1.(8p) Lihtsusta avaldis 5(- x² + 3x) + 3(3x - x²)+ 8(x² - 3x) 2. (8p) Lahenda murdvõrrand ning teosta kontroll. 3. (8p) Maatükk on rombi kujuline. Rombi diagonaalid on 8cm ja 6cm. Täienda joonist ning leia maatüki ümbermõõt ja pindala. 4. (8p) Koolis õpib 750 õpilast. Neist 22% tuuakse kooli autoga, bussiga ning ülejäänud tulevad kooli jalgsi. Mitu õpilast tulevad kooli jalgsi ning mitu protsenti see on ? 5. (8p) Joonesta koordinaatteljestikku funktsioonide y= x² - 4 ja y= - x - 2 graafikud. Tähista joonisel funktsioonide graafikute lõikepunktid. Leia joonisel nende punktide koordinaadid. 6. (10p) Pool otsitava arvu ruudust võrdub 8. Kui suur on otsitav arv? 7. (10p) On vaja värvida 100 silindrikujulist posti. Iga posti kõrgus on 1,5 m ja läbimõõt 2,8 dm. Kui palju kulub värvimisel värnitsat, kui 1 m2 jaoks on seda tarvis 0,25 kg?
Kui teadaoleva voolu I korral on vaja leida pingeid, tuleb võtta püstteljel voolutugevusele vastav lõik 0-1. Kui nüüd läbi punkti 1 tõmmata rõhtjoon, väljendavad lõigud 1-2, 1-3 ja 1-4 vastavalt pingeid U 1 , U 2 ja U . Nii saab arvutada ka ahelaid, kui jadamisi ühendatud elementide arv on suurem kui kaks. Kui on tegemist jadamisi ühendatud mittelineaarse elemendi ja lineaartakistiga R, võib ülesannet lahendada ka teisiti, mõnevõrra lihtsamalt. Selleks kantakse tunnusjooned koordinaatteljestikku nii, et ühe elemendi tunnusjoone alg- ja lõpp-punkt on omavahel vahetatud. Kõigepealt joonestatakse mittelineaarse elemendi pinge-voolu tunnusjoon I (U ML ). Lineaartakisti osapinge on U R =U U ML , 38 millele vastavalt U U ML I= . R R Sellest avaldisest nähtub, et lineaartakisti pinge- voolu tunnusjoon kujutab sirget, mis lõikab rõhttelge punktis, kus U ML =U , see tähendab kogupingele U
10) Pakkumine (supply)- all mõistetakse sellist kaubakogust, mida pakkuja (tootja, vahendaja vm) soovib ja on ka võimeline turule tarnima antud ajahetkel olemasoleva hinna juures. 11) Kogukasulikkus rahulolu, mida tarbijad saavad oma tarbimisvalikutest 12) Nõudlustabel (demand schedule)- peegeldab nõudluse koguse ja hinna vahelist seost ehk nõudluse struktuuri 13) Nõudluskõver (demand curve)- andes tabelis toodud andmed koordinaatteljestikku, saame nõudmise struktuuri kirjeldada ka graafiliselt. 14) Asendusefekt (substitution effect) on üks osa hinna muutuse efektist nõutavale kogusele, mille põhjuseks on suhteliste hindade muutus. (kaup mille hind tõuseb asendatakse teise kaubaga) 15) Sissetulekuefekt (income effect) - on hüvise nõutava koguse muutus, mille põhjuseks on hindade muutusest tingitud reaalsissetuleku muutus. (alanenud hinnaga ost. rohkem)
