritab esimese ja ei soorita teist toimingut. - Toimingute p ja q ekvivalents on toiming p q, mille agent sooritab parajasti siis, kui ta sooritab mõlemad antud teod või jätab need mõlemad sooritamata. Tehete järjekord on deontilises loogikas sama, mis lausearvutuses. (vt käesoleva materjali p 14) ! 13/14 38. DEONTILISTE OTSUSTUSTE LOOGILINE RUUT. kohustuslikkus O lubatus P keelatus F neutraalsus I Modaalsuse kohustuslik seosed loogilises ruudus: Kui p on kohustuslik, siis on see lubatud: O(p) D(p). Kui p on kohustuslik, siis ei ole see keelatud: O(p) ¬F(p).
4. Kuidas nimetatakse numbrimärkidega 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi? Konstant. 5. Mis on loogikaavaldis? Loogikaavaldise definitsioon. Loogikaavaldis on loogikamuutujatest, konstantidest ja tehtemärke sisaldav kooslus, mis muutujate väärtustamisel omandab samuti väärtuse 0 või 1. 6. Millist loogikatehet tähendab tehtemärgi puudumine operandide vahel? Tehtemärgi puudumine tähendab konjunktsiooni. 7. Mitu loogikatehet on olemas? Mitu operandi nendest igaühel on? Lausearvutuses kasutatakse 5 loogikatehet: 1 unaarne ja 4 binaarne. Unaarsel loogikatehtel on 1 operand ja binaarsel loogikatehtel on 2 operandi. 8. Millisel tingimusel on kaks loogikaavaldist omavahel võrdsed? Kaks loogikaavaldist on võrdsed, kui nad arvutavad muutujate väärtustamisel samad väärtused. 9. Kuidas saadakse mingi loogikavaldise jaoks tema duaalne kuju? Loogikaavaldise duaalne kuju
o Näiteks ühend, ühisosa ja sümmeetriline vahe on kommutatiivsed tehted, aga vahe ei ole (tuua kontranäide!). o Mõned samasused saame lausearvutusest otse üle võtta. Ühend, ühisosa ja täiend on defineeritud vastavalt komponenthulkadesse kuulumise tingimuste disjunktsiooni, konjunktsiooni ja eituse abil. Seetõttu on neil tehetel nii ühekaupa kui ka omavahelistes seostes samad omadused, mis vastavatel lausearvutuse tehetel. o 1. Nagu lausearvutuses disjunktsiooni ja konjunktsiooni vahel, kehtivad ühendi ja ühisosa vahel kaks distributiivsuse seadust. Aga ühisosa võtmine jaotub ka hulkade vahele ja sümmeetrilisele vahele. A∩ (B∪ C) = (A∩ B)∪ (A∩ C), A∪ (B∩ C) = (A ∪ B)∩ (A∪ C), A ∩ (BC) = (A ∩B) (A∩ C), A∩ (BΔ C ) = (A∩ B) Δ (A∩ C ). o 2. Neelduvuse seadused A∪ (A∩ B) = A, A∩ (A∪ B) = A. o 3. De Morgani seadused
Püsimaks kooskõlas põhiõpikuga, kasutame enamasti terminit tingiv väide ning süllogismi kohta ütleme hüpoteetiline süllogism edasipidi siis, kui mõlemad eeldused on tingivad väited (ik on see: pure hypothetical syllogism). Järgnevalt vajame veel kahte sümbolit: loogiline järeldumine, nt: p eeldustest järeldub loogiliselt p; eeldustest saab tuletada, nt: p eeldustest saab tuletada p. Lausearvutuses me juba kasutasime esimest sümbolit, konditsionaalide puhul on arukas kasutada teist. 23_fl_vi-x TINGIV-KATEGOORILINE süllogism ehk hüpoteetilis-kategooriline süllogism (ik mixed hypothetical syllogism) on süllogism, mille suurem eeldus on tingiv ning väiksem eeldus on kategooriline väide. Tingiv-kategoorilisel süllogismil on ainult kaks korrektset moodust, mis kindlustavad tõese
annaabi.ee 
