· tan2= 2tan/1-tan2 · arccos(-x)= -arccosx · 1+cos= 2cos2 /2 · tan(arctanx)= x · 1-cos= 2sin2 /2 · arctan(-x)= -arctanx · sin/2= ±1-cos/2 · arcsinx+arccosx= /2 · cos/2= ±1+cos/2 · arctanx+arccotx= /2 · tan/2= ±1-cos/1+cos=sin/1+cos= 1-cos/sin · sinx=m lahendivalem: · sin±sin= 2sin±/2·cos/2 · x= (-1)n·arcsinm+n· · cosx=m lahendivalem: · cos+cos= 2cos +/2·cos -/2 · x= ±arccosm+n·2· · cos-cos= -2sin +/2·sin -/2 · tanx=m lahendivaem: · tan±tan= sin(±)/2·cos -/2
x1 = 4 x2 = -4 See on nii, sest nii nelja ruut kui -4 ruut on 16 c) puuduvad lineaarliige ja vabaliige Üldkuju: ax2 = 0 Lahendamine: Teisendada normaalkujule 4x2 = 0 | : 4 Jagada x2 kordajaga x2 = 0 Võrrandil on kaks võrdset lahendit x1 = x2 = 0 Täielikud ruutvõrrandid: a) täieliku taandatud ruutvõrrandi puhul on x2 kordaja 1 Üldkuju: x2 + px + q = 0 Lahendivalem: 2 p p x=- ± -q 2 2 Lahendamine: Teisendada normaalkujule 2 x + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x = - ± - 7 = -4 ± 9 = -4 ± 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete'i teoreemiga Viete'i teoreem: x1 + x2 = -p x1 · x2 = q b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0
a = n b b 10. Lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahend b x=- a 11. Taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalem p p2 x1;2 = - ± -q 2 4 12. Taandamata ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem - b ± b 2 - 4ac x1;2 =
2 7 3 x 1 . 4 4 algusesse eelmine slaid esitluse lõpp Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 bx c 0 kus x on tundmatu ning a 0. Kui a 0, b 0, c 0, siis on tegu täieliku ruutvõrrandiga. Ruutvõrrandi ax 2 b c 0 lahendivalem on b b 2 4ac x1, 2 2a algusesse Ruutvõrrandi diskriminant Avaldist D = b2 - 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on kaks erinevat reaalset lahendit Näide Võrrandi 3x 2 7 x 2 0 diskriminant on D (7) 2 4 3 2 25 0 Võrrandil on kaks reaalarvulist lahendit:
Ruutvõrrandi lahendamine - b ± b 2 - 4ac Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on x = . 2a Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused. Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0. Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 6 ± 6 2 - 4 5 1 - 6 ± 36 - 20 - 6 ± 16 - 6 ± 4 x= = = = .
Korrapäraseks hulknurgaks nimetatakse hulknurka, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed. 1Mis on korrapärase hulknurga apoteem? Tee selgitav joonis. Korrapärase hulknurga apoteem on selle hulknurga siseringjoone raadius. 1Mis on arvu ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. 1Mis on ruutvõrrand? Ruutvõrrand on võrrand ax2+bx+c=0, kus a on antud arvuna ja ei võrdu 0. 1Kirjuta ruutvõrrnadi lahendivalem. X1;2=-b+-... 1Mis on ruutvõrrandi diskriminant? Diskriminandiks nimetatakse ruutjuure alust avaldist b2-4ac. 1Mis on normaalkujuline ruutvõrrand? Normaalkujuline ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille vasakul poolel esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige ja kolmandal kohal vabaliige ning paremal pool 0. 1Mis on täielik ruutvõrrand? Täielik ruutvõttand on ruutvõrrand, kus on olemas ruutliige, lineaarliige, vabaliige ja a ei võrdu 0-ga.
3) Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 4) Ruutkolmliikme lahutamist teguriteks: ax + bx + c = a( x - x1 )( x - x 2 ) 2 Ruutvõrrandi lahendivalem - b ± b 2 - 4ac x= 2a 5) Seoseid astmete ja astendajate kohta: 1 a m a n = a m+n a0 = 1 a -m = m a a m : a n = a m-n a1 = a m a n = n am ( ) n a m = a m n 6) Rühmitamist: = = = (
kaheks osaks jaganud. Ringjooneks nimetatakse niisuguste punktide hulka, mis asuvad võrdsel kaugusel ühest punktist. Rombiks nimetatakse nelinurka, mille kõik küljed on võrdsed. Ruutjuure võtmine on kahega astendamise pöördtehe. Igal mittenegatiivsel reaalarvul on üks aritmeetiline ruutjuur. Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand, mis on teisaldatav kujule kus a 0. Ruutvõrrandi lahendivalem on . Lineaarliige lineaarfunktsiooni valemis y=ax+b olev liige ax on lineaarliige. Ruutliige ruutfunktsiooni valemi y=ax²+bx+c olev ax² on ruutliige. Vabaliige lineaarfunktsiooni valemis y=ax+b olev b on vabaliige. Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rööpküliku omadused: 1) rööpküliku vastasnurgad on võrdsed. 2) rööpküliku vastasküljed on võrdsed.