Alustanud 1618 matemaatikaõpinguid, täiendas end paljudes Euroopa ülikoolides 1628 siirdus Hollandisse ning asus Leideni ülikoolis peale matemaatika õppima ka astronoomiat 1649 siirdus Rootsi kuninganna Kristiina kutsel elama Stockholmi Matemaatikas võttis kasutusele muutuva suuruse ja funktsiooni mõiste ning paljud tänini kasutatavad matemaatilised tähistused Ruumi punktide kirjeldamisel hakkas rakendama koordinaatteljestikku, see aitas kaasa ka diferentsiaal- ja integraalarvutuste loomisele Mehaanikas sõnastas mõju ja vastumõju seaduse ning liikumishulga seaduse Optikas tuletas valguse murdumise seaduse Füsioloogias selgitas refleksi põhimõtet ning laiendas determinismi printsiipi eluslooduse kohta, kuid psüühikaga ei sidunud Tema dualism lahutas vaimu ja mateeria kaheks eraldi seisvaks, kuid teineteisest mõjutatavaks substantsiks
2) Mitu poissi ja mitu tüdrukut sündis sel kuul? 3) Mitu protsenti sündis poisse ja mitu protsenti tüdrukuid? 4) Mitme protsendi võrra sündis poisse rohkem kui tüdrukuid? Ülesanne 4. (8 punkti) Arvuta liiva kogus koonusekujulises liivahnnikus, mille kõrgus on 8 dm ja moodustaja 10 dm. Vastus ümarda ühelisteni. Kas hunnikus olev liiv mahub silindrikujulisse tünni, mille põhja läbimõõt on 60 cm ja kõrgus 1 m? Ülesanne 5. (8 punkti) 1) Joonesta koordinaatteljestikku funktsioonide y = x2 + 2x 3 ja y = 2x 3 graafikud. 2) Tähista joonisel funktsioonide graafikute lõikepunktid ja kirjuta nende koordinaadid. 3) Leia joonise järgi x väärtuste vahemik, mille korral on mõlema funktsiooni väärtused negatiivsed. VALIKÜLESANDED Ülesanne 6. (10 punkti) Majade vahel on täisnurkse kolmnurga ABC kujuline vaba maa-ala, kus AC = 50 m ja BC = 120 m. Sellest maa-alast eraldatakse laste mänguväljakuks nelinurk ACKL nii, et KL AB ja KL = 30 m.
X X 3. Uuri, kas antud funktsioonid on paaris või paaritud funktsioonid! 1 y 2 x y 3x x 3 y x4 x3 1 4. Leia funktsioonide määramispiirkonnad. 1 y 2 y 3x x 2 y 9 x x Joonesta kaks koordinaatteljestikku, ühte paarisfunktsioon ning teise teljestikku paaritu funktsioon. Kirjuta juurde, kumb funktsioon on paaris ja kumb paaritu. ARVESTUSLIK TÖÖ. Eksponentvõrrand. 11.klass KITSAS x 1 1
X X 3. Uuri, kas antud funktsioonid on paaris või paaritud funktsioonid! 1 y 2 x y 3x x 3 y x4 x3 1 4. Leia funktsioonide määramispiirkonnad. 1 y 2 y 3x x 2 y 9 x x Joonesta kaks koordinaatteljestikku, ühte paarisfunktsioon ning teise teljestikku paaritu funktsioon. Kirjuta juurde, kumb funktsioon on paaris ja kumb paaritu. ARVESTUSLIK TÖÖ. Eksponentvõrrand. 11.klass KITSAS x 1 1
tunnis. Kujutame graafiliselt küünla pikkuse sõltuvust ajast. Valemina saab küünla pikkuse kirjutada kujul h = 20 1,5t. Joonestame selle sirge, arvestades asjaolu, et graafikul pole mõtet 1 juhul, kui t < 0 või t > 13 . 3 Programmis GeoGebra kasutame graafiku joonestamiseks korraldust Funktsioon[20-1.5x,0,40/3], tulemus on joonisel 11. Õpilase tähelepanu tasub pöörata siin sellele, et joonise tegemiseks ei kasutanud me kogu koordinaatteljestikku, vaid ainult selle esimest veerandit. Joonis 11 Joonise tegemisel (eriti arvuti abil) tuleb hoolikalt jälgida, et me ei saaks absurdseid tulemusi. 9 Sõltuvuses F = C + 32 (seos Celsiuse ja Fahrenheiti skaalade vahel) võime muutujale C anda 5 mis tahes väärtusi, kuid mitte väiksemaid kui 273,15º, sest sellised temperatuurid ei ole teoreetiliselt ega praktiliselt võimalikud.
