Nt: x={1;1;3;5;7} M=ülemine tõke=7 m=alumine tõke=1 2. Sõnastada arvu εümbrus, arvu parem ja vasakpoolne ümbrus. Definitsioon : Punkti (koha, arvu) a ümbruseks ehk ε ümbruseks nimetatakse iga vahemikku (a ε,a+ε), kus ε >0 on mingi arv. 3. Sõnastada hulga kuhjumispunkt, sisepunkt ja rajapunkt. Definitsioon : Öeldakse, et reaalarv a on hulga X kuhjumispunkt kui igas tema ümbruses leidub vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X
1. Sõnastada m-mõõtmeline ruum. Kaugus m-mõõtmelises ruumis. 2. Defineerida punkti P Rm -¨umbrus, rajapunkt, sisepunkt, hulga raja. 3. Defineerida lahtine/kinnine hulk, lahtine/kinnine kera. 4. Sõnastada m-muutuja funktsioon, m-muutuja funktsiooni määramispiirkond, m-muutuja funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja piisav tingimus. 9. Sõnastada m-muutuja funktsiooni osatuletis. 10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised.
Hajuv- mitteomav.
a
rtust, millest alates k oik j argnevad muutuva suuruse v a artused kuuluvad 13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn|
arvu a u mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v orratust |x - a| < .
selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. Cauchy jadad - Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale pos.arvule ε leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib |x+p-xn|<ε, kui n>n0 . Kuhjumispunkt - arv, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. Kuhjumispunkti seos jada koonduvusega - *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. *Arv a on jada {Xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {Xn k}, mis koondub arvuks a. 6.Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuste omadused.
*Olgu >0 ja N selline indeks, et |Xn+p - Xn| < (n>N, p N) *Olgu K N valitud nii, et nk>N, kui k>K ja |Xnk - a|< . Seeg e õ g nde te n N puhu |Xn - a| = |Xn -Xnk +Xnk - a| |Xnk - Xn| + |Xnk - a|< = 10*(Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega)Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. *Arv a on jada {Xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {Xnk}, mis koondub arvuks a. 11*(Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega.Reaalmuutuja funktsiooni ühepoolsed piirväärtused)Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga >o leidub >0, et iga x korral, mis täidab tingimust 0< |x-a|< kehtib võrratus |f(x)-b|< . *Funktsioonil f eksisteerib piirväärtus punktis a parajasti siis, kui iga jada {Xn} mis koondub punktis a
Vastavalt piirväärtuse definitsioonile leiduvad arvud N1, N2 ∈ N, nii et naturaalarvu n > N ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus ∀n > N1 xn ∈ Uε(a) ⇔ a − ε < xn < a + ε Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas umbruses on lopmata palju vaadeldava jada ∀n > N2 yn ∈ Uε(a) ⇔ a − ε < yn < a + ε liikmeid. Arv a on jada {x n} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {x nk}, misKui N = max{N1, N2}, siis vastavalt eeldusele n > N korral koondub arvuks a. Jada {xn} koondub parajasti siis, kui ta on tokestatud ja tal on vaid uks a − ε < xn < zn < yn < a + ε ⇔ zn ∈ Uε(a), kuhjumispunkt. mis vastavalt piirväärtuse definitsioonile annab lim n→∞ zn = a. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega
13. Funktsiooni piirväärtused Defineerida hulga D ⊂ R kuhjumispunkti mõiste, tuua näiteid. Arvu a nimetatakse hulga D ⊂ R kuhjumispunktiks, kui (Uρ (a){a}) ∩ D ̸= ∅ iga ρ > 0 korral, s.t. kui punkti a iga ümbrus, millest arv a ise on välja jäetud, sisaldab hulga D elemente. Kui D on suvaline intervall otspunktidega a ja b, kus a < b, siis hulga D kuhjumispunktideks on kõik arvud x ∈ [a, b] Arv 0 on mõlema hulga {−1/n| n ∈ N} ja {1/n| n ∈ N} ainuke kuhjumispunkt Funktsiooni f : D → R korral defineerida . Olgu arv a hulga D ⊂ R kuhjumispunkt. Arvu A nimetatakse funktsiooni f : D → R piirväärtuseks punktis a (ehk kohal a) ja kirjutatakse , kui iga positiivse (kuitahes väikese) arvu ε korral saab leida sellise δ > 0, et kui argumendi väärtus x rahuldab tingimust 0 < |x − a| < δ, siis kehtib võrratus |f (x) − A| < ε. Niisiis,
Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6
10*(Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega)Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. *Olgu α (x) lõpmata väike suurus piirprotsessis xxo ja f(x) tõkestatud *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. *Arv a on jada {Xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {Xnk}, mis funktsioon suuruse X0 mingis ümbruses U γ (X0). ∃ M>0 : |f(x)| koondub arvuks a. 11*(Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega.Reaalmuutuja ≤ M (x∈U γ (Xo)) funktsiooni ühepoolsed piirväärtused)Arvu b nimetatakse funktsiooni f
ptk. 5). ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 53 3 Pidevad funktsioonid 3.1 Funktsiooni piirväärtus Definitsioon. Ütleme, et arv a ∈ R on 1) hulga D ⊆ R sisepunkt (interior point, внутренная точка) (kirjutame a ∈ D o ), kui leidub selline ρ > 0, et (a − ρ, a + ρ) ⊆ D, 2) hulga D ⊆ R isoleeritud punkt, kui a ∈ D ja (a − σ, a + σ) ∩ D = {a} mingi σ > 0 korral, 3) hulga D ⊆ R kuhjumispunkt (limit point, предельная точка), kui iga ρ > 0 korral sisaldab punkti a ümbrus (a − ρ, a + ρ) lõpmata palju hulga D punkte. Paneme tähele, et • hulga kõik sisepunktid on tema kuhjumispunktid (selgitage!)z, kuid vastupidine väide on väär (tooge näide!)z, • isoleeritud punkt ei saa olla kuhjumispunkt (selgitage!)z, • arv a on hulga D kuhjumispunkt parajasti siis, kui punkti a iga ümbrus (a − ρ, a + ρ)
5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saadavad põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. §2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS 1. Funktsiooni piirväärtuse definitsioonid Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna X kuhjumispunkt, st selle punkti a igas ümbruses U(a)=(a, a+) leidub punkte x X, x a. Definitsioon 1. Arvu a nimetatakse. funktsiooni f piirväärtuseks punktis a (piirprotsessis x a), kui iga arvu > 0 korral leidub = ( ) > 0, nii et f(x) - A< , alati kui 0< x - a< . Kirjutame lim xa f(x) = A või lim f ( x) = A x a või f(x) A, kui x a. Näide . Tõestame,et
(fakt) Järeldus: Igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Kuhjumispunktid, rajapunktid ja sisepunktid Definitsioon: Punkti (koha, arvu) a ümbruseks ehk -ümbruseks nimetatakse iga vahemikku (a - , a + ) , kus > 0 on mingi arv. Mida väiksem on , seda lühem on vahemik (a - , a + ) , s.t. seda väiksem on punkti a ümbrus. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X kuhjumispunkt kui igas tema ümbruses leidub vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X sisepunkt kui leidub tema ümbrus, mis kuulub hulka X . Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X rajapunkt kui igas tema ümbruses leidub nii hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt.
lim xx0f(x)=a. tõestus. Võrratusest 3 saame
f(x)-ah(x)-ag(x)-a. Kuid piirv.-se def.-st järeldub, et >0, >0, et 0
· Areafunktsioond - areasiinus: y = arshx areakoosinus: y = archx areatangens: y = arthx areakootangens: y = arcthx 4. Funktsiooni piirväärtuste ( lim x a f (x) = A ja lim x a f (x) = ± ) definitsioonid. Funktsiooni piirväärtuse omadused: kahe funktsiooni summa*, vahe, korrutise ja jagatise piirväärtus. lim x a f (x) = A definitsioon: Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X . Olgu punkt a piirkonna X kuhjumispunkt, s.o. punkt, mille igas ümbruses leidub vähemalt üks temast erinev hulga X punkt. Seega: Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) - A < , alati kui 0 < x -a < , ja kirjutatakse lim f ( x ) = A xa ehk
G. Tamberg ¨ (TTU) xn = a. YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 22 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ Kuhjumispunktid Definitsioon Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas umbruses ¨ on ~ lopmata palju vaadeldava jada liikmeid. Lause Arv a on jada {xn } kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {xnk }, mis koondub arvuks a. Lause Jada {xn } koondub parajasti siis, kui ta on tokestatud ~ ja tal on vaid uks ¨ kuhjumispunkt. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 23 / 24
annaabi.ee 
