7. VEKTORID 7.1 Vektori mõiste Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. r Vektorit tähistatakse v või AB , kus A on vektori alguspunkt ja B on lõpp-punkt. B Y Vektori AB koordinaatideks on tema ristprojektsioonid koordinaattelgedele. Kui A ( x1 ; y1 ; z1 ) ja B ( x2 ; y2 ; z2 ) , siis uuur uuur AB = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z2 - z1 ) ehk AB = ( X ; Y ; Z ) , kus X = x2 - x1 , Y = y2 - y1 , Z = z2 - z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur
impulsside vektorsummat. Joonis 1.17.1 illustreerib impulsi jäävuse seadust kahe erineva massiga kera mittetsentraalse põrke näite varal, kusjuures üks keradest oli enne kokkupõrget paigal. Joonis 1.17.1. Erineva massiga kerade mittetsentraalne põrge. (1) Impulsid enne põrget, (2) impulsid pärast põrget, (3) impulsside diagramm Joonisel 1.17.1 kujutatud kerade impulsside vektorid enne ja pärast põrget võib projekteerida koordinaattelgedele OX ja OY. Impulsi jäävuse seadus kehtib ka vektorite projektsioonidele kummalgi teljel. Impulsside diagrammist järeldub (joonis 1.17.1), et mõlema kera impulsside vektorite ja projektsioonid OY-teljel pärast põrget peavad olema arvuliselt võrdsed ning erinevate märkidega, et nende summa võrduks nulliga. Impulsi jäävuse seadus võimaldab paljudel juhtudel leida vastastikku mõjuvate kehade kiirusi isegi sellisel juhul, kui mõjuvate jõudude väärtused ei ole teada
koosinuse korrutisega, pra a cos . Olgu meil antud koordinaadid 3-mõõtmelises ruumis. Punkti P kohavektoriks nimetatakse vektorit r , mille projektsioonid koordinaattelgedel võrduvad punkti P koordinaatidega. Definitsioon. Vektori koordinaatideks nimetatakse vektori projektsioone koordinaattelgedele. Võtame kohavektori r x, y, z . Vektori r 0 P 0 Px Px Pxy Pxy P komponendid ruumilise teljestiku telgede sihtidest. Toome sisse koordinaattelgede suunalised ühikvektorid: i 1,0,0 , i 1, j 0,1,0 , j 1,
vaadelda vaba kehana, kui asendada sidemed sidemereaktsioonidega. 8. Jõudude liitmine Kuna jõud on vektor, siis toimub jõudude liitmine täpselt samuti kui vektorite liitmine: R =En,i=1,=Fi. Geomeetriline liitmine. Jõudude geomeetriliseks liitmiseks tuleb konstrueerida jõurööpkülik või jõuhulknurk. Analüütiline liitmine. Jõudude analüütiliseks liitmiseks tuleb kõik liidetavad jõud projekteerida koordinaattelgedele, liita saadud projektsioonid ning seejärel arvutada resultandi moodul ja suunakoosinused. 9. Jõu projektsioon teljel ja tasapinnal. Jõu projektsioon teljel on skalaar. Vastavalt definitsioonile on vektori projektsioon võrdne teljesuunalise ühikvektori ja selle vektori skalaarkorrutisega. Jõu projektsioon tasandil on vektor. 10. Koonduvate jõudude tasakaal. Tasakaalutingimuse geomeetriliseks kujuks on nõue, et jõuhulknurgas viimase jõu
Mida nimetatakse punkti liikumise kiirenduseks? Kirjutada ka valem. dv a v dt Punkti kiirendus on selle punkti kiiruse tuletis aja järgi. Mida nimetatakse punkti liikumise kiirenduseks? Millised on kiirenduse projektsioonid nii ristkoordinaadistiku koordinaattelgedele kui loomuliku teljestiku telgedele? dv a v dt Punkti kiirendus on selle punkti kiiruse tuletis aja järgi. dv at s
asukohast ( r ) , kiirusest ( v ) ja ajast (t ) . §3. Punkti dünaamika I põhiülesanne J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 9 Kirjeldatud on punkti liikumine, leida tuleb jõud, mis selle liikumise põhjustab. Selle ülesande lahendame dünaamika põhiseaduse abil ((2.1) või (2.10)). Projekteerime vektorvõrrandi (2.1) Descartes'i koordinaattelgedele x, y, z ma x = Fx m x = Fx ma y = Fy või m y = Fy (3.1) ma = F m z = F z z z kus Fx, Fy, Fz on punktile mõjuva jõu projektsioonid vastavalt x-, y- ja z-teljele. Kui
suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas ja mille moodul on võrdne absoluutväärtusega kaarepikkuse s tuletisest aja t järgi. v=ds/dt · Defineerida täpselt punkti liikumise kiirendus. Kirjutada ka valem. Punkti kiirendus on võrdeline kiiruse muutumise kiirusega ajaühikus. a=dv/dt · Mida nimetatakse punkti liikumise kiirenduseks? Millised on kiirenduse projektsioonid nii Descartes'i koordinaattelgedele kui loomuliku teljestiku telgedele? Projektsioonideks Descartes'i ristkoordinaadistiku projektsioonideks on vastavate telgede projektsioonide teised tuletised aja järgi. · Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? Jah, keha sirgjoonelisel liikumisel. · Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid Descartes'i koordinaattelgedel, kui punkti liikumise seadus on antud Descartes'i ristkoordinaatides?