Kulgliikumine Kulgliikumiseks nimetatakse liikumist, mille korral liiguvad keha kõik punktid ühesuguselt Punktmass Punktmassiks nimetatakse keha, mille mõõtmed võib antud liikumise tingimustes arvestamata jätta Taustkeha Taustkehaks nimetatakse keha, mille suhtes vaadeldakse meid huvitava keha liikumist. Taustkeha võiks valida paigalseisva. Taustsüsteem Taustsüsteemiks nimetatakse taustkeha ja sellega seotud koordinaatteljestikku ning kella aja määramiseks Nihe Nihkeks nimetatakse suunatud sirglõiku, mis ühendab keha algasukoha lõppasukohaga Trajektoor Trajektooriks nimetatakse mõttelist joont, mida mööda keha liigub Liikumisi saab liigitada liikumise iseloomu ning trajektoori järgi Liikumise pidevuse all mõistetakse seda, et iga keha alati liigub mingi keha suhtes Ühtlane sirgjooneline liikumine Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille puhul keha läbib võrdsetes
Kulgliikumine – Kulgliikumiseks nimetatakse liikumist, mille korral liiguvad keha kõik punktid ühesuguselt Punktmass – Punktmassiks nimetatakse keha, mille mõõtmed võib antud liikumise tingimustes arvestamata jätta Taustkeha – Taustkehaks nimetatakse keha, mille suhtes vaadeldakse meid huvitava keha liikumist. Taustkeha võiks valida paigalseisva. Taustsüsteem – Taustsüsteemiks nimetatakse taustkeha ja sellega seotud koordinaatteljestikku ning kella aja määramiseks Nihe – Nihkeks nimetatakse suunatud sirglõiku, mis ühendab keha algasukoha lõppasukohaga Trajektoor – Trajektooriks nimetatakse mõttelist joont, mida mööda keha liigub Liikumisi saab liigitada liikumise iseloomu ning trajektoori järgi Liikumise pidevuse all mõistetakse seda, et iga keha alati liigub mingi keha suhtes
antud liikumistingimustes arvestamata jätta. Vaadeldakse keha kui ainsat punkti. NT ketta lend sportlase suhtes, tähtede ööpäevane liikumine taeavasfääril. 7. Milline keha on taustkeha? Tema valiku tingimused? - Taustkehaks nimetatakse keha, mille suhtes vaadeldakse meid huvitava keha asukohta. Taustkeha on vabalt valitav. Taustkeha on soovitatav valida paigalseisvana. 8. Mida nimetatakse taustsüsteemiks? - Taustsüsteemiks nimetatakse taustkeha ja temaga seotud koordinaatteljestikku ning kella aja määramiseks. 9. Mida nimetatakse nihkeks? - Nihkeks nimetatakse suunaga sirglõiku (vektorit), mis ühendab keha algasukoha lõppasukohaga. Nihke tähis on s. 10.Mida nimetatakse trajektooriks? - Trajektooriks nimetatakse mõttelist joont, mida mööda keha liigub. 11.Millal on vektori projektsioon positiivne? - Vektori projektsioon on positiivne siis, kui vektori alguspunkti projektsioonist lõpp-punkti projektsiooni tuleb liikuda antud telje suunas. 12
jätta. Nt. ketta lend sportlase suhtes, tähtede ööpäevane liikumine taevasfääril. 7. Milline keha on taustkeha? Tema valiku tingimused. Taustkehaks nimetatakse keha, mille suhtes vaadeldakse meid huvitava keha asukohta. Taustkeha on vabalt valitav. Taustkeha on soovitav valida paigalseisvana. 8. Mida nimetatakse taustsüsteemiks? Taustsüsteemiks nimetatakse taustkeha ja temaga seotud koordinaatteljestikku ning kella aja määramiseks. 9. Mida nimetatakse nihkeks? Nihkeks nimetatakse suunaga sirglõiku (vektorit), mis ühendab keha algasukoha lõppasukohaga. Nihke tähis s . Nihke pikkust nimetatakse mooduliks, tähis s. 10. Mida nimetatakse trajektooriks? Trajektooriks nimetatakse mõttelist joont, mida mööda keha liigub. Trajektoori pikkus l, ühik [1m] A. Millal on vektori projektsioon positiivne? Millal negatiivne?