1.5 RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax2 + bx + c = 0, kus a 0. Kordajad a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt: ax2 ruutliige, kus a on ruutliikme kordaja; bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu.
a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0 Ärge unustage tegurdatud kujule ette lisada ruutliikme kordajat!
2 4 x 1 2 4 x 16 10 4 x 4 x 16 10 2 1 0 x 5. Vastus. Võrrandil puudub lahend. RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks (teise astme algebraliseks võrrandiks) nimetatakse võrrandit, mis avaldub kujul ax 2 bx c 0 , kus a 0. Siin a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Täielikud ruutvõrrandid: a) täieliku taandatud ruutvõrrandi puhul on x2 kordaja 1 Üldkuju: x px q 0 2 Lahendivalem: 2 p p x q 2 2 Näide 11 x2 + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x 7 4 9 4 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete’i teoreemiga Viete`i teoreem:
x-3=1 x2=4 Kontroll. 2 V1=2 -6 2+8=4-12+8=0 P1=0 V1=P1 2 V2=4 -6 4+8=16-24+8=0 P2=0 V2=P2 Vastus. Lahendid on x1=2 või x2=4 20.Ruutvõrrandi lahendivalem - võrrandi ül.1369 2 2 üldkuju ax +bx+c=0, lahendivalem 1) x -3x+2=0 a=1 b=-3 c=2 a ruutliikme kordaja, b lineaarliikme kordaja ja c vabaliige; lahendivalemi 2 tuletamine: 1)ax +bx=-c | 4a 2 2 2 2)4a x +4abx=-4ac ehk 2(ax) +2 2ax b=-4ac 2 liita mõlemale poolele b 2 2 2 3)2(ax) +2 2ax b+b =b -4ac ehk 2 2 (2ax+b) =b -4ac
Näide. Lahendame võrratuse (x – 3)3(2 – x)2 ≥ 0 Vasak pool muutub nulliks, kui x = 3 (kolmekordne lahend), x = 2 (kahekordne lahend). Paarituarvulise kordsusega lahendi korral läbib joon x-telge. Teeme joonise. Kuna on lubatud ka võrdumine nulliga, siis L = {2} U 3; . © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 44 RUUTVÕRRANDID JA BIRUUTVÕRRANDID Taandamata ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on b b 2 4ac x1;2 2a Taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalem on p p2 x1;2 q 2 4 Ruutvõrrandil on 2 erinevat reaalarvulist lahendit, kui diskriminant D > 0, 2 võrdset lahendit, kui diskriminant D = 0, reaalarvulised lahendid puuduvad kui diskriminant D < 0. Biruutvõrrand on võrrand kujul ax4 + bx2 + c = 0.
Kontroll: 1) Kui x = -6, siis -6 + (-6)² = -6 + 36 =30 lahend x1 = -6 rahuldab ülesande tingimusi 2) Kui x = 5, siis 5 + 5² = 5 + 25 = 30 ka lahend x 2 = 5 rahuldab ülesande tingimusi (lühidalt võib öelda ka, et x 2 = 5 sobib) Vastus: see arv on 6 või 5 NB! Valem (1) - antud juhul taandatud ruutvõrrandi lahendivalem kirjuta eksamiülesannet lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata. 270 Olgu I naturaalarv x , siis II on x +1
Kontroll: 1) Kui x = -6, siis -6 + (-6)² = -6 + 36 =30 lahend x1 = -6 rahuldab ülesande tingimusi 2) Kui x = 5, siis 5 + 5² = 5 + 25 = 30 ka lahend x 2 = 5 rahuldab ülesande tingimusi (lühidalt võib öelda ka, et x2 = 5 sobib) Vastus: see arv on 6 või 5 NB! Valem (1) - antud juhul taandatud ruutvõrrandi lahendivalem kirjuta eksamiülesannet lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata. 270 Olgu I naturaalarv x , siis II on x 1
Kontroll: 1) Kui x = -6, siis -6 + (-6)² = -6 + 36 =30 lahend x1 = -6 rahuldab ülesande tingimusi 2) Kui x = 5, siis 5 + 5² = 5 + 25 = 30 ka lahend x 2 = 5 rahuldab ülesande tingimusi (lühidalt võib öelda ka, et x2 = 5 sobib) Vastus: see arv on 6 või 5 NB! Valem (1) - antud juhul taandatud ruutvõrrandi lahendivalem kirjuta eksamiülesannet lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata. 270 Olgu I naturaalarv x , siis II on x 1
tegurdamine ............................................. 269 lahendamine . ................................... 176 Kuidas peita kolmekesi ühist varandust? ...... 271 Võrrandi teisendamisest üldisemalt ............. 176 Ruutfunktsioon ja tema lahendivalem ......... 272 Väike võrrandijutt ........................................ 179 Veel võrrandi lahendamisest ........................180 eksponentsiaalfunktsioon . ............... 280 Eksponentsiaalfunktsioon ja astendamine ...281 võrrand ja geomeetria ...................... 184 Eksponentsiaalfunktsiooni omadused .
annaabi.ee 