määratud kohavektoriga r0 = ( 3;2 ) , algkiirusvektor v0 = (1;0 ) . Leida punkti liikumise võrrandid. Lahendus Kuna tekstis liikumise tasapinna kohta midagi öeldud ei ole, siis oletame, et punkt liigub maapinna tasapinnal. Seega peale antud jõu F teisi jõudusid ei mõju. Siin on tegemist kahedimensionaalse juhtumiga ja ülesande tekstist selgub, et jõu F projektsioonid maapinnal asuvatele koordinaattelgedele x ja y on Fx = 10 - 2t , (N) t Fy = 2sin , (N) 2 Põhivõrrandid kahedimensionaalsel juhul on kujul m x = Fx m y = Fy Arvestades, et punkti mass on 2 kg, saame seetõttu
g = 10 m/s2 t = 50/10 = 5 s h=? h =50 x 2,5 10 x 52/ 2 =250 125 = 125 m 1.1.4. Liikumiste graafiline kujutamine. Suurema näitlikkuse saavutamiseks võib liikumist kirjeldada graafiliselt. Graafik näitab, kuidas ühe suuruse muutumisel muutub mingi teine sellest sõltuv suurus. Graafiku joonestamiseks kantakse mõlemad suurused sobivalt valitud mõõtkavas koordinaattelgedele. Kui horisontaalteljele (abstsissteljele) kanda aeg (harilikult vôetaks see ajateljeks) ja vertikaalteljele (ordinaatteljele) keha asukoha väärtused, siis saadud graafik väljendab keha asukoha sõltuvust ajast. Seda graafikut nimetatakse liikumisgraafikuks. s (m) . v1= 3 m/s 8 - 1 v2 = 1,5 m/s - . 2 . 6 - 3 v (m/s)
üksik- objektidena, vastasel juhul aga tervikobjektina (blokina). Sisestatud blokke tohib käsuga EXPLODE mistahes hetkel "lõhestatada". Märgime, et kui bloki sisestamisel on mastaabi- tegur negatiivne, siis toimub ühtlasi peegeldamine vastava koordinaattelje suhtes. Käsus INSERT sisestatakse osa parameetreid käsurealt ja nad on tähendustega: · ? küsitakse olemasolevate blokkide nimede loetelu või nende mingit valikut; · Scale ühine mastaabitegur kõikidele koordinaattelgedele; · X, Y, või Z koordinaattelgede suunalised mastaabitegurid; · Rotation pöördenurk XY-tasapinnal; · eeltoodud valikud prefiksiga E sisestatava bloki eelvaatlus koos lohistamisega; · Corner mastaabitegurid antakse ristküliku servapikkuste abil (sisestada vastastipud); · XYZ kolmemõõtmelise bloki mastaabitegurid eraldi X-, Y- ja Z-telgede suhtes. Blokke on võimalik sisestada ka käsuga MINSERT. Siin on iseloomulik, et sisestatud
7. VEKTORID 7.1 Vektori mõiste 43 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. r Vektorit tähistatakse v või AB , kus A on vektori alguspunkt ja B on lõpp-punkt. B Y Vektori AB koordinaatideks on tema ristprojektsioonid koordinaattelgedele. Kui A ( x1 ; y1 ; z1 ) ja B ( x2 ; y2 ; z2 ) , siis uuur uuur AB = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z2 - z1 ) ehk AB = ( X ; Y ; Z ) , kus X = x2 - x1 , Y = y2 - y1 , Z = z2 - z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur
7. VEKTORID 7.1 Vektori mõiste 43 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. r Vektorit tähistatakse v või AB , kus A on vektori alguspunkt ja B on lõpp-punkt. B Y Vektori AB koordinaatideks on tema ristprojektsioonid koordinaattelgedele. Kui A x1 ; y1 ; z1 ja B x2 ; y2 ; z2 , siis uuur uuur AB x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ehk AB X ; Y ; Z , kus X x2 x1 , Y y2 y1 , Z z2 z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i 1; 0; 0 , j 0; 1; 0 , k 0; 0;1 . Nende
2. Kinemaatilistes paarides toimivate dünaamiliste koormuste tasakaalustamine. 3.5.1. Vundamendile mõjuvate dünaamiliste koormuste kõrvaldamine Inertsjõudude süsteem on tasakaalus, kui inertsjõudude peavektor Fj = 0 ja peamoment M j = 0 . [Joonis loengul] Inertsjõudude süsteemi peavektori Fj projektsioonid koordinaattelgedele: d 2x Fjx = - mi 2 i = - mi aix ... (a) dt d 2 yi Fjy = - mi 2 = - mi aiy ... (b) dt Tasapinnalises käsitluses on Fiz = 0 .
q (kogus) tooteühiku kohta vähenevad 2 korda. 0 0 5 10 15 20 25 Tegemist on pöördvõrdelise sõltuvusega, mille graafik on toodud juuresoleval joonisel. Pöördvõrdelise sõltuvuse graafikuks on hüperbool. Hüperbool koosneb kahest harust, mis lähenevad piiramatult koordinaattelgedele. y Pöördvõrdeline sõltuvus kahe suuruse x ja y vahel on niisugune sõltuvus, mille korral nende suuruste korrutis on konstantne: = x Saab esitada ka kujul: =
MAJANDUSMATEMAATIKA I Elementaarfunktsioone 47 ACp (5) = 6000, ACp (10) = 3000. Seega tootmismahu suurenedes 2 korda püsikulud tooteühiku kohta vähenevad 2 korda. Tegemist on pöördvõrdelise sõltuvusega, mille graafik on toodud joonisel 42. Pöördvõrdelise sõltuvuse graafikuks on hüperbool. Hüperbool koosneb kahest harust, mis lähenevad piiramatult koordinaattelgedele (joonis 43). Pöördvõrdeline sõltuvus kahe suuruse x ja y vahel on niisugune sõltuvus, mille korral nende suuruste korrutis on konstantne: yx'a Pöördvõrdelist seost saab esitada ka kujul a y' x
annaabi.ee 