43.(2011) On antud funktsioon f x x 4 4 x 3 4 x 2 5 . 1. Arvutage funktsiooni f (x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja määrake nende liik. 2. Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemikud. 3. Joonestage funktsiooni f (x) graafik lõigul [1; 3]. 44. Joonisel on antud funktsioonide f (x) = cos x ja g(x) = sin 2x graafikud lõigul [0; 2]. 1. Kirjutage joonisele funktsioonide nimetused. 2. Lahendage kirjalikult võrrand cos x = sin 2x lõigul [0; 2].. 3. Joonestage antud koordinaatteljestikku funktsiooni h(x) = cos x -1 graafik lõigul [0; 2]. 4. Leidke joonise põhjal kõigi kolme funktsiooni ühine negatiivsuspiirkond lõigul [0; 2]. 45.(2011) On antud funktsioonid f x log 1 x x 3 , g x a ln x b , kus a R, b R ja 2 3 2 h x log 1 x 1 1 3 3 1. Arvutage 3 f 3 . 2. Lahendage võrrand f (x) = h(x) . 3
kitsas matemaatika III. Vektor tasandil. Joone võrrand". Õpik on ladusas keeles, rohkete illustratsioonidega, järgib hästi ainekava ning sisaldab rohkesti elulisi ülesandeid. Ülesannete raskusaste on kitsale kursusele vastav. Laia kursuse jaoks sobivad ka senini käibel olnud õpikud, kuid ainekava tuleb tõesti tähelepanelikult jälgida. Enne vektori mõiste sissetoomist peaks kordama üle need teadmised, mis puudutavad koordinaatteljestikku ja punkti koordinaate. Selleks sobib kitsa kursuse õpiku alguses olev lähtetest. Õpetaja otsustab klassi tasemest lähtudes, kas selle võib anda koduseks kordamiseks või on otstarbekam neid ülesandeid tunnis koos arutada. Edasi valib juba õpetaja, kas ta alustab lõigust ja selle keskpunktist või vektori mõistest. Lõigu keskpunkti koordinaatide leidmine tundub õpilastele alguses väga lihtne ja loogiline olevat, kuid pärast vektori
x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus: Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on y = 1,5 . 0 = 0. Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis y = 1,5 . 2 = 3. Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame. Vaatame ainult kahte punkti, kui x = 2 ja x = 3. Ülejäänud punkid jäävad iseseisvaks tööks. Kui x = 2, siis otsime x-teljelt üles väärtuse 2. Tõmbame vertikaalselt (ülevalt alla) sirge nii kaugele, kuni tuleb vastu funktsiooni graafik. Seejärel tõmbame horisontaalse (ristipidi) sirge, kuni tuleb vastu y-telg. Punkt y-teljel ongi muutuja y väärtus antud x-i korral. Ehk siis antud juhul 3. Saime punkti, mille koordinaadid on (2; 3)
II 1) 27,52; 2) = arctan 53708 ; 3) 4x 3y + 26,5 = 0; L 0; . 3 6 4 32 7 34 III 1) AC 9,6 , BD 7,2 ; 2) arccos 0,2802 73744´ ; 3) y x ; 4) L ; . 3 15 2 5 Näpunäited I, II 1) Teeme joonise, selleks kanname koordinaatteljestikku punkti A ja vektori AD . Leiame punkti D koordinaadid ning peegeldame punkti A ja D x-teljest (y-teljest). 2) Leiame trapetsi aluste ning kõrguse pikkused ja arvutame trapetsi pindala. 3) Leiame trapetsi alusnurga. Selleks saab kasutada täisnurkse kolmnurga trigonomeetrilisi funktsioone, siinusteoreemi, koosinusteoreemi, nurka saab leida ka vektorite abil ning sirge AD tõusu kaudu, sirgete AB ja AD vahelise nurgana.
saadud tulemusi katsete ja vaatluste materjaliga. Nii on leitud, et nad ei ole üldkehtivad, vaid nende kehtivuspiirkond on piiratud. Nad ei kehti väga suurte kiiruste puhul (mis on võrreldavad valguse kiirusega) ja samuti ei kehti nad üliväikeste osakeste (kvantosakeste) liikumisel. B. Newtoni seadustes räägitakse liikumisest. See eeldab, et on olemas kokkulepe selle kohta, kuidas määratakse punkti asukoht ja kirjeldatakse liikumist. Siin tuleb möödapääsmatult kasutada mingit koordinaatteljestikku. Kas võib aga öelda, et igasuguses, täiesti suvaliselt valitud teljestikus jäävad Newtoni seadused kehtima? See oleks liiga julge oletus. Neid raskusi, mis on seotud koordinaatteljestiku valikuga, mõistis juba Newton. Seepärast ta ütles, et tema seadused kehtivad "absoluutses ruumis". "Absoluutse ruumi" kohta ütles Newton, et "see on selline ruum, millel ei ole midagi ühist kõige sellega, mis on väljaspool teda". On kerge
Finantsmeetodid (NPV, IRR), scoring mudel, visuaalsed meetodid (mulldiagramm) · Kirjeldage palun scoring mudelit Projekti erinevatele koostisosadele määratakse kaalud ja siis antakse neile hinnangud ning arvutatakse keskmine skoor. Selliselt hinnatud projekte võrreldakse omavahel ja valitakse kõrgema skooriga projektid. · Kirjeldage palun mulldiagrammi (bubble diagram) Vastavalt aja ja ressursimahukusele paigutatakse erinevad projektid mullikestena koordinaatteljestikku, kus horisontaalteljel on puhasnüüdisväärtus ja vertikaalteljel õnnestumise tõenäosus. · Mis on protsess? Too mõni näide! Protsess on tegevus. Iga organisatsioonis toimuv tegevus on protsess. Protsess on ajalises järjestuses olevad tegevused. N: saia tootmise protsess tehases. 24 Juhtimise alused · Mis on protseduur? Too mõni näide!
Kui teadaoleva voolu I korral on vaja leida pingeid, tuleb võtta püstteljel voolutugevusele vastav lõik 0-1. Kui nüüd läbi punkti 1 tõmmata rõhtjoon, väljendavad lõigud 1-2, 1-3 ja 1-4 vastavalt pingeid U 1 , U 2 ja U . Nii saab arvutada ka ahelaid, kui jadamisi ühendatud elementide arv on suurem kui kaks. Kui on tegemist jadamisi ühendatud mittelineaarse elemendi ja lineaartakistiga R, võib ülesannet lahendada ka teisiti, mõnevõrra lihtsamalt. Selleks kantakse tunnusjooned koordinaatteljestikku nii, et ühe elemendi tunnusjoone alg- ja lõpp-punkt on omavahel vahetatud. Kõigepealt joonestatakse mittelineaarse elemendi pinge-voolu tunnusjoon I (U ML ). Lineaartakisti osapinge on U R =U U ML , 38 millele vastavalt U U ML I= . R R Sellest avaldisest nähtub, et lineaartakisti pinge- voolu tunnusjoon kujutab sirget, mis lõikab rõhttelge punktis, kus U ML =U , see tähendab kogupingele U
annaabi.ee 
